高考数学一轮复习 2.8 函数与方程课件 文 新人教A版.ppt

第八节函数与方程 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 函数的零点 函数零点的定义 对于函数y f x x d 把使 的实数x叫做函数y f x x d 的零点 f x 0 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 连续不断 f a f b 0 f c 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 3 二分法 定义 对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点 值的方法叫做二分法 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 i 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 ii 求区间 a b 的中点c f a f b 0 一分为二 零点 近似 iii 计算f c a 若f c 0 则c就是函数的零点 b 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 ii iii 2 必备结论教材提炼记一记 1 有关函数零点的结论 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 2 三个等价关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 x轴 零点 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 判断函数零点个数的方法 2 数学思想 函数与方程 转化与化归 数形结合思想 3 记忆口诀 用二分法求零点近似值的口诀为 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 函数f x x2 1的零点是 1 0 和 1 0 2 函数y f x 在区间 a b 内有零点 函数图象连续不断 则一定有f a f b 0 3 二次函数y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0时没有零点 4 若函数f x 在 a b 上单调且f a f b 0 则函数f x 在 a b 上有且只有一个零点 解析 1 错误 函数f x x2 1的零点为 1和1 而并非其与x轴的交点 1 0 与 1 0 2 错误 函数f x x2 x在 1 2 上有两个零点 但f 1 f 2 0 3 正确 当b2 4ac 0时 二次函数图象与x轴无交点 从而二次函数没有零点 4 正确 由已知条件 数形结合得f x 与x轴在区间 a b 上有且仅有一个交点 故正确 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修1p88例1改编 函数f x ex 3x的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 由已知得f x ex 3 0 所以f x 在r上单调递增 又f 1 e 1 30 因此f x 的零点个数是1 故选b 2 必修1p92a组t5改编 用 二分法 求方程x3 2x 5 0在区间 2 3 内的实根 取区间中点为x0 2 5 那么下一个有根的区间是 解析 因为f 2 f 2 5 0 所以满足条件的下一个区间为 2 2 5 答案 2 2 5 3 必修1p112a组t1改编 若函数f x 唯一的零点在区间 1 3 或 1 4 或 1 5 内 函数f x 的零点在 1 2 或 2 3 内 函数f x 在 3 5 内无零点 函数f x 在 2 5 内有零点 函数f x 在 2 4 内不一定有零点 函数f x 的零点必在 1 5 内 以上说法错误的是 填序号 解析 由于函数有唯一零点 依题意必在 1 5 内 即在区间 1 5 的任何位置均可以 故 在 1 2 或 2 3 内不正确 在 3 5 内不一定没有零点 不正确 在 2 5 内有零点也不正确 而 零点不一定在 2 4 内正确 正确 故 是错误的 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 北京模拟 在下列区间中 函数f x ex 4x 3的零点所在区间为 解析 选c 因为所以f x ex 4x 3的零点所在的区间为 2 2015 岳阳模拟 已知函数f x 且关于x的方程f x x a 0有且只有一个实根 则实数a的范围是 a 0 b 0 1 c 1 2 d 1 解析 选d 方程f x x a 0 即f x x a 亦即函数y f x 与y x a有且只有一个交点 在同一坐标系中作出y f x 与y x a的图象知 a 1 3 2015 太原模拟 若函数f x ax2 bx c a b c 0 没有零点 则的取值范围是 a 2 b 2 c 1 d 1 解析 选d 由已知 b2 4ac0 所以 1 考点1确定函数零点所在区间 典例1 1 2014 北京高考 已知函数f x 1og2x在下列区间中 包含f x 零点的区间是 本题源于教材必修1p88练习t2 2 