高考数学 8.7 双曲线课件.ppt

第七节双曲线 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 双曲线的定义 平面内与两个定点f1 f2 f1f2 2c 0 的距离 为常数2a 2a 2c 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的 两焦点间的距离叫做 之差的绝对值 焦点 焦距 集合p m mf1 mf2 2a f1f2 2c 其中a c为常数且a 0 c 0 当 时 m点的轨迹是双曲线 当 时 m点的轨迹是两条射线 当 时 m点不存在 2a f1f2 2a f1f2 2a f1f2 2 双曲线的标准方程和几何性质 x a或x a y a或y a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 a 0 a 0 0 a 0 a 1 2a 2b a2 b2 2 必备结论教材提炼记一记 1 双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e 双曲线的两条渐近线互相 2 渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系 当焦点在x轴上时 渐近线斜率为 当焦点在y轴上时 渐近线斜率为 3 渐近线与离心率 1 a 0 b 0 的一条渐近线的斜率为 4 若p为双曲线上一点 f为其对应焦点 则 pf c a 垂直 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 定义法 待定系数法 点差法 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想 方程思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差等于6的点的轨迹是双曲线 2 平面内到点f1 0 4 f2 0 4 距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 3 方程表示焦点在x轴上的双曲线 4 双曲线方程的渐近线方程是即 解析 1 错误 由双曲线的定义知 应为双曲线的一支 而非双曲线的全部 2 错误 因为 mf1 mf2 8 f1f2 表示的轨迹为两条射线 3 错误 当m 0 n 0时表示焦点在x轴上的双曲线 而m 0 n 0时则表示焦点在y轴上的双曲线 4 正确 因为 a 0 b 0 的渐近线方程为y x 即所以当 0时 m 0 n 0 的渐近线方程为即即同理当 0时 仍成立 故结论正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 1p61a组t1改编 双曲线上的点p到点 5 0 的距离是6 则点p的坐标是 解析 根据双曲线方程可知c 5 所以焦点为f2 5 0 f1 5 0 设p x y 由两点间距离公式 pf2 6 所以点p在双曲线右支上 pf1 因为 pf1 pf2 2a 8 所以 2a 6 14 所以 x 5 2 y2 196 联立得x 8 代入原式可得y 3 所以点p坐标为 8 3 答案 8 3 2 选修2 1p61练习t3改编 以椭圆的焦点为顶点 顶点为焦点的双曲线方程为 解析 设要求的双曲线方程为 a 0 b 0 由椭圆得焦点为 1 0 顶点为 2 0 所以双曲线的顶点为 1 0 焦点为 2 0 所以a 1 c 2 所以b2 c2 a2 3 所以双曲线标准方程为x2 1 答案 x2 1 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 天津高考 已知双曲线 a 0 b 0 的一条渐近线平行于直线l y 2x 10 双曲线的一个焦点在直线l上 则双曲线的方程为 解析 选a 因为双曲线的一个焦点在直线l上 易知直线l过双曲线左焦点 所以0 2c 10 即c 5 又因为渐近线平行于直线l y 2x 10 故有 2 结合c2 a2 b2 得a2 5 b2 20 所以双曲线的标准方程为 2 2014 新课标全国卷 已知f为双曲线c x2 my2 3m m 0 的一个焦点 则点f到c的一条渐近线的距离为 解析 选a 双曲线c 则c2 3m 3 设焦点f 0 一条渐近线方程为所以点f到渐近线的距离为 3 2014 广东高考 若实数k满足0 k 9 则曲线与曲线的 a 焦距相等b 实半轴长相等c 虚半轴长相等d 离心率相等 解析 选a 因为0 k 9 所以曲线与曲线都表示焦点在x轴上的双曲线 且25 25 k 9 k 9 但a2 b2 34 k 故两双曲线的焦距相等 4 2014 山东高考 已知a b 0 椭圆c1的方程为双曲线c2的方程为c1与c2的离心率之积为则c2的渐近线方程为 a x y 0b x y 0c x 2y 0d 2x y 0 解析 选a 