高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2.1 周期函数课件 新人教A版必修4.ppt

第1课时周期函数 1 了解周期函数的定义 知道周期函数的周期和最小正周期的含义 2 知道正弦函数和余弦函数都是周期函数 3 会求函数y asin x 与y acos x 的周期 1 2 1 周期函数 1 定义 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数y f x 叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 2 规定 对于周期函数来说 如果所有的周期中存在一个最小的正数 就称它为最小正周期 在没有特殊说明的情况下 三角函数的周期均是指它的最小正周期 归纳总结若函数y f x 是周期函数 t是一个周期 则有 1 定义域中含有无限个实数 2 对定义域内的任意x 均有f x kt f x 其中k z 3 f x 的图象每隔一个周期t重复出现一次 1 2 1 2 2 两种特殊的周期函数 1 正弦函数y sinx是周期函数 2k k z 且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 2 余弦函数y cosx是周期函数 2k k z 且k 0 都是它的周期 最小正周期是2 3 正弦函数和余弦函数的周期性 实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的 1 2 2 并不是所有周期函数都存在最小正周期 例如 常数函数f x c c为常数 x r 当x为定义域内的任何值时 函数值都是c 即对于函数f x 的定义域内的每一个值x都有f x t f x 因此f x 是周期函数 因为t可以是任意不为零的常数 而正数集合中没有最小者 所以f x 没有最小正周期 3 f x t f x 是定义域内的恒等式 即对定义域内的每一个值都成立 t是非零常数 周期t是使函数值重复出现的自变量x的增加值 周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 已知定义在r上的函数y f x 满足f x 2 f x 2 求证 函数y f x 是周期函数 分析 只需找到一个非零实数t 满足f x t f x 即可 证明 令x 2 t 则x t 2 于是由f x 2 f x 2 得f t f t 2 2 f t 4 f t f t 4 f x 4 f x 函数y f x 是周期函数 4是一个周期 反思通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题时 只需找到一个非零常数t 满足对定义域内任意x总有f x t f x 成立即可 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 已知定义在r上的函数y f x 满足f x a f x a是不为零的常数 证明 2a是函数y f x 的一个周期 证明 f x a f x f x 2a f x a a f x a f x f x 由周期函数的定义知2a是函数y f x 的一个周期 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 解答此类题目的关键是利用化归的思想 借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上 代入求值即可 2 已知一个函数是周期函数 若要研究该函数的有关性质 由周期函数的定义 可知研究该函数在一个周期上的特征 加