人教版九年级数学上册二次函数重难点专题训练卷1.doc

二次函数重难点专题训练卷（1） 班级 姓名 1、 选择题1、已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（1，0），下列结论：abc0；b24ac=0；a2；4a2b+c0其中正确结论的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 42、已知抛物线y=x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C若D为AB的中点，则CD的长为（）21教育网ABCD3、如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（，m）（m0），则有（）【来源：21cnj*y.co*m】 A a=b+2kBa=b2kCkb0 Dak04、函数y=与y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）A 1个B2个C3个D4个6、如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1，给出四个结论：b24ac；bc0；2a+b=0；a+b+c=0，其中正确结论是（ ）ABCD7、对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Maxa，b表示a、b中的较大值，如：Max2，4=4，按照这个规定，方程的解为（ ）. A. B. C. D.8、若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（） A a（x0x1）（x0x2）0 B a0 C b24ac0 D x1x0x2二、填空题9、关于x的一元二次方程kx2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 10、如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（1，0）有下列结论：abc0；4a2b+c0；4a+b=0；抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；点（3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1y2其中正确的是 （填序号即可）三、解答题11、如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）【版权所有：21教育】（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且MND=OAB，当DMN与OAB相似时，请你直接写出点M的坐标12、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点M（2，），顶点坐标为N（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由13、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F（1）求证：ABDODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MFBD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PDDQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由14、已知二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D21世纪*教育网（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由15、已知：抛物线l1：y=x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MNy轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值www-2-1-cnjy-com16、如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于点B，C两点（点C在轴正半轴上），ABC为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与轴的交点为H.21*cnjy*com（1）求，的值；（2）连结OF，试判断OEF是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.17、如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点21教育名师原创作品（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？【来源：21世纪教育网】（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由18、如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D（1，m）在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；（2）当点D的坐标为（1，1）时，连接BD、BE求证：BE平分ABD；（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标二次函数重难点专题训练卷答案详解一、选择题故选：B2、已知抛物线y=x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C若D为AB的中点，则CD的长为（）21cnjycomABCD【解析】选D.令y=0，则x2+x+6=0，解得：x1=12，x2=3A、B两点坐标分别为（12，0）（3，0）D为AB的中点，D（4.5，0），OD=4.5，当x=0时，y=6，OC=6，CD=故选：D3、如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（，m）（m0），则有（）2-1-c-n-j-yA a=b+2kBa=b2kCkb0 Dak0【解析】选D.y=ax2+bx图象的顶点（，m），=，即b=a，m=，顶点（，），把x=，y=代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，a0，ak0，故选D4、函数y=与y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【解析】选B.由解析式y=kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误故选：B5、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下四个结论：abc=0，a+b+c0，ab，4acb20；其中正确的结论有（）21*cnjy*comA 1个B2个C3个D4个【解析】选C.