高考数学一轮复习 11.2 直接证明与间接证明课件 文 新人教A版.pptVIP

11 2直接证明与间接证明 直接证明与间接证明 1 两类基本的证明方法 直接证明与间接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 也是解决数学问题时常用的思维方式 2 综合法 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 综合法的证明步骤用符号表示是 p0 已知 p1 p2 pn 结论 3 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 用分析法证明的逻辑关系是 b 结论 b1 b2 bn a 已知 4 反证法 先假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种基本方法 1 对判断 a b c至少有一个是正数 的反设是 a a b c至少有一个是负数 b a b c至少有一个是非正数 c a b c都是非正数 d a b c都是正数 的情况 还差一种情况 即三个都是非正数 答案 c 解析 注意 a b c至少有一个是正数 就是a b c中有一个是正数 有两个是正数 有三个是正数 对于a b c与正数 2 定义在r上的奇函数f x 为增函数 偶函数g x 在区间 0 的图像与f x 的图像重合 设a b 0 给出下列不等式 其中正确不等式的序号是 f b f a g a g b f b f a g a g b f a f b g b g a f a f b g b g a a b c d 解析 由题意f a g a 0 f b g b 0 且f a f b g a g b f b f a f b f a g a g b 而g a g b g a g b g a g b g a g b 2g b 0 f b f a g a g b 同理可证 f a f b g b g a 答案 a 3 a b 则a与b的大小关系为 解析 可直接比较a2与b2的大小 或比较 与2的大小 或考察函数y 的单调性 答案 a b 题型1应用综合法证明问题 例1已知a b c 1 求证 ab bc ca 分析 不等式左边为两两积的形式 而已知条件是a b c和的形式 因此将已知式两边平方 可得出a b c两两积及a2 b2 c2和的形式 然后再利用基本不等式定理将a2 b2 c2转化为a b c两两积之和 证出所证不等式 又a2 b2 2ab b2 c2 2bc a2 c2 2ac 将以上三个不等式相加得 2 a2 b2 c2 2 ab bc ac 即a2 b2 c2 ab bc ac 所以1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac ab bc ac 2ab 2bc 2ac 3 ab bc ac 解析 因为a b c 1 所以a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1 所以ab bc ca 点评 在用综合法证明不等式时 常利用不等式的基本性质和基本不等式定理 但在运用这些性质和定理时 一定要注意其成立的条件 变式训练1若a b c r 且a b c 2 求证 4 解析 法一 由1 得 1 同理 1 1 因此 1 1 1 4 由于三个不等式中的等号不能同时成立 故 4 法二 由 2 a b 于是 同理 1 1 2 即 2 1 4 故结论成立 题型2应用反证法证明问题 例2已知a b c 0 ab bc ca 0且abc 0 求证 a b c都大于零 分析 欲证 a b c都大于零 从正面证明比较麻烦 我们可以从反面入手 利用反证法 解析 假设a b c不都大于零 即至少有一个小于零或等于零 2 若某一个小于零 不妨设a0 得bc 0 由a b c 0 得b c a 0 那么 a b c 0 得a b c 0矛盾 结合 1 2 知a b c都大于零 点评 本题由于要证a b c都大于零 显然用直接证明较为麻烦 从反面入手 借助不等式的基本性质很快产生了与已知矛盾的结果 本题虽然不难 但推理也并不轻松 1 若某一个等于零 则abc 0 与abc 0矛盾 变式训练2已知f x x2 ax b 1 求 f 1 f 3 2f 2 2 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 解析 1 f 1 a b 1 f 2 2a b 4 f 3 3a b 9 f 1 f 3 2f 2 2 2 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 则 f 1 f 2 f 3 1 2f 2 1 1 f 1 f 3 1 2 f 1 f 3 2f 2 2 这与f 1 f 3 2f 2 2矛盾 故假设不成立 原命题成立 题型3分析法的运用 例3已知a 0 求证 a 2 分析 观察已知条件 a 0 简单 而证明的结论较复杂 用综合法不知从何下手 可考虑分析法 解析 要证 a 2 只要证 2 a 即可 a 0 只要证 2 2 a 2 即a2 4 4 a2 2 2 a 2 从而只要证2 a 只要证4 a2 2 a2 2 即a2 2 而此不等式显然成立 故原不等式成立 点评 此题的关键是要把所证的不等式做一个等价转化为 2 a 如果用分析法直接平方来解则有些项不好抵消 不好进行下去 变式训练3已知a b c均为正数 求证 解析 a b c均为正数 a b c 0 欲证 只要证 只要证3 a2 b2 c2 a b c 2 即证 a b 2 b c 