高中物理-“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析

带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动 解析解析 处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题 其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用 重 要的是正确建立完整的物理模型 画出准确 清晰的运动轨迹 下面我们从基本问题出发对 带电 粒子在磁场中的圆周运动 进行分类解析 一 一 带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动 的基本型问题的基本型问题 找圆心 画轨迹是解题的基础 带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀 速圆周运动 抓住运动中的任两点处的速度 分别作出各速度的垂线 则二垂线的交点必为圆心 或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心 再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过 的圆心角从而解答物理问题 例例 1 1 图示在 y 0 的区域内存在匀强磁场 磁场方向垂直于 xy 平面并指向纸面外 磁场的磁感 应强度为 B 一带正电的粒子以速度 V0从 O 点射入磁场中 入射方向在 xy 平面内 与 x 轴正方向的 夹角为 若粒子射出磁场的位置与 O 点的距离为 L 求 该粒子的电荷量和质量比 粒子在 磁场中的运动时间 分析 分析 粒子受洛仑兹力后必将向下偏转 过 O 点作速度 V0的垂 线必过粒子运动轨迹的圆心 O 由于圆的对称性知粒子经过点 P 时的速度方向与 x 轴正方向的夹角必为 故点 P 作速度的垂线与 点 O 处速度垂线的交点即为圆心 O 也可以用垂径定理作弦 OP 的 垂直平分线与点 O 处速度的垂线的交点也为圆心 由图可知粒子 圆周运动的半径由有 再由洛仑兹力 作向心力得出粒子在磁场中的运动半径为故有 解之 由图知粒子在磁场中转过的圆心角为 故粒子在磁场中的运动时间为 例例 2 2 如图以 ab 为边界的二匀强磁场的磁感应强度为 B1 2B2 现有一质量为 m 带电 q 的粒子 从 O 点以初速度 V0沿垂直于 ab 方向发射 在图中作出粒子运动轨迹 并求出粒子第 6 次穿过直线 ab 所经历的时间 路程及离开点 O 的距离 粒子重力不计 分析 分析 粒子在二磁场中的运动半径分别为 由粒子在磁场中所受的洛 仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示 粒子从点 O 出发第 6 次穿过直线 ab 时的位置必为 点 P 故粒子运动经历的时间为 而粒子的运动周期代入前式 有 粒子经过的路程 点 O 与 P 的距离为 模型要点模型要点 画轨迹 找圆心 求半径 利用几何关系 构造直角三角形 画轨迹 找圆心 求半径 利用几何关系 构造直角三角形 二 二 带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动 的范围型问题的范围型问题 寻找引起范围的 临界轨迹 及 临界半径 R0 然后利用粒子运动的实际轨道半径 R 与 R0的大 小关系确定范围 例例 3 3 如图所示真空中宽为 d 的区域内有强度为 B 的匀强磁场方向如图 质量 m 带电 q 的粒子 以与 CD 成 角的速度 V0垂直射入磁场中 要使粒子必能从 EF 射出则初速度 V0应满足什么条件 EF 上有粒子射出的区域 分析 分析 粒子从 A 点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动 要使粒子必能从 EF 射 出 则相应的临界轨迹必为过点 A 并与 EF 相切的轨迹如图示 作出 A P 点速度 的垂线相交于 O 即为该临界轨迹的圆心 临界半径 R0由有 故粒子必能穿出 EF 的实际运动轨迹半径 R R0 即 有 由图知粒子不可能从 P 点下方向射出 EF 即只能从 P 点上方某一区域射出 又由于粒子从点 A 进 入磁场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转 故粒子不可能从 AG 直线上方射出 由此可见 EF 中有粒 子射出的区域为 PG 且由图知 例例 4 4 如图所示 S 为电子射线源能在图示纸面上和 360 范围内向各个方向发射速率相等的质量 为 m 带电 e 的电子 MN 是一块足够大的竖直档板且与 S 的水平距离 OS L 档板左侧充满垂直纸 面向里的匀强磁场 若电子的发射速率为 V0 要使电子一定能经过点 O 则磁场的磁感应强度 B 的 条件 若磁场的磁感应强度为 B 要使 S 发射出的电子能到达档板 