高考数学一轮复习 第九章 概率与统计 第3讲 随机事件的概率配套课件 理.ppt

第3讲随机事件的概率 1 随机事件和确定事件 1 在条件s下 一定会发生的事件叫做相对于条件s的必 然事件 2 在条件s下 一定不会发生的事件叫做相对于条件s的 不可能事件 3 必然事件与不可能事件统称为确定事件 4 在条件s下可能发生也可能不发生的事件 叫做随机事 件 5 确定事件和随机事件统称为事件 一般用大写字母a b c 表示 2 频率与概率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 如果随着试验次数的增加 事件a发生的频率fn a 稳定在某个常数附近 把这个常数记作p a 则称p a 为事件a的概率 简称为a的概率 3 事件的关系与运算 a b 续表 4 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 0 p a 1 1 2 必然事件的概率p e 3 不可能事件的概率p f 0 4 互斥事件概率的加法公式 若事件a与事件b互斥 则p a b p a p b 若事件b与事件a互为对立事件 则p a 1 p b 5 对立事件的概率 p a 1 p a 1 2016年北京 从甲 乙等5名学生中随机选出2人 则 甲被选中的概率为 b a 15 b 25 c 825 d 925 解析 从甲 乙等5名学生中随机选出2人 则取到任何 2 容量为20的样本数据 分组后的频数如下表 则样本数据落在区间 10 40 的频率为 b a 0 35 b 0 45 c 0 55 d 0 65 3 从一箱产品中随机抽取一件 设事件a 抽到一等品 事件b 抽到二等品 事件c 抽到三等品 且已知p a 0 65 p b 0 2 p c 0 1 则事件 抽到的不是一等品 的概率为 c a 0 7 b 0 65 c 0 35 d 0 3 4 2016年湖南娄底统测 下列说法正确的是 a 某厂一批产品的次品率为 110 则任意抽取其中10件产品 一定会发现一件次品b 气象部门预报明天下雨的概率是90 说明明天该地区90 的地方要下雨 其余10 的地方不会下雨c 某医院治疗一种疾病的治愈率为10 则前9个病人都没有治愈 第10个人就一定能治愈d 掷一枚质地均匀的硬币 连续出现5次正面向上 第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0 5 解析 某厂一批产品的次品率为 则任意抽取其中10件 1 10 产品一定会发现一件次品说法是错误的 故a错误 气象部门预报明天下雨的概率 是说明有多大的把握有雨 而不是具体的什么地方有雨 故b错误 某医院治疗一种疾病的治愈率为10 那么前9个病人都没有治愈 第10个人就一定能治愈说法是错误的 治愈率为10 是说明来的所有病人中有10 被治愈 故c错误 掷一枚质地均匀的硬币 连续出现5次正面向上 第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0 5 概率是一个固定的值 不随第几次试验而发生变化 因此d正确 故选d 答案 d 考点1 事件的概念及判断 例1 一个口袋内装有5个白球和3个黑球 这些球除颜色外都相同 从中任意取出1个球 1 取出的球是红球 是什么事件 它的概率是多少 2 取出的球是黑球 是什么事件 它的概率是多少 3 取出的球是白球或是黑球 是什么事件 它的概率是多少 球 故 取出的球是黑球 是随机事件 它的概率为 解 1 由于口袋内只装有黑 白两种颜色的球 故 取出的球是红球 不可能发生 因此 它是不可能事件 其概率为 0 2 由已知 从口袋内取出1个球 可能是白球也可能是黑 38 3 由于口袋内装的是黑 白两种颜色的球 故取出1个球不是黑球 就是白球 因此 取出的球是白球或是黑球 是必然事件 它的概率是1 规律方法 一定会发生的事件叫做必然事件 一定不会发生的事件叫做不可能事件 可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件 互动探究 1 从6名男生 2名女生中任取3人 则下列事件中的必然 事件是 b a 3人都是男生c 3人都是女生 b 至少有1名男生d 至少有1名女生 考点2 随机事件的频率与概率 例2 如图9 3 1 a地到火车站共有两条路径l1和l2 现随机抽取100位从a地到火车站的人进行调查 调查结果如下 图9 3 1 1 试估计40分钟内不能赶到火车站的概率 2 分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段 内的频率 3 现甲 乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明他们应如何选择各自的路径 解 1 由已知共调查了100人 其中40分钟内不能赶到火车站的有12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为 0 44 2 选择l1的有60人 选择l2的有40人 故由调查结果得频率为 3 