2 c a 2 0 上述不等式显然恒成立 故原不等式成立 1 对于分析法 我们注意有两种情况 一种是逆推 步步可逆 此种证法又叫逆证法 它要求所证的条件是结论的充要条件 否则 证不了 另一种是寻找结论成立的充分条件 仅充分条件而已 2 对于综合法 我们不仅要熟练掌握一些常规的证明技巧 还要掌握一些常用的定理 性质 推论及一些常规式子的各种变式及灵活应用 3 涉及否定性 唯一性 至多 至少型的问题 可以从反面入手 首先对结论进行否定 然后 再结合条件进行推理 最终得出与已知条件或是已知定理 性质 公理等矛盾的结论 从而肯定结论的正确性 用反证法证明问题一定要注意反设及寻找矛盾的技巧 例设a b 0 n为偶数 证明 错解 要证原不等式成立 只要证bn bn 1 an an 1 an 1bn anbn 1 即只要证an an 1 an 1 bn bn bn 1 an bn 1 0即可 只要证 an bn an 1 bn 1 0即可 n为偶数 an 0 bn 0 an bn与an 1 bn 1同号 an bn an 1 bn 1 0成立 原不等式成立 剖析 此题的错误很隐蔽 不易发觉 在a b 0的条件下 an 1 bn 1 an bn的正负不能确定 应分a 0 b 0和a b有一个负值两种情况加以讨论 只要证 an bn an 1 bn 1 0 成立即可 1 当a 0 b 0时 若a b 则an bn an 1 bn 1 an bn an 1 bn 1 0 若a b 则an bn an 1 bn 1 an bn an 1 bn 1 0 总有 an bn an 1 bn 1 0 正解 前面同错解 an bn an 1 bn 1 0 综上所述 式总成立 故原不等式成立 2 当a b有一个负值时 不妨设a 0 b0 a b 又n为偶数 an b n bn 而an 1 bn 1 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 因为指数函数y ax是增函数 大前提 而y x是指数函数 小前提 所以y x是增函数 结论 上面推理的错误是 a 大前提错导致结论错 b 小前提错导致结论错 c 推理形式错导致结论错 d 大前提和小前提都错导致结论错 解析 指数函数y ax的增减性与a的范围有关 所以大前提错误 答案 a 2 基础再现 在用反证法证明a b 2时的反设为 a a b 2且a b2或a b 2 c a b 2 d a b 2 解析 注意a b与2的关系 要么a b 2 要么a b2或a b 2 答案 b 3 视角拓展 设a b c为实数 且4a 4b c 0 a 2b c 0 则 a b2 ac b b2 ac且a 0 c b2 ac且a 0 d b2 ac 解析 对于f x ax2 2bx c 由f 2 0 f 1 0知方程f x 0有两不等实根 答案 d 4 视角拓展 不等式 2成立的一个必要不充分的条件是 a ab 0 b ab 0 c ab 0 d a b 0 解析 选项a是充分条件 选项b是既不充分也不必要条件 可以看出 若 2 一定可以得到ab 0 反过来不一定 所以选项c是必要不充分条件 选项d是充分不必要条件 答案 c 5 高度提升 设a b c d m n均为正实数 p q 那么 a p q b p q c p q d p q之间的大小关系不定 解析 q 要比较p q的大小 只要比较ab cd与ab cd 2的大小 也就是只要比较 与2的大小即可 因为a b c d m n全是正数 故由基本不等式有 2 2成立 p q 答案 a 6 视角拓展 当0 1 a b 1 a a 1 b b 1 a b 1 a 1 a a 1 b b 其中正确的是 填写正确不等式的序号 解析 由0b 0 据此可知 不正确 又 1 a a 1 b a 1 b b 因此 也不正确 答案 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 给出两数 与 则其中较大的数为 解析 2 答案 8 高度提升 给出下列四个命题 若a b 则a2 b2 若a b 1 则 若正整数m和n满足m n 则 若x 0 且x 1 则lnx 2 其中真命题的序号是 解析 对于 易判断是错误的 对于 0 是真命题 对于 是真命题 对于 当0 x 1时lnx 0 故错误 答案 9 能力综合 用大小一样的钢珠可以排成正三角形和正方形数组 其排列的规律如下图所示 根据以上规律 若排成一个每边10个钢珠的正三角形和一个每边为10个钢珠的正方形 共需钢珠个 解析 根据题中给出的排列规律可归纳出排成每边n个钢珠的正三角形时需个钢珠 排成每边n个钢珠的正方形时需n2个钢珠 所以当n 10时 共需钢珠 102 55 100 155个 答案 155 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 10 视角拓展 若a b均是正实数 求证 解析 因为a b均是正实数 所以 0 所以 11 高度提升 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点 且与抛物线相交于a b两点 求证 对于抛物线的任何给定的一个弦cd 直线l不可能是cd的垂直平分线 解析 设c x1 y1 d x2 y2 则y1 y2且 2px1 2px2 假设直线l是cd的垂直平分线 由焦点f 0 l 得 fc fd 即 x1 2 x2 2 x1 x2 p x1 x2 又 2p x2 x1 0 因此 x1 x2 p 那么 2p x2 x1 2p2 0与实数平方和非负矛盾 故直线l不可能是cd的垂直平分线 12 能力综合 已知点