高中数学 第3章 导数应用章末高效整合课件 北师大版选修22.ppt

章末高效整合 知能整合提升 1 利用导数判断单调性的步骤及注意的问题 1 步骤 确定函数f x 的定义域 求导数f x 令f x 0 解出x的取值范围 便得函数单调递增的区间 令f x 0 解出x的取值范围 便得函数单调递减的区间 2 注意的问题 确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于0的点外 还要注意定义区间内的不连续点或不可导点 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 减 函数的充分条件 2 极值与最值的求法 1 极值的求法 设函数y f x 在点x0处连续且f x0 0 若在点x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数的极大值 若在点x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数的极小值 2 最值的求法 函数的最值 在闭区间 a b 上连续的单调函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 先求出f x 在 a b 内的极值 然后将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 3 极值与最值的区别 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义区间而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性概念 2 闭区间上的连续函数一定有最值 开区间内的可导函数不一定有最值 若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 开区间 a b 上的连续函数f x 在 a b 上最值 极值情况有如下几种可能情况 没有极值 无最大值无最小值 有极大值无极小值 有最大值无最小值 有极小值无极大值 有最小值无最大值 有极大值 极小值 极大值 极小值即为最大值 最小值 4 用导数解决实际问题应注意的问题 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点f x 0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还应确定出函数关系式中自变量的定义区间 热点考点例析 基本初等函数的单调性可利用单调性的概念和函数图象与性质进行研究 而非基本初等函数的单调性问题一般可用导数方法进行研究 f x 0 0 在区间 a b 上成立是f x 在区间 a b 上是增加 减少 的充分条件 反之 f x 在区间 a b 上是增加 减少 的 则有f x 0 0 在区间 a b 上恒成立 且f x 不恒为零 据此理论可研究函数的单调性或由函数的单调性求其所含参数的取值问题 利用导数研究函数的单调性问题 1 求函数y lnx 2x2的单调区间 2 讨论函数f x loga 3x2 5x 2 a 0且a 0 的单调性 导数是求函数极值与最值的最有力工具 函数y f x 的极值是其定义域内的一个局部概念 用f x 0的根 将f x 的定义域分成若干个小区间 并列成表格 结合每个小区间内f x 的正负号来判定f x 在相应区间上的增减性来确定f x 的极值 f x 0的根x不一定是函数的极值点 对于求函数的最值问题 只需将极值与区间端点函数值比较即可 利用导数研究函数的极值与最值 3 已知函数f x ax3 cx d a 0 是r上的奇函数 当x 1时 f x 取得极值 2 1 求y f x 的单调区间和极大值 2 证明 对任意x1 x2 1 1 不等式 f x1 f x2 4恒成立 则f x 3x2 3 3 x 1 x 1 所以有f 1 f 1 0 当x 1 时 f x 0 故y f x 在区间 1 上是增函数 当x 1 1 时 f x 0 故y f x 在区间 1 1 是减函数 当x 1 时 f x 0 故y f x 在区间 1 上是增函数 所以f x 的单调增区间为 1 和 1 单调减区间为 1 1 所以y f x 在x 1处取得极大值 极大值为f 1 2 2 证明 由 1 知 f x x3 3x在 1 1 上是减函数 所以y f x 在 1 1 上的最大值m f 1 2 y f x 在 1 1 上的最小值m f 1 2 所以对任意的x1 x2 1 1 恒有 f x1 f x2 m m 2 2 4 已知函数的单调性求参数的取值范围时 有两种方法 一是利用函数单调性的定义 二是利用导数法 利用导数法更为简捷 利用导数法解决取值范围问题时有两个基本思路 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 先用分离参数或函数性质求解参数范围 然后检验参数取 时是否满足题意 另一思路是先令f x 0 或f x 0 求出参数的取值范围后 再令参数取 看此时f x 是否满足题意 利用导数研究参数的取值范围 已知不等式恒成立求参数的取值范围时 通常转化为研究函数的最值问题 利用最大值 最小值 满足条件 求得参数的范围 已知函数f x 12x4lnx 3x4 c x 0 在x 1处取得极值 3 c 其中c为常数 若对任意x 0 不等式f x 2c2恒成立 求c的取值范围 思维点击 根据极值的含义 判断在x 1左右两侧导函数f x 的符号变化情况 确定函数的极值的属性 找到参数与极值的关系求参数范围 规范解答 f x 48x3lnx x 0 令f x 0 解得x 1 当0 x 1时 f x 0 此时f x 为减函数 当x 1时 f x 0 此时f x 为增函数 因此f x 的单调递减区间为 0 1 而f x 的单调递增区间为 1 所以f x 在x 1处取得极小值f 1 3 c 此极小值也是最小值 要使f x 2c2 x 0 恒成立 只需 3 c 2c2 4 已知函数f x 2x3 x2 ax b 1 若函数f x 的图像上有与x轴平行的切线 求参数a的取值范围 2 若函数f x 在x 1处取得极值 且x 1 2 时 f x b2 b恒成立 求参数b的取值范围 利用导数求实际问题的最大 小 值时 应注意以下问题 1 求实际问题的最大 小 值时 一定要从问题的实际意义去研究 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 由f x 0常常仅解到一个根 若能判断出函数的最大 小 值在x的变化区间内部得到 则这个根处的函数值就是所求的最大 小 值 导数的实际应用 思维点击 用料最省问题是日常生活中常见问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确写出函数表达式 准确求导 把数学结论返回到实际问题中去 5 某造船公司年造船量是20艘 已知造船x艘的产值函数为r x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数c x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数的边际函数mf x 定义为mf x f x 1 f x 1 求利润函数p x 及边际利润函数mp x 注 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数mp x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么 解析 1 p x r x c x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x n 1 x 20 mp x p x 1 p x 30 x2 60 x 3275 x n 1 x 19 2 p x 30 x2 90 x 3240 30 x 12 x 9 当0 x 12时 p x 0 当x 12时 p x 0 当x 12时 p x 有最大值 故年造船量安排12艘时 可使公司造船的年利润最大 3 mp x 30 x 1 2 3305 当x 1时mp x 单调递减 所以单调递减区间为 1 19 且x n mp x 是减函数的实际意义是随着产量的增加 每艘利润与前一艘利润比较 利润在减少 1 如图是函数y f x 的导函数f x 的图像 则下面哪一个判断是正确的 a 在区间 2 1 内f x 是增函数b 在区间 1 3 内f x 是减函数c 在区间 4 5 内f x 是增函数d 在x 2时 f x 取到极小值解析 f x 在 2 1 和 1 3 内不具有单调性 在x 2时 f x 取到极大值 故选c 答案 c 2 对