高中数学 1.2.1.3 排列的综合应用复习课件 新人教A版选修23.ppt

第3课时排列的综合应用 1 掌握常见的几种有限制条件的排列问题 2 能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题 1 本节重点是解决常见的排列问题 2 本节难点是与数字有关的排列问题 1 特殊元素优先法对于有特殊元素的排列问题 一般应先考虑 元素 再考虑其他元素 2 特殊位置优先法对于有特殊位置的排列问题 一般先考虑 位置 再考虑其他位置 特殊 特殊 3 相邻问题捆绑法对于要求某几个元素相邻的排列问题 可将相邻的元素 捆绑 起来 看作一个 大 元素 与其他元素一起排列 然后再对 元素内部进行排列 4 不相邻问题插空法对于要求有几个元素不相邻的排列问题 可先将其他元素排好 然后将 的元素插入在已排好的元素之间及两端空隙处 捆绑 不相邻 1 甲 乙 丙三人排成一排 你能写出甲必须站在乙左侧的全部排法吗 提示 甲乙丙 甲丙乙 丙甲乙 实际上排法共有 3种 2 用1 2 3三个数排成三位数 使1 2两个数相邻的三位数有 2个 对吗 提示 不对 由于数字比较少 可以一一列出 123 312 321 213 若采用捆绑法会更简单 即 4个 3 在数字1 2 3与符号 五个元素的所有全排列中 任意两个数字都不相邻的全排列个数是 解析 符号 只能在两个数之间 这是间隔排列 排法有 12种 答案 12 4 有四位司机 四个售票员组成四个小组 每一组一位司机和一位售票员 则不同的分组方案共有 种 解析 先把四位司机固定好 再把四个售票员分给四个司机 共有 4 3 2 1 24种 答案 24 1 应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤 实际问题中每一类 每一步中的计数问题 排列问题 求排列数 化归 建模 求数学模型 的解 得实际问 题的解 2 有限制条件的排列问题的类型及解题策略 1 首先要分清是分类还是分步 这是一个大的原则 一般情况下 对于较为复杂的问题 多是先分类 再在每一类中分步解决 2 其次要分清题型 可将题目大体分为诸如特殊位置 元素 类 相邻问题类 插空问题类等 再利用相应方法计算 3 最后注意应用正难则反的解题思想 即间接法 数字的排列问题 技法点拨 数字排列问题的解题原则 常用方法及注意事项 1 解题原则 排列问题的本质是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上 或某个位子不排某些元素 解决该类排列问题的方法主要是按 优先 原则 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子 若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时 应分类讨论 2 常用方法 直接法 间接法 3 注意事项 解决数字问题时 应注意题干中的限制条件 恰当地进行分类和分步 尤其注意特殊元素 0 的处理 典例训练 1 用1 2 3组成没有重复数字的整数 可以组成整数的个数为 a 27个 b 15个 c 12个 d 6个2 用0 1 2 3 4五个数可以组成 个无重复数字的五位数 3 用0 1 2 3 4 5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字 1 六位奇数 2 个位数字不是5的六位数 3 不大于4310的四位偶数 解析 1 选b 由题意知可分成三类 第一类 组成的整数为一位数 有3个 第二类 组成的整数为两位数 有 6个 第三类 组成的整数为三位数 有 6个 所以 组成没有重复数字的整数共有3 6 6 15个 2 先排万位 从1 2 3 4中任选一个有4种填法 其余四个位置的四个数共有种填法 故共有4 96个满足条件的五位数 答案 963 1 第一步 排个位 有种排法 第二步 排十万位 有种排法 第三步 排其他位 有种排法 故共有 288个六位奇数 2 方法一 直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同 因此需分两类 第一类 当个位排0时 有个 第二类 当个位不排0时 有个 故符合题意的六位数共有 504 个 方法二 排除法 0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数 这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况 故符合题意的六位数共有 504 个 3 当千位上排1 3时 有个 当千位上排2时 有个 当千位上排4时 形如40 42 的各有个 形如41 的有个 形如43 的只有4310和4302这两个数 故共有 