a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 2 设函数f x x lnx 则函数y f x a 在区间 1 1 e 内均有零点b 在区间 1 1 e 内均无零点c 在区间 1 内有零点 在区间 1 e 内无零点d 在区间 1 内无零点 在区间 1 e 内有零点 解题提示 1 利用零点存在性定理进行判断 2 判断函数图象的连续性 函数在已知区间上的单调性 利用函数零点存在性定理进行判断 规范解答 1 选c 因为f 1 6 log21 6 0 f 2 3 log22 2 0 f 3 2 log23 0 f 4 log24 20 f e e lne 0 所以函数有零点在区间 1 e 内 故选d 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 选d 令f x 0得x lnx 作出函数y x和y lnx的图象 如图 显然y f x 在 1 内无零点 在 1 e 内有零点 故选d 规律方法 确定函数零点所在区间的方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 然后再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 变式训练 2015 杭州模拟 方程log3x x 3的根所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 选c 方法一 方程log3x x 3的根即是函数f x log3x x 3的零点 由于f 2 log32 2 3 log32 10且函数f x 在 0 上为单调增函数 所以函数f x 的零点即方程log3x x 3的根所在区间为 2 3 方法二 方程log3x x 3的根所在区间即是函数y1 log3x与y2 3 x交点横坐标所在区间 两函数图象如图所示 由图知方程log3x x 3的根所在区间为 2 3 加固训练 1 2014 西安模拟 函数f x log2x 的零点所在的区间为 a 0 b 1 c 1 2 d 2 3 解析 选c 因为f log2 2 30 故函数零点所在区间为 1 2 2 已知定义在r上的函数f x x2 3x 2 g x 3x 4 其中函数y g x 的图象是一条连续曲线 则方程f x 0在下面哪个范围内必有实数根 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 解析 选b f x x2 3x 2 g x 3x 4 x 1 x 2 g x 3x 4 故f 1 10 f 1 f 2 0 3 2013 重庆高考 若a0 f b b c b a 0 所以f a f b 0 f b f c 0 即函数的两个零点分别位于区间 a b 和 b c 内 考点2确定函数零点的个数 典例2 1 2015 广州模拟 函数f x 2x log0 5x 1的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 2 2014 福建高考 函数f x 的零点个数是 解题提示 1 根据2x log0 5x 1 0转化为两个函数g x log0 5x 与h x 图象的交点个数问题求解 2 分段函数采用分段判断 并结合零点的存在性定理确定零点的个数 规范解答 1 选b 函数f x 2x log0 5x 1的零点即2x log0 5x 1 0的解 即 log0 5x 的解 作出函数g x log0 5x 和函数h x 的图象 由图象可知 两函数图象共有两个交点 故函数f x 2x log0 5x 1有2个零点 2 令x2 2 0 解得x 舍 或x 令2x 6 lnx 0 即lnx 2x 6 在x 0的范围内两函数的图象有一个交点 即原方程有一个根 综上函数f x 共有两个零点 答案 2 易错警示 解决本例题 1 易出现如下三点错误 1 不能对 log0 5x 化简 2 不能将问题转化为两个函数的交点问题 3 函数图象不准确导致失误 互动探究 本例 2 中的函数变为f x 则零点的个数如何 解析 当x 0时 令g x lnx h x x2 2x 画出g x 与h x 的图象如图 故当x 0时 f x 有2个零点 当x 0时 由4x 1 0 得x 综上函数f x 的零点个数为3 规律方法 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 变式训练 1 2015 太原模拟 函数f x x2 2x在x r上的零点的个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 选d f 0 1 f 1 1 0 因此函数f x 在 1 0 上必有零点 又f 2 f 4 0 因此函数f x 的零点个数是3 2 已知函数f x 则函数y f f x 1的零点的个数是 a 4b 3c 2d 1 解析 选a 由f f x 1 0可得f f x 1 又由f 2 f 1 可得f x 2或f x 若f x 2 则x 3或x 若f x 则x 或x 综上可得函数y f f x 1有4个零点 加固训练 1 2015 长春模拟 函数f x xcos2x在区间 0 2 上的零点的个数为 a 2b 3c 4d 5 解析 选d 令f x xcos2x 0 得x 0或cos2x 0 故x 