高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3.2 直线与平面垂直课件 苏教版必修2.ppt

1 线面垂直的定义 1 定义 如果一条直线a与一个平面 内的任意一条直线都垂直 就说直线a与平面 互相垂直 记作a 直线a叫做平面 的垂线 平面 叫做直线a的垂面 垂线和平面的交点叫做垂足 2 惟一性定理 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 点面距 线面距 从平面外一点引平面的垂线 这个点和垂足间的距离 叫做这个点到这个平面的距离 一条直线和一个平面平行 这条直线上任意一点到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 交流1 1 如果一条直线与一个平面内的无数条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直吗 2 若l 则直线l到 的距离就是l上任意一点到平面 的距离 这种说法对吗 为什么 答案 1 不一定 如果平面内的那无数条直线都互相平行 那么直线与平面的位置关系可能是斜交 垂直 平行 在平面内 2 正确 因为直线l上各点到平面 的距离都相等 2 线面垂直的判定定理及性质定理 1 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 用符号表示为若a m a n m n a m n 则a 2 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 用符号表示为a b 则a b 交流2在直线与平面垂直的判定定理中 若去掉m n a 结论还成立吗 答案 不一定 如图正方体中m n l m l n 但l 故定理中的 两条相交直线 是不可缺少的条件 3 直线与平面所成的角线面角 一条直线与一个平面相交 但不和这个平面垂直 这条直线叫做这个平面的斜线 斜线与平面的交点叫做斜足 斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线与这个平面所成的角 一条直线垂直于平面 则它们所成的角为直角 一条直线与平面平行或在平面内 则它们所成的角是0 的角 交流3平面的一条斜线与平面所成的角的范围是什么 任意一条直线与平面所成的角的范围呢 答案 平面的一条斜线与平面所成的角 的范围是0 90 任意一条直线与平面所成的角 的范围是0 90 典例导学 一 二 三 即时检测 一 线面垂直的判定定理及应用如图 在 abc中 abc 90 d是ac的中点 s是 abc所在平面外一点 且sa sb sc 导学号51800031 1 求证 sd 平面abc 2 若ab bc 求证 bd 平面sac 思路分析 题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等 ab bc d是ac的中点 要证 1 需在平面abc内找两条相交直线与sd垂直 故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系 要证 2 需设法在平面sac内找两条相交直线与bd垂直 可利用 1 的结论 典例导学 一 二 三 即时检测 证明 1 因为sa sc d是ac的中点 所以sd ac 在rt abc中 ad bd 由已知sa sb 所以 ads bds 所以sd bd 又ac bd d 所以sd 平面abc 2 因为ab bc d为ac的中点 所以bd ac 由 1 知sd bd 因为sd ac d 所以bd 平面sac 典例导学 一 二 三 即时检测 1 如图 在正方形abcd中 e f分别是ab bc的中点 现在沿de df及ef把 ade cdf bef折起 使a b c三点重合于点p 则dp 平面 解析 a b c重合于一点p 且ad ae dc cf pd pe dp pf 将a c换成p dp 平面pef 答案 pef 典例导学 一 二 三 即时检测 2 如图 ab是圆o的直径 pa垂直于圆o所在平面 m是圆周上任意一点 an pm 垂足为n 求证 an 平面pbm 证明 设圆o所在平面为 已知pa 且bm pa bm 又 ab为 o的直径 点m为圆周上一点 am bm 由于直线pa am a bm 平面pam 而an 平面pam bm an 又pm an pm bm m an 平面pbm 典例导学 一 二 三 即时检测 判定直线与平面垂直的方法 应用直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要方法 如果在一个问题的条件中 出现较多的线线垂直或线面垂直 那么证线面垂直常会选择直线与平面垂直的判定定理 关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直 典例导学 即时检测 一 二 三 二 线面垂直性质定理的应用如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别在a1d