互动探究 若题3的条件不变 1 能被5整除的五位数有多少个 2 能被3整除的五位数有多少个 3 若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 an 则240135是第几项 解题指南 能被5整除的数字必须是个位为0或5 能被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除 明确这点是解决此题的关键 解析 1 个位上的数字必须是0或5 个位上是0 有个 个位上是5 若不含0 则有个 若含0 但0不作首位 则0的位置有种排法 其余各位有种排法 故共有 216 个 能被5整除的五位数 2 能被3整除的条件是各位上数字之和能被3整除 则5个数可能有 1 2 3 4 5 和 0 1 2 4 5 两种情况 能够组成的五位数分别有个和个 故能被3整除的五位数有 216 个 3 由于是六位数 首位数字不能为0 首位数字为1有个数 首位数字为2 万位上为0 1 3中的一个有3个数 240135的项数是 3 1 193 即240135是数列的第193项 思考 组数问题中能被2 3 4 5 6整除的数的特征分别是什么 提示 能被2整除的数的特征 末位是偶数 能被3整除的数的特征 各位上数字之和为3的倍数 能被4整除的数的特征 末两位是4的倍数 能被5整除的数的特征 末位是0或5 能被6整除的数的特征 各位上数字之和是3的倍数的偶数 排队 排节目顺序问题 技法点拨 排队 排节目问题的解题策略 1 合理归类 要将题目大致归类 常见的类型有特殊元素 特殊位置 相邻问题 不相邻问题等 再针对每一类采用相应的方法解题 2 恰当结合 排列问题的解决离不开两个计数原理的应用 解题过程中要恰当结合两个计数原理 3 正难则反 这是一个基本的数学思想 巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果 典例训练 1 某台小型晚会由6个节目组成 演出顺序有如下要求 节目甲必须排在前两位 节目乙不能排在第一位 节目丙必须排在最后一位 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 a 36种 b 42种 c 48种 d 54种 2 2012 舟山高二检测 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照 要求排成一行 2位老人相邻但不排在两端 不同的排法共有 a 1440种 b 960种 c 720种 d 480种 3 三个女生和五个男生排成一排 1 如果女生全排在一起 有多少种不同排法 2 如果女生互不相邻 有多少种不同排法 3 如果女生不站两端 有多少种不同排法 4 如果甲 乙两人必须站两端 有多少种不同的排法 5 如果甲不站左端 乙不站右端 有多少种不同排法 解析 1 选b 先排丙 只有一种排法 若甲排第一位 则其余4个节目共有 24种排法 若甲排第二位 乙有3种排法 其余3个节目共有种排法 3 18 共有24 18 42种编排方案 2 选b 先将5名志愿者排好 有种方法 由于2位老人相邻但不排在两端 必须将他们排在5名志愿者之间的4个空位上 有4种方法 最后把2位老人进行全排列有种方法 根据分步乘法计数原理知不同的排法有4 4 2 5 4 3 2 1 960 种 3 1 捆绑法 由于女生排在一起 可把她们看成一个整体 这样同五个男生合在一起有6个元素 排成一排有种排法 而每一种排法中 三个女生间又有种排法 因此共有 4320种不同排法 2 插空法 先排5个男生 有种排法 这5个男生之间和两端有6个位置 从中选取3个位置排女生 有种排法 因此共有 14400种不同排法 3 方法一 位置分析法 因为两端不排女生 只能从5个男生中选2人排列 有种排法 剩余的位置没有特殊要求 有种排法 因此共有 14400种不同排法 方法二 元素分析法 从中间6个位置选3个安排女生 有种排法 其余位置无限制 有种排法 因此共有 14400种不同排法 方法三 间接法 3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法 从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次 在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次 所以还需加回来一次 由于两端都是女生有种不同的排法 所以共有 2 14400种不同的排法 4 甲 乙为特殊元素 先将他们排在两头位置 有种 其余6人全排列 有种 所以共有 1440种不同的排法 5 甲 乙为特殊元素 左 右两边为特殊位置 方法一 特殊元素法 甲在最右边时 其他的可全排 有种 甲不在最右边时 