二次函数y=ax2+bx+c图象经过原点，c=0，abc=0正确；x=1时，y0，a+b+c0，不正确；抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴是x=，b0，b=3a，又a0，b0，ab，正确；二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，0，b24ac0，4acb20，正确；综上，可得正确结论有3个：故选：C6、如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x=1，给出四个结论：b24ac；bc0；2a+b=0；a+b+c=0，其中正确结论是（ ）ABCD【解析】选B.图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，b24ac0，b24ac，正确；因为开口向下，故a0，有0，则b0，又c0，故bc0，错误；由对称轴x=1，得2a+b=0，正确；当x=1时，a+b+c0，错误；故正确故选：B7、对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Maxa，b表示a、b中的较大值，如：Max2，4=4，按照这个规定，方程的解为（ ）. A. B. C. D.【解析】选D.当xx，即x0时，所求方程变形得：x=，去分母得：x2+2x+1=0，即x=1；当xx，即x0时，所求方程变形得：x=，即x22x=1，解得：x=1+或x=1（舍去），经检验x=1与x=1+都为分式方程的解故选D8、若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（） A a（x0x1）（x0x2）0 B a0 C b24ac0 D x1x0x2【解析】选A.A、当a0时，点M（x0，y0），在x轴下方，x1x0x2，x0x10，x0x20，a（x0x1）（x0x2）0；当a0时，若点M在对称轴的左侧，则x0x1x2，x0x10，x0x20，a（x0x1）（x0x2）0；若点M在对称轴的右侧，则x1x2x0，x0x10，x0x20，a（x0x1）（x0x2）0；综上所述，a（x0x1）（x0x2）0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、函数图象与x轴有两个交点，0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误故选A二、填空题9、关于x的一元二次方程kx2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k且k0【解析】kx2x+1=0有两个不相等的实数根，=14k0，且k0，解得，k且k0；故答案是：k且k010、如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（1，0）有下列结论：abc0；4a2b+c0；4a+b=0；抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）；点（3，y1），（6，y2）都在抛物线上，则有y1y2其中正确的是（填序号即可）【解析】抛物线的对称轴为x=2，=2，b=4a，4a+b=0，故正确；抛物线开口向上，a0，b0；由图象知c0，abc0，故正确；由抛物线的单调性知：当x=2时，y0，即4a2b+c0，故错误；=2，而对称轴方程为 x=2，抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），故正确当时，m=7，而67，点（6，y2）在点（7，y3）的下方，由抛物线的对称性及单调性知：y1y2，故错误；故答案为：三、解答题11、如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）求点O到直线AB的距离；（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且MND=OAB，当DMN与OAB相似时，请你直接写出点M的坐标【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x1）21，将B点坐标代入函数解析式，得（51）2a1=3，解得a=故抛物线的解析式为y=（x1）21；（2）由勾股定理，得OA2=11+12=2，OB2=52+32=34，AB2=（51）2+（3+1）2=32，OA2+AB2=OB2，OAB=90，O到直线AB的距离是OA=；（3）设M（a，b），N（a，0）当y=0时，（x1）21=0，解得x1=3，x2=1，D（3，0），DN=3a当MNDOAB时，=，即=，化简，得4b=a3 M在抛物线上，得b=（a1）21 联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=2，b=，M1（2，），当MNDBAO时，=，即=，化简，得b=124a ，联立，得，解得a1=3（不符合题意，舍），a2=17，b=124（17）=80，M2（17，80）综上所述：当DMN与OAB相似时，点M的坐标（2，），（17，80）12、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点M（2，），顶点坐标为N（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）由抛物线顶点坐标为N（1，），可设其解析式为y=a（x+1）2+，将M（2，）代入，得=a（2+1）2+，解得a=，故所求抛物线的解析式为y=x2x+；（2）y=x2x+，x=0时，y=，C（0，）y=0时，x2x+=0，解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），BC=2设P（1，m），显然PBPC，所以当CP=CB时，有CP=2，解得m=；当BP=BC时，有BP=2，解得m=2综上，当PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（1，+），（1，），（1，2），（1，2）；（3）由（2）知BC=2，AC=2，AB=4，所以BC2+AC2=AB2，即BCAC连结BC并延长至B，使BC=BC，连结BM，交直线AC于点Q，B、B关于直线AC对称，QB=QB，QB+QM=QB+QM=MB，又BM=2，所以此时QBM的周长最小由B（3，0），C（0，），易得B（3，2）设直线MB的解析式为y=kx+n，将M（2，），B（3，2）代入，得，解得，即直线MB的解析式为y=x+同理可求得直线AC的解析式为y=x+由，解得，即Q（，）所以在直线AC上存在一点Q（，），使QBM的周长最小13、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且=，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F（1）求证：ABDODE；（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MFBD；（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PDDQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由【解析】（1）证明：四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知BCEBDE，BDE=BCE=90，BAD=90，EDO+BDA=BDA+DAB=90，EDO=DBA，且EOD=BAD=90，ABDODE；（2）证明：=，