0或2x k k z 即x 0或x k z 又x 0 2 故k可取0 1 2 3 故零点的个数有5个 2 已知符号函数sgn x 则函数f x sgn x 1 lnx的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 依题意得 当x 1 0 即x 1时 f x 1 lnx 令f x 0得x e 1 当x 1 0 即x 1时 f x 0 ln1 0 当x 1 0 即x 1时 f x 1 lnx 令f x 0得x 1 因此 函数f x 的零点个数为3 3 2014 哈尔滨模拟 已知函数y f x x r 满足f x 1 f x 且当x 1 1 时 f x x 函数g x 则函数h x f x g x 在区间 5 5 上的零点的个数为 a 8b 9c 10d 11 解析 选b 函数y f x x r 满足f x 1 f x 故f x 2 f x 1 f x f x 即函数f x 的周期为2 作出x 1 1 时 f x x 的图象 并利用周期性作出函数f x 在 5 5 上的图象 在同一坐标系内再作出g x 在 5 5 上的图象 由图象可知 函数f x 与g x 的图象有9个交点 所以函数h x f x g x 在区间 5 5 上的零点的个数为9 4 设函数f x x2 x 0 当a 1时 方程f x f a 的实根个数为 解析 令g x f x f a 即g x 整理得 g x x a ax2 a2x 2 显然g a 0 令h x ax2 a2x 2 因为h 0 20 所以h x 在区间 0 和 0 a 上各有一个零点 因此 g x 有三个零点 即方程f x f a 有三个实数解 答案 3 考点3函数零点的应用知 考情高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现 主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的性质求其和 比较大小等问题 明 角度命题角度1 已知函数的零点或方程的根求参数 典例3 2014 天津高考 已知函数f x 若函数y f x a x 恰有4个零点 则实数a的取值范围为 解题提示 函数y f x a x 恰有4个零点等价于函数y f x 与y a x 的图象恰有4个公共点 结合函数y f x 与y a x 的图象确定实数a的取值范围 规范解答 在同一平面直角坐标系内画出函数y f x 和y a x 的图象可知 若满足条件 则a 0 当a 2时 在y轴右侧 两函数图象只有一个公共点 此时在y轴左侧 射线y ax x 0 与抛物线y x2 5x 4 4 x 1 需相切 由消去y 得x2 5 a x 4 0 由 5 a 2 16 0 解得a 1或a 9 a 1与a 2矛盾 a 9时 切点的横坐标为2 不符合 故01 故1 a 2 答案 1 2 命题角度2 利用函数零点比较大小 典例4 2015 南昌模拟 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a 函数g x lnx x 2的零点为b 则f a f 1 f b 的大小关系为 解题提示 先确定函数f x 与g x 的单调性 然后结合函数的图象及零点存在性定理进行判断 规范解答 由题意 知f x ex 1 0恒成立 所以函数f x 在r上是单调递增的 而f 0 e0 0 2 10 所以函数f x 的零点a 0 1 由题意 知g x 1 0 所以函数g x 在 0 上是单调递增的 又g 1 ln1 1 2 10 所以函数g x 的零点b 1 2 综上 可得0 a 1 b 2 因为f x 在r上是单调递增的 所以f a f 1 f b 答案 f a f 1 f b 悟 技法函数零点的应用问题类型及解题思路 1 已知函数零点情况求参数 根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 解不等式 即得参数的取值范围 2 已知函数零点的个数求参数 常利用数形结合法 3 借助函数零点比较大小 要比较f a 与f b 的大小 通常先比较f a f b 与0的大小 通 一类1 2014 重庆高考 已知函数f x 且g x f x mx m在 1 1 内有且仅有两个不同的零点 则实数m的取值范围是 解析 选a g x 0 则f x m x 1 故函数g x 在 1 1 内有且仅有两个不同的零点等价于函数y f x 的图象与直线y m x 1 有且仅有两个不同的交点 函数f x 的图象如图中实线所示 易求kab kac 2 过a 1 0 作曲线的切线 不妨设切线方程为y k x 1 由得kx2 2k 3 x 2 k 0 则 2k 3 2 4k 2 k 0 解之得k 故实数m的取值范围为 2 0 2 2013 天津高考 设函数f x ex x 2 g x lnx x2 3 若实数a b满足f a 0 g b 0 则 a g a 0 f b b f b 0 g a c 0 g a f b d f b g a 0 解析 选a 因为f x ex 1 0 所以f x ex x 2在其定义域内是单调递增的 由f a 0知00 g x 2x 0 故g x lnx x2 3在 0 上也是单调递增的 由g b 0知1 b 2 所以g a g b 0 0 f a f b 因此g a 0 f b 3 2015 北京模拟 已