可从余下6个位置中任选一个 有种 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上 有种 其余人全排列 共有种 由分类加法计数原理得 30960种 方法二 特殊位置法 先排最左边 除去甲外 有种 余下7个位置全排列 有种 但应剔除乙在最右边时的排法种 所以共有 30960种 方法三 间接法 8个人全排 共种 其中 不符合条件的有甲在最左边时种 乙在最右边时种 其中都包含了甲在最左边 同时乙在最右边的情形 有种 所以共有 2 30960种 想一想 对于题3中的 5 解答时应注意什么 如何解决排队问题 提示 1 通过对题3中的 5 利用的三种不同的方法 前两种在思维上较复杂 第三种方法利用间接法 比较方便 但要注意不重不漏 2 处理排队和节目顺序安排问题时 元素 相邻 不相邻 问题应遵循 先整体后局部 的原则 元素相邻问题一般用 捆绑法 元素不相邻问题一般用 插空法 变式训练 某校为庆祝2012年国庆节 安排了一场文艺演出 其中有3个舞蹈节目和4个小品节目 按下面要求安排节目单 有多少种方法 1 3个舞蹈节目互不相邻 2 3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间 解析 1 先安排4个小品节目 有种排法 4个小品节目中和两头共5个空 将3个舞蹈节目插入这5个空中 共有种排法 所以共有 1440种排法 2 由于舞蹈节目与小品节目彼此相间 故小品只能排在1 3 5 7位 舞蹈排在2 4 6位 安排时可分步进行 先安排4个小品节目在1 3 5 7位 共种排法 再安排舞蹈节目在2 4 6位 有种排法 故共有 144种排法 固定顺序的排列问题 技法点拨 固定顺序的排列问题的求解方法这类问题的解法是采用分类法 n个不同元素的全排列有种排法 m个元素的全排列有种排法 因此种排法中 关于m个元素的不同分法有类 而且每一分类的排法数是一样的 当这m个元素顺序确定时 共有种排法 典例训练 1 由1 2 3 4 5五个数字组成各位数字不同的五位数 使2必须在4的右边 可以不相邻 有 种排法 2 7名师生站成一排照相留念 其中老师1人 男学生4人 女学生2人 若4名男生身高都不等 按从高到低的顺序站不同的站法有 3 7人站成一排 1 甲 乙 丙排序一定时 有多少种排法 2 甲在乙的左边 不一定相邻 有多少种不同的排法 解析 1 设所求的排法有x种 这种对于符合条件的每一排法 不改变2 4的位置 只改变2 4的顺序 有种排法 由分步乘法计数原理 五个数字的全排列有x种方法 而五个数字的全排列有种方法 所以x 得x 60种 答案 60 2 7人全排列中 4名男生不考虑身高顺序的站法有种 而由高到低有从左到右或从右到左的不同 所以共有不同站法2 420种 答案 4203 1 方法一 7人的所有排列方法有种 其中甲 乙 丙的排序有种 又对应甲 乙 丙只有一种排序 所以甲 乙 丙排序一定的排法共有 840种 方法二 插空法 7人站定7个位置 只要把其余4人排好 剩下的3个空位 甲 乙 丙就按他们的顺序去站 只有一种站法 故 7 6 5 4 840种 2 甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等 而7人排列数恰好是这二者之和 因此满足条件的有 2520种 易错误区 对特殊元素考虑不周导致失误 典例 4名运动员参加4 100接力赛 根据平时队员训练的成绩 甲不能跑第一棒 乙不能跑第四棒 则不同的出场顺序有 a 12种 b 14种 c 16种 d 24种 解题指导 解析 选b 用排除法 若不考虑限制条件 4名队员全排列共有 种排法 除甲跑第一棒有 种排法 乙跑第四棒有 种排法 再加上甲在第一棒且乙在第四棒有种排法 共有种不同的出场顺序 阅卷人点拨 通过阅卷后分析 对解答本题的常见错误及解题启示总结如下 注 此处的 见解析过程 即时训练 星期一共排六节不同的课 1 若第一节排数学或第六节排体育 不同的排法有 种 2 若第一节不排体育 第六节不排数学 不同的排法有 种 解析 1 数学排在第一节有种排法 体育排在第六节有种排法 数学排在第一节且体育排在第六节有种排法 故第一节排数学或第六节排体育共有 216种排法 2 若不考虑限制条件 六节课全排列共有种排法 体育排在第一节有种排法 数学排在第六节有种排法 体育排在第一节且数学排在第六节有种排法 所以共有 2 504种不同的排法 答案 1 216 2 504 1 用数字1 2 3 4 5组成无重复数字的四位偶数的个数 a 8 b 24 c 48 d 120 解析 选c 个位数有种排法 十位 百位 千位有种排法 从而共有 48个不同的四位偶数 2 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目