设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，CE=DE=5x，AB=OC=CE+OE=8x，又ABDODE，=，DA=6x，BC=OA=10x，在RtBCE中，由勾股定理可得BE2=BC2+CE2，即（5）2=（10x）2+（5x）2，解得x=1，21世纪教育网版权所有OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，抛物线解析式为y=x2+x+3，当x=10时，代入可得y=，AF=，BF=ABAF=8=，在RtAFD中，由勾股定理可得DF=，BF=DF，又M为RtBDE斜边上的中点，MD=MB，MF为线段BD的垂直平分线，MFBD；（3）由（2）可知抛物线解析式为y=x2+x+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，令y=0，可得0=x2+x+3，解得x=4或x=12，M（4，0），N（12，0），过D作DGBC于点G，如图所示，则DG=DM=DN=8，点M、N即为满足条件的Q点，存在满足条件的Q点，其坐标为（4，0）或（12，0）14、已知二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），根据题意，得，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）由y=x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），CD=，BC=3，BD=2，CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，CD2+BC2=BD2，BCD是直角三角形；（3）存在CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=y=x2+2x+3对称轴为直线x=1若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即y=4x又P点（x，y）在抛物线上，4x=x2+2x+3，即x23x+1=0，解得x1=，x2=1，应舍去，x=，y=4x=，即点P坐标为（，）若以CD为一腰，点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）15、已知：抛物线l1：y=x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，）【出处：21教育名师】（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MNy轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值【解析】（1）抛物线l1：y=x2+bx+3的对称轴为x=1，=1，解得b=2，抛物线l1的解析式为y=x2+2x+3，令y=0，可得x2+2x+3=0，解得x=1或x=3，A点坐标为（1，0），抛物线l2经过点A、E两点，可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x5），又抛物线l2交y轴于点D（0，），=5a，解得a=，y=（x+1）（x5）=x22x，抛物线l2的函数表达式为y=x22x；（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），PC2=12+（y3）2=y26y+10，PA2=1（1）2+y2=y2+4，PC=PA，y26y+10=y2+4，解得y=1，P点坐标为（1，1）；（3）由题意可设M（x，x22x），MNy轴，N（x，x2+2x+3），x22x令x2+2x+3=x22x，可解得x=1或x=，当1x时，MN=（x2+2x+3）（x22x）=x2+4x+=（x）2+，显然1，当x=时，MN有最大值；当x5时，MN=（x22x）（x2+2x+3）=x24x=（x）2，显然当x时，MN随x的增大而增大，当x=5时，MN有最大值，（5）2=12；综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为1216、如图，抛物线与轴交于点A，与轴交于点B，C两点（点C在轴正半轴上），ABC为等腰直角三角形，且面积为4. 现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与轴的交点为H.21（1）求，的值；（2）连结OF，试判断OEF是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）ABC为等腰直角三角形，OA=BC.又ABC的面积=BCOA=4，即=4，OA=2. A ，B ，C .，解得.（2）OEF是等腰三角形. 理由如下：如答图1，A ，B ，直线AB的函数表达式为，又平移后的抛物线顶点F在射线BA上，设顶点F的坐标为（m，m+2）.平移后的抛物线函数表达式为.抛物线过点C ，解得.平移后的抛物线函数表达式为，即.当y=0时，解得.E（10，0），OE=10.又F（6，8），OH=6，FH=8.，OE=OF，即OEF为等腰三角形.（3）存在. 点Q的位置分两种情形：情形一：点Q在射线HF上，当点P在轴上方时，如答图2.PQEPOE， QE=OE=10.在RtQHE中，,Q.当点P在轴下方时，如答图3，有PQ=OE=10,过P点作于点K，则有PK=6.在RtPQK中，,，.，.又，. ， 即，解得.Q.情形二：点Q在射线AF上，当PQ=OE=10时，如答图4，有QE=PO,四边形POEQ为矩形，Q的横坐标为10.当时， Q.当QE=OE=10时，如答图5.过Q作轴于点M，过E点作x轴的垂线交QM于点N，设Q的坐标为，.在中，有, 即，解得.当时，如答图5，Q.当时，如答图6， .综上所述，存在点Q或或或或，使以P,Q,E三点为顶点的三角形与POE全等.17、如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点21cnjy（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【解析】（1）直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点，解得y=x2+x+3（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，设点E的坐标是（x，x2+x+3），则点M的坐标是（x，x+3），EM=x2+x+3（x+3）=x2+x，SABC=SBEM+SMEC=（x2+x）4=x2+3x=（x2）2+3，当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，BEC的面积最大，最大面积是3（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如图2，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，），又点A的坐标是（2，0），AM=，AM所在的直线的斜率是：；y=x2+x+3的对称轴是x=1，设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，x2+x+3），则解得或，x0，点P的坐标是（3，）如图3，由（2），可得点M的横坐标是2，点M在直线y=x+3上，点M的坐标是（2，