则电子的发射速率多大 若 磁场的磁感应强度为 B 从 S 发射出的电子的速度为 则档板上出现电子的范围多大 分析 分析 电子从点 S 发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动 由于 电子从点 S 射出的方向不同将使其受洛仑兹力方向不同 导致电子的轨迹不同 分 析知只有从点 S 向与 SO 成锐角且位于 SO 上方发射出的电子才可能经过点 O 要使电子一定能经过点 O 即 SO 为圆周的一条弦 则电子圆周运动的轨道半 径必满足 由 要使电子从 S 发出后能到达档板 则电子至少能到达档板上的 O 点 故仍有粒子圆周运动半径 由有 当从 S 发出的电子的速度为时 电子在磁场中的运动轨迹半径 但由于电 子发射出的方向不同则其轨道不同 因而到达 MN 板的位置不同 由此作出图示的二临界轨迹 故电子击中档板的范围在 P1P2间 对 SP1弧由图知 且该电子 的发射方向与 SO 必成 30 向 SO 下方发射 对 SP2弧由图知 且该电子 的发射方向与 SO 成 为而向 SO 的左上方发射 三 三 带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动 的极值型问题的极值型问题 寻找产生极值的条件 直径是圆的最大弦 同一圆中大弦对应大的圆心角 由轨迹确定半 径的极值 例例 5 5 图中半径 r 10cm 的圆形区域内有匀强磁场 其边界跟 y 轴在坐标原点 O 处相切 磁场 B 0 33T 垂直于纸面向内 在 O 处有一放射源 S 可沿纸面向各个方向射出速率均为 的 粒子 已知 粒子质量为 电量 则 粒子通过磁场空间的最大偏转角 及在磁场中运动的最长时间 t 各多少 分析 分析 粒子从点 O 进入匀强磁场后必作匀速圆周运动 其运动半径由一 定 由于 粒子从点 O 进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同 则粒子通过磁场的 速度偏向角 不同 要使 粒子在运动中通过磁场区域的偏转角 最大 则必使粒子在磁场中运 动经过的弦长最大 因而圆形磁场区域的直径 OP 即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦 故 粒 子从点 O 入磁场而从点 P 出场的轨迹如图圆 O 所对应的圆弧示 该弧所对的圆心角即为最大偏转角 由前面计算知 SO P 必为等边三角形 故 30 且 2 60 此过程中粒子在磁场中 运动的时间由即为粒子在磁场中运动的最 长时间 例例 6 6 一质量 m 带电 q 的粒子以速度 V0从 A 点沿等边三角形 ABC 的 AB 方向射入强度为 B 的垂 直于纸面的圆形匀强磁场区域中 要使该粒子飞出磁场后沿 BC 射出 求圆形磁场区域的最小面积 分析 分析 由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定 故作出 粒子沿 AB 进入磁场而从 BC 射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示 只要小的一 段圆弧 PQ 能处于磁场中即能完成题中要求 故由直径是圆的最大弦可得圆形 磁场的最小区域必为以直线 PQ 为直径的圆如图中实线圆所示 由于三角形 ABC 为等边三角形 故图中 30 那么 故 最小磁场区域的面积为 例例 7 7 有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处 如图所示相同的速率 v0向第一象限平面内的 不同方向发射电子 已知电子质量为 m 电量为 e 欲使这些电子穿过垂直于纸面 磁感应强度为 B 的匀强磁场后 都能平行于 x 轴沿 x 方向运动 求该磁场方向和磁场区域的最小面积 s 分析 分析 由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 R mv0 Be 是确定的 设磁场区域足够大 作出电子可能的运动轨道如图所示 因为电子只能 向第一象限平面内发射 所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O1 它 就是磁场的上边界 其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心 以 R 为半径的圆弧 O1O2On 由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场 故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点 如对图中任 一轨迹圆 O2而言 要使电子能平行于 x 轴向右飞出磁场 过 O2作弦的垂线 O2A 则电子必将从点 A 飞出 相当于将此轨迹的圆心 O2沿 y 方向平移了半径 R 即为此电子的出场位置 由此可见我们将轨 迹的圆心组成的圆弧 O1O2On沿 