ac上 且ef a1d ef ac 导学号51800032 求证 ef bd1 思路分析 题目条件中给出了线线垂直 通过转化可证得线面垂直 要证ef bd1 只需证明ef与bd1同垂直于某一平面即可 由条件可知这里当然选择平面ab1c 典例导学 即时检测 一 二 三 证明 如图所示 连结ab1 b1c bd b1d1 dd1 平面abcd ac 平面abcd dd1 ac 又 ac bd且bd dd1 d ac 平面bdd1b1 bd1 平面bdd1b1 bd1 ac 同理可证bd1 b1c 又ac b1c c bd1 平面ab1c ef a1d a1d b1c ef b1c 又ef ac且ac b1c c ef 平面ab1c ef bd1 典例导学 即时检测 一 二 三 1 已知 abc在平面 内 a 90 da 平面 则ca与db的位置关系是 解析 da 平面 ac 平面 da ac 又ac ab ab da a ac 平面abd bd 平面abd ac bd 答案 垂直 典例导学 即时检测 一 二 三 2 已知 ab pq 于q po 于o or 于r 求证 qr ab 证明 如图 ab po 于o po ab pq 于q pq ab po pq p ab 平面pqo or 于r pq or pq与or确定平面pqro 又 qr 平面pqro qr ab 典例导学 即时检测 一 二 三 证明线线平行常有如下方法 1 利用线线平行定义证共面且无公共点 2 利用三线平行公理证两直线同时平行于第三条直线 3 利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行 4 利用线面垂直的性质定理把证线线平行转化为证线面垂直 5 利用面面平行的性质定理把证线线平行转化为证面面平行 典例导学 即时检测 一 二 三 三 线面距 线面角的有关问题rt abc在平面 内 点p在平面 外 p到直角顶点a的距离为8 到两条直角边的距离均为5 求 导学号51800033 1 p到平面 的距离 2 pa与平面 所成角的正弦值 思路分析 1 要求p到平面 的距离 于是我们过p作po 于点o 再利用勾股定理求得p到平面 的距离 2 容易证明 pao即为pa与平面 所成角 可在rt pao中应用锐角三角函数定义求得 典例导学 即时检测 一 二 三 解 1 如图 过点p作po 于点o 作od ab于点d 连结pd 典例导学 即时检测 一 二 三 1 2016浙江杭州高二联考 如图 在三棱柱abc a b c 中 底面abc是正三角形 aa 底面abc 且ab 1 aa 2 则直线bc 与平面abb a 所成角的正弦值为 导学号51800034 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 如图所示 取a b 的中点d 连结c d bd 底面 a b c 是正三角形 c d a b aa 底面abc a a c d 又aa a b a c d 侧面abb a c bd是直线bc 与平面abb a 所成的角 典例导学 即时检测 一 二 三 2 在三棱锥p abc中 acb 90 pa pb pc ac 18cm p到bc的距离为41cm 则p到平面abc的距离为 导学号51800035 解析 过p作po 平面abc 垂足为o 由pa pb pc知o是 abc的外心 又 abc为直角三角形 o为斜边ab的中点 作om ac 则om bc 且m为bc的中点 又pc pb bc pm 答案 40cm 典例导学 即时检测 一 二 三 不论是求点面距还是求线面角 都离不开证线面垂直 有了线面垂直 便可找到垂线段 得出点面距 有了线面垂直 才有射线在平面内的射影 才能找出线面角 解此类题的一般步骤是作 找 证 算 求 典例导学 1 2 3 4 即时检测 1 已知m n l是三条直线 是两个平面 下列命题中 正确的是 若l垂直于 内两条直线 则l 若l平行于 则 内有无数条直线与l平行 若m m n 则m n 若l m 则l ma b c d 解析 应是 内两条相交直线 不正确 正确 过l的平面与平面 有无数条交线 这些交线都与l平行 m与n还可能异面 不正确 正确 答案 c 典例导学 即时检测 1 2 3 4 2 一条直线和三角形的两边同时垂直 则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 填 垂直 或 不垂直 解析 如图 由已知假设l ab l ac ab ac a 不妨假设ab与ac共面于 则l 又bc l bc 答案 垂直 典例导学 即时检测 1 2 3 4 3 在 abc中 ab ac 5 bc 6 pa 平面abc pa 8 则p到bc的距离是 导学号51800036 解析 取bc的中点d 连结pd ad ab ac ad bc 又 pa 平面abc bc 平面abc pa bc ad pa a bc 平面pad pd 平面pad pd bc pd的长度就是p到bc的距离 在 abc中 ab ac 5 bc 6 cd 3 ad 4 在rt pad中 pd2 pa2 ad2 82 42