a1 a2分别表示甲选择l1和l2时 在40分钟内赶到火 车站 b1 b2分别表示乙选择l1和l2时 在50分钟内赶到火车 站 由 2 知 p a1 0 1 0 2 0 3 0 6 p a2 0 1 0 4 0 5 p a1 p a2 甲应选择l1 p b1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 8 p b2 0 1 0 4 0 4 0 9 p b2 p b1 乙应选择l2 规律方法 概率是频率的稳定值 根据随机事件发生的 频率只能得到概率的估计值 互动探究 2 有5件产品中 有3件一等品和2件二等品 从中任取2 件 以 710 为概率的事件是 d a 都不是一等品c 至少有1件一等品 b 恰有1件一等品d 至多有1件一等品 解析 从5件产品中任取2件有10种取法 设3件一等品为1 2 3 2件二等品为4 5 则全部10种取法是 1 2 1 3 2 3 1 4 1 5 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 其中2件均为一等品的取法有 1 2 1 3 2 3 共3种 所以至多有1件一等 品的概率p 1 310 710 故选d 3 2016年福建厦门模拟 口袋中有100个大小 质地都相同的红球 白球 黑球 其中红球45个 从口袋中摸出一个球 摸出白球的概率为0 23 则摸出黑球的概率为 d a 0 45 b 0 67 c 0 64 d 0 32 解析 摸出红球的概率为0 45 摸出白球的概率为0 23 故摸出黑球的概率p 1 0 45 0 23 0 32 故选d 考点3 互斥事件 对立事件的概率 例3 在一次随机试验中 彼此互斥的事件a b c d 的概率分别为0 2 0 2 0 3 0 3 则下列说法正确的是 a a b与c是互斥事件 也是对立事件b b c与d是互斥事件 也是对立事件c a c与b d是互斥事件 但不是对立事件d a与b c d是互斥事件 也是对立事件 解析 由于a b c d彼此互斥 且a b c d是一个必然事件 故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示 由图d76可知 任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件 图d76 答案 d 解 1 p a 例4 某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 p a p b p c 2 1张奖券的中奖概率 3 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 11000 p b 101000 1100 p c 501000 120 故事件a b c的概率分别为 111000100 120 2 1张奖券中奖包含中特等奖 一等奖 二等奖 设 1张奖券中奖 这个事件为m 则m a b c 因为a b c两两互斥 所以p m p a b c p a p b p c 1 10 501000 611000 故1张奖券的中奖概率为 611000 3 设 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件n 则事件n与 1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件 所以p n 1 p a b 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891000 规律方法 直接求某些问题时 我们可以转化为互斥事件的和求解 有些问题我们可以采用间接法 如第 3 小题 我们由其对立事件的概率来推出所求事件的概率 但是在理解对立问题时经常容易造成理解混乱 比如 至少有一人 的对立事件是 一人都没有 至少两人 的对立事件是 至多有一人 互动探究 a 56 b 25 c 16 d 13 a 5 把黑 红 白3张纸牌分给甲 乙 丙三人 每人1张 则事件 甲分得红牌 与事件 乙分得红牌 是 b a 对立事件c 不可能事件 b 互斥但不对立事件d 必然事件 解析 因为只有1张红牌 所以 甲分得红牌 与 乙分得红牌 不能同时发生 所以是互斥事件 但是这两个事件不是必有一个发生 故不是对立事件 故选b 易错 易混 易漏 正难则反求互斥事件的概率 例题 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均 值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概 率 将频率视为概率 思维点拨 若某一事件包含的基本事件多 而它的对立事件包含的基本事件少 则可用 正难则反 思想求解 正解 1 由已知得25 y 10 55 x 30 45 所以x 15 y 20 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计 其估计值为 1 15 1 5 30 2 25 2