y 方向向上平移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界 图中圆弧 OAP 示 综上所述 要求的磁场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围 利用正方形 OO1PC 的面积减去扇 形 OO1P 的面积即为 OBPC 的面积 即 R2 R2 4 根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S 2 R2 R2 4 2 1 mv0 Be 2 四 四 带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动 的多解型问题的多解型问题 抓住多解的产生原因 速度方向的不确定引起的多解 与自然数相关的多解即粒子运动时间 与运动周期的倍数不确定 例例 8 8 在前面 例 4 中若将档板取走 磁场磁感应强度为 B 当电子 以速率从点 S 射出后要击中 O 点 则点 S 处电子的射出方向与 OS 的夹角 为多少 从 S 到点 O 的时间多少 分析 分析 由已知条件知电子圆周运动的半径 电子从点 S 射出后要经过点 O 即直线 SO 为圆的一条弦 由图知必有两种运动轨迹存在 由于题中 SO L r 故 OSO2 60 那么电子从 点 S 的发射速度 V2的方向与 SO 所成的夹角 30 图中 OSO1 60 故电子的发射速度 V1的 方向与 SO 所成的夹角 150 例例 9 9 一质量 m 带电 q 的粒子以速率 V 垂直射入磁感应强度为 B 的匀强磁场 中 粒子经过一段时间受到的冲量的大小为 mv 粒子重力不计 则此过程经历 的时间为多少 分析 分析 粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径 右图示设粒子的初位置为 a 因其受冲量的 大小为 mv 而方向未知故必有右图中的两种情况 即未动量的方向有 P1 P2两个 对应的冲量方向仍 有 I1 I2两个 粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为 mv 不变 由动量定理可 知而 故粒子在该过程中经历的时间为 其中 例例 1010 在半径为 r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场 磁感应强度为 B 一质量为 m 带电 q 的粒子以速度 V 从筒壁 A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中 若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒 壁发生弹性碰撞 欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 A 处射出 则 B 必须满足什么条 件 带电粒子在磁场中的运动时间 分析 分析 由于粒子从 A 处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动 要使粒子又从 A 处沿半径方向射向 磁场 且粒子与筒壁的碰撞次数未知 故设粒子与筒壁的碰撞次数为 n 不含返回 A 处并从 A 处射出 的一次 由图可知 其中 n 为大于或等于 2 的 整数 当 n 1 时即粒子必沿圆 O 的直径作直线运动 表示此时 B 0 由图知粒子圆周运动的半径 R 为 再由粒子在磁场中的运动半径可求出 粒子在磁场中的运动周期为 粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得 粒子从 A 射入磁场再从 A 沿半径射出磁场的过程中将经过 n 1 段圆弧 故粒 子运动的总时间为 将前面 B 代入 T 后与共同代入前式得 五 五 带电粒子在磁场中的圆周运动带电粒子在磁场中的圆周运动 的动力学问题的动力学问题 注意洛仑兹力不做功 洛仑兹力的方向将随物体的运动方向的变化而发生相应的变化 正确结合 变速圆周运动中的动力学关系与能量守恒定律处理 例例 1111 金属小球质量 m 带电 q 由长 L 的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的 O 点 然后将小球 拉到 600 处由静止释放 小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为 0 求 磁场的磁感应 强度 B 小球住复摆动中悬线上的最大张力多少 分析 分析 小球从点 A 由静止释放后在绕点 O 运动中必同时受到重力 线的 拉力及洛仑兹力作用 由左手定则知小球从 A 向 P 运动中洛仑兹力方向必沿 半径指向圆心 且洛仑兹力对小球不做功 故小球到达 P 点的速度大小 为 小球在 P 点受力如图示由圆周运动有 由 共得 由 求出 故 小球从右向左运动或从左向右运动中由于所受洛仑兹力的方