高中数学《3.1.1 方程的根与函数的零点》课件 新人教A版必修1.ppt

本章概览一 内容概述本章主要内容包括函数的零点 求函数零点的近似解的一种方法 二分法 函数模型及其应用 具体内容和要求如下 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 3 了解指数函数 对数函数以及幂函数间的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 4 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 二 地位作用函数的应用是学习函数的一个重要的方面 学习函数的应用 目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题 通过函数的应用 对完善函数的思想 激发应用数学的意识 培养分析问题 解决问题的能力 增强实践的能力等 都有很大的帮助 函数内容在数学各分支中都有广泛的应用 近几年高考中逐渐增加了对有关函数内容的考查 加强了与方程 函数的零点 不等式等相关知识的联系 三 学法指导教材以二次函数为例引出了函数零点的概念 讨论了二次函数零点个数的判定方法 给出了函数零点的性质 用二分法求函数的符号是零点性质的应用 教材有目的 有意识地将算法思想渗透到高中数学的有关内容中 需要不断加深对算法思想的理解 体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用 二分法正是这一思想的体现 通过本章的学习 学会用二分法求方程的近似解 从中体会函数与方程之间的联系 通过一些实例 感受建立函数模型的过程和方法 体会函数在数学和其他学科中的应用 认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题 数学建模 是数学学习的一种新的方式 提供了自主学习的空间 有助于体验数学在解决实际问题中的价值和作用 体验数学与日常生活和其他学科的联系 体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程 增强应用意识 有助于激发学习数学的兴趣 培养创新精神和实践能力 3 1 1方程的根与函数的零点 有这样一个有趣的故事 小虫在树枝上作了一个窝 快乐地生活着 一天 一只啄木鸟找食吃 它闻到一股小虫的味道 就知道这个树枝上有 美食 但就是不确定在什么位置 于是这只啄木鸟首先在树枝的中间位置啄了一个洞 没有发现小虫 但是树枝左边小虫的气味比右边的要浓一些 于是啄木鸟开始向左边搜寻 啄木鸟又在左半段树枝的中央啄了一个洞 还是没有发现小虫的踪迹 但是这次 树枝右边小虫的气味比左边的要浓一些 于是啄木鸟开始向右边搜寻 就这样 啄木鸟经过若干次的 搜寻 终于找到了小虫子 饱餐一顿 你觉得这只啄木鸟聪明吗 在这背后 会不会蕴含着一些神秘的东西呢 1 函数的零点对于函数y f x 把叫做函数y f x 的零点 2 方程 函数 图象之间的关系方程f x 0 函数y f x 的图象 函数y f x 使f x 0的实数x 有实数根 与x轴有交点 有零点 3 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 连续不断 f a f b 0 有零点 f c 0 1 函数y x 1的零点是 a 1 0 b 0 1 c 0d 1解析 令y 0 即x 1 0 x 1 即为函数y x 1的零点 答案 d 2 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a a1c a 1d a 1解析 由题意知 4 4a1 答案 b 3 已知函数f x 为奇函数 且该函数有三个零点 则三个零点之和等于 a 0b 1c 1d 不能确定解析 奇函数图象关于原点对称 若有三个零点 则三个零点之和为0 答案 a 4 函数f x x2 3x 4的零点是 解析 令f x 0 即x2 3x 4 0 解得x1 4 x2 1 即为函数的零点 答案 4 1 5 函数f x x2 ax b的两个零点是2和3 求函数g x bx2 ax 1的零点 类型一函数零点的概念 例1 讨论函数y ax 1 x 2 a r 的零点 思路分析 函数f x 的零点就是方程f x 0的根 可转化为讨论方程 ax 1 x 2 0的根的情况 温馨提示 正确理解函数的零点与对应方程的根的关系 要结合本题中实数a的取值情况进行分类讨论 思路分析 从已知的区间 a b 中 求f a 和f b 判断是否有f a f b 0 温馨提示 这是最基本的题型 所用的方法也是基本方法 只要判断区间 a b 的端点值的乘积是否有f a f b 0 并且看函数f x 的图象在 a b 上是否是连续曲线即可 类型三已知函数的零点求参数 例3 1 函数f x x2 2 m 3 x 2m 14有两个零点 且一个大于1 一个小于1 求实数m的取值范围 2 关于x的方程mx2 2 m 3 x 2m 14 0有两实根且一根大于4 一根小于4 求实数m的取值范围 思路分析 利用根与系数的关系或利用函数图象 数形结合求解 温馨提示 一元二次方程根的分布问题比较复杂 一般需研究根的判别式 对应函数图象的对称轴 端点函数值等 运算量比较大 但若从函数有零点的条件出发来分析 可使问题大大简化 求下列函数的零点 1 f x x2 2x 3 2 f x x4 1 解 1 由于f x x2 2x 3 x 3 x 1 方程 x2 2x 3 0的两根是 3 1 故函数的零点是 3 1 2 由于f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 方程x4 1 0的实数根是 1 1 故函数的零点是 1 1 1 若方程2ax2 1 0在 0 1 内恰有一解 则实数a的取值范围是 2 已知函数f x 3mx 4 若在 2 0 上存在x0 使f x0 0 则实数m的取值范围是 1 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 2 图象连续的函数的零点的性质 1 函数的图象是连续的 当它通过零点时 非偶次零点 函数值变号 推论 如果函数在区间 a b 上的图象是连续的 且f a