椭圆的离心率的平方为双曲线的离心率的平方为所以所以a4 4b4 所以双曲线的渐近线方程为故选a 考点1双曲线的定义及其应用 典例1 1 设f1 f2是双曲线x2 1的两个焦点 p是双曲线上的一点 且3 pf1 4 pf2 则 pf1f2的面积等于 a 4b 8c 24d 48 2 已知f1 f2为双曲线 1的左 右焦点 p 3 1 为双曲线内一点 点a在双曲线上 则 ap af2 的最小值为 3 已知f为双曲线c 1的左焦点 p q为c上的点 若pq的长等于虚轴长的2倍 点a 5 0 在线段pq上 则 pqf的周长为 解题提示 1 由双曲线的定义及3 pf1 4 pf2 可求出 pf1 pf2 的值 2 ap af2 ap af1 2a 故要求 ap af2 的最小值 只需求 ap af1 的最小值即可 3 可想法求出 fp fq 再求周长 规范解答 1 选c 双曲线的实轴长为2 焦距为 f1f2 2 5 10 据题意和双曲线的定义知 2 pf1 pf2 pf2 pf2 pf2 所以 pf2 6 pf1 8 所以 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 所以pf1 pf2 所以 pf1 pf2 6 8 24 2 选c ap af2 ap af1 2a 要求 ap af2 的最小值 只需求 ap af1 的最小值 当a p f1三点共线时 取得最小值 则 ap af1 pf1 所以 ap af2 ap af1 2a 2 3 显然 点a为双曲线的右焦点 p q都在双曲线的右支上 pq 16 由双曲线的定义得 fp pa 6 fq qa 6 两式相加 fp fq pa qa 12 即 fp fq pq 12 所以 fp fq 28 所以 pqf的周长为 fp fq pq 44 答案 44 易错警示 解答本题 3 易出现以下两点错误 1 不判断pq的位置 造成思路受阻 无法进行下去 2 对pq位置判断错误 得出错误结论 互动探究 若将本例 1 中 3 pf1 4 pf2 改为 pf1 pf2 如何求解 解析 设 pf1 m pf2 n 则解之得mn 48 所以mn 24 规律方法 焦点三角形 中常用到的知识点及技巧 1 常用知识点 在 焦点三角形 中 正弦定理 余弦定理 双曲线的定义经常使用 2 技巧 经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立它与 pf1 pf2 的联系 提醒 利用双曲线的定义解决问题 要注意三点 1 距离之差的绝对值 2 2a f1f2 3 焦点所在坐标轴的位置 变式训练 已知 abp的顶点a b分别为双曲线的左 右焦点 顶点p在双曲线上 则的值等于 解析 选a 在 abp中 由正弦定理知 加固训练 1 2014 成都模拟 已知定点a b 且 ab 4 动点p满足 pa pb 3 则 pa 的最小值为 解析 选c 由 pa pb 3知p点的轨迹是以a b为焦点的双曲线一支 因为2a 3 2c 4 所以a c 2 所以 pa min a c 故选c 2 双曲线 a 0 b 0 的焦点分别为f1 f2 过f1作直线交双曲线的左支于a b两点 且 ab m 则 abf2的周长为 解析 由 af2 bf2 af1 bf1 4a 又 af1 bf1 ab m 所以 af2 bf2 4a m 那么 abf2的周长为 af2 bf2 ab 4a 2m 答案 4a 2m 3 已知双曲线x2 y2 1 点f1 f2为其两个焦点 点p为双曲线上一点 若pf1 pf2 则 pf1 pf2 的值为 解析 设p在双曲线的右支上 pf1 2 x pf2 x x 0 因为pf1 pf2 所以 x 2 2 x2 2c 2 8 所以x 1 x 2 1 所以 pf2 pf1 2 答案 2 考点2双曲线的标准方程及性质知 考情双曲线的标准方程的求解以及双曲线的渐近线 离心率的求解是每年高考的一个热点 难度适中 且多以选择题或填空题的形式出现 明 角度命题角度1 求双曲线的标准方程 典例2 2014 江西高考 过双曲线c 的右顶点作x轴的垂线与c的一条渐近线相交于点a 若以c的右焦点为圆心 半径为4的圆经过a o两点 o为坐标原点 则双曲线c的方程为 解题提示 设右焦点为f of af 4 规范解答 选a 设右焦点为f 由题意得 of af 4 即a2 b2 16 又a a b f 4 0 可得 a 4 2 b2 16 故a 2 b2 12 所以方程为 1 命题角度2 求双曲线的离心率 典例3 2014 重庆高考 设f1 f2分别为双曲线 a 0 b 0 的左 右焦点 双曲线上存在一点p使得 pf1 pf2 2 b2 3ab 则该双曲线的离心率为 解题提示 直接根据双曲线的定义得到关于a b的等式 进而求出离心率的值 规范解答 选d 由双曲线的定义知 pf1 pf2 2 4a2 又 pf1 pf2 2 b2 3ab 所以4a2 b2 3ab 等号两边同除以a2 化简得 互动探究 若将本例中 pf1 pf2 2 b2 3ab 改为 pf1 pf2 3b pf1 pf2 ab 如何求解 解析 设 pf1 m pf2 n 依题意不妨设m n 0 悟 技法1 求双曲线的标准方程的方法 1 定义法 由条件判定动点的轨迹是双曲线 求出a2 b2 写出方程 2 待定系数法 即 先定位 后定量 如果不能确定焦点的位置 应注意分类讨论或恰当设置简化讨论 常见设法有 与双曲线共渐近线的可设为 0 若渐近线方程为则可设为 0 若过两个已知点 则设为 mn 0 2 求双曲线离心率或离心率范围的两种方法 一种是直接建立e的关系式求e或e的范围 另一种是建立a b c的齐次关系式 将b用a c表示 令两边同除以a或a2化为e的关系式 进而求解 3 求曲线 a 0 b 0 的渐近线的方法是令 0 即得两渐近线方程 0 通 一类1 2014 大纲版全国卷 双曲线c a 0 b 0 的离心率为2 焦点到渐近线的距离为 则c的焦距等于 a 2b 2c 4d 4 解析 选c 渐近线的斜率为解得c2 3 1 所以c 2 则2c 4 2 2015 成都模拟 已知f1 f2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过f2且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点m 若点m在以线段f1f2为直径的圆外 则双曲线的离心率的取值范围是 解析 选d 联立方程解上式得 b2 3a2 即c2 a2 3a2 即c2 4a2 所以 4 即e 2 3 2014 浙江高考 设直线x 3y m 0 m 0 与双曲线 a b 0 两条渐近线分别交于点a b 若点p m 0 满足 pa pb 则该双曲线的离心率是 解题提示 求出a b的坐标 写出ab中点q的坐标 因为 pa pb 所以pq与已知直线垂直 寻找a与c的关系 解析 由双曲线的方程可知 它的渐近线方程为y x与y 分别与x 3y m 0 m 0 联立方程组 解得设ab的中点为q 则因为 pa pb 所以pq与已知直线垂直 所以kpq 3 解得2a2 8b2 8 c2 a2 即答案 考点3双曲线与直线 圆及其他圆锥曲线的综合 典例4 1 如图 f1 f2是椭圆c1 y2 1与双曲线c2的公共焦点 a b分别是c1 c2在第二 四象限的公共点 若四边形af1bf2为矩形 则c2的离心率是 2 2014 江西高考 如图 已知双曲线c y2 1 a 0 的右焦点f 点a b分别在c的两条渐近线上 af x轴 ab ob bf oa o为坐标原点 求双曲线c的方程 过c上一点p x0 y0 y0 0 的直线l y0y 1与直线af相交于点m 与直线x 相交于点n 证明点p在c上移动时 恒为定值 并求此定值 解题提示 1 由已知条件求解双曲线中的a c或是它们之间的关系 2 写出直线ob 直线bf的方程联立得b点坐标 a点坐标可求 进而根据ab ob可得a的方程求解 由题意可得点m n的坐标可用x0 y0表示 进而可表示 又点p在双曲线上 进而可求得具体的值 规范解答 1 选d 设双曲线实半轴长为a 半焦距为c af1 m af2 n 由题意知c 2mn m n 2 m2 n2 4 m n 2 m2 n2 2mn 8 2a m n 则双曲线的离心率故选d 2 设f c 0 因为b 1 所以直线ob的方程为直线bf的方程为y x c 解得又直线oa的方程为y x 由 知则直线l的方程为 y0y 1 y0 0 即因为直线af的方程为x 2 所以直线l与af的交点直线l与直线x 的交点为 因为p x0 y0 是c上一点 则 y02 1代入上式 规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法 1 解决双曲线与椭圆 圆 抛物线的综合问题时 要充分利用椭圆 圆 抛物线的几何性质得出变量间的关系 再结合双曲线的几何性质求解 2 解决直线与双曲线的综合问题 通常是联立直线方程与双曲线方程 消元求解一元二次方程即可 但一定要注意数形结合 结合图形注意取舍 变式训练 如图 双曲线 1 a 0 b 0 的两顶点为a1 a2 虚轴两端点为b1 b2 两焦点为f1 f2 若以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2 切点分别为a b c d 则 1 双曲线的离心率e 2 菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值 解析 1 化简得 a2 ac c2 0 即e2 e 1 0 又e 1 则 2 由题意知 s1 2bc 在 of2b2中连接oa 则af2 b 矩形abcd边长答案 加固训练 1 2015 遵义模拟 与曲线共焦点 且与曲线共渐近线的双曲线方程为 解析 选a 因为的焦点坐标为 0 5 又双曲线与曲线共渐近线 所以设双曲线方程为 0 且有64