样本估计总体学案导学案

版权所有 中华资源库 用样本去估计总体用样本去估计总体 教案教案 A A 知识梳理 知识梳理 必修必修 3 3 教材教材 65 83 65 83 1 作频率分布直方图的步骤 1 求极差 即一组数据中最大值与最小值的差 2 决定组距与组数 3 将数据分组 4 列频率分布表 5 画频率分布直方图 注 频率分布直方图中小正方形的面积 组距 频率 组距 频率 2 频率分布折线图和总体密度曲线 折线图 连接频率分布直方图中小长方形上端中点 就得到频率分布折线图 总体密度曲线 当样本容量足够大 分组越多 折线越接近于一条光滑的曲线 此光 滑曲线为总体密度曲线 3 用茎叶图刻画数据的两个优点 1 所有数据都可以从数据中得到 2 茎叶图便于记录和表示 能够展示数据的分布情况 但当样本数据较多或数据较大时 茎 叶图的效果就不是很好了 4 平均数 众数 中位数 标准差和方差 1 平均数 平均数是用来表示数据的平均水平 一般用 来表示 计算公式 2 众数 一组数据中出现次数最多的数 3 中位数 将数据从小到大的顺序排列 若有奇数个数 则最中间的数是中位数 若有偶数个数 则中间两个数的平均数是中位数 4 标准差 是样本数据到平均数的一种平均距离 用来刻画数据的分散程度 一 般用 s 来表示 计算公式 标准差越大 数据的离散 程度越大 标准差越小 数据的离散程度越小 5 方差 方差是标准差的平方 它也可以用来刻画数据的分散程度 计算公式 5 有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况 1 当总体中的个体取不同值很少时 其频率分布表由所取样本的不同值及其相应 频率表示 就是相应的条形图 2 当总体中的个体不同值很多时 就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率 分布 6 利用频率分布直方图来估计众数 中位数 平均数 在频率分布直方图中 众数的估计值是其中最高矩形底边中点的横坐标 中位数的左 边和右边的直方图面积相等 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘 以小矩形底边中点的横坐标之和 版权所有 中华资源库 二 题型探究二 题型探究 探究一探究一 图形信息题图形信息题 例 1 为了解某小学五年级女生身高 单位 cm 情况 对五年级一部分女生的身高进行 了测量 所得数据整理后 列出频率分布表 如下表 1 求表中 m n M N 所表示的两个数分别是多少 2 画出频率分布直方图 并利用它估计五年级全体女生身高的众数 中位数 和平均 数 3 试问 全体女生 中身高在哪个组范围内的人数最多 并估计五年级女生身高在 161 5cm 以上的概率 分组频数频率 145 5 149 51 0 02 149 5 153 54 0 08 153 5 157 520 0 40 157 5 161 515 0 30 161 5 165 58 0 16 165 5 169 5mN 合计 MN 探究二 用样分布估计总体分布 例 2 为估计一次性木质筷子的用量 1999 年从某县共 600 家高 中 低档饭店抽取 10 家作样本 这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为 0 6 3 7 2 2 1 5 2 8 1 7 1 2 2 1 3 2 1 0 1 通过对样本的计算 估计该县 1999 年消耗了多少盒一次性筷子 每年按 350 个营 业日计算 2 2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查 调查的结果 是 10 个样本饭店 每个饭店平均每天使用一次性筷子 2 42 盒 求该县 2000 年 2001 年 这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率 2001 年该县饭店数 全年营业天数均 与 1999 年相同 3 在 2 的条件下 若生产一套学生桌椅需木材 0 07m3 求该县 2001 年使用一次性 版权所有 中华资源库 筷子的木材可以生产多少套学生桌椅 计算中需用的有关数据为 每盒筷子 100 双 每双 筷子的质量为 5g 所用木材的密度为 0 5 103kg m3 4 假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量 如何利用统计知识去做 简要地用文字表述出来 解析 1 0 2 0 12 31 22 17 18 25 12 27 36 0 10 1 x 所以 该县 1999 年消耗一次性筷子为 2 600 350 420000 盒 2 设平均每年增长的百分率为X 则 2 1 X 2 2 42 解得X1 0 1 10 X2 2 1 不合题意 舍去 所以 平均每年增长的百分率为 10 3 可以生产学生桌椅套数为7260 07 0 105 0 35060010042 2 005 0 3 套 探究三 平均数 标准差 方差 的计算问题 例 3 在一次歌手大奖赛上 七位评委为歌手甲 乙打出的分数如下 甲 9 4 8 4 9 4 9 9 9 6 9 4 9 7 乙 9 5 8 8 9 5 9 5 9 9 9 5 9 6 根据以上数据 判断他们谁更优秀 解析 7 个数据中去掉一个最高分和一个最低分后 余下的 5 个数为 甲 9 4 9 4 9 6 9 4 9 5 乙 9 5 9 5 9 5 9 5 9 6 甲的平均数为 5 946 9 5 5 94 96 94 94 9 x 即 5 9 x 方差为 016 0 5 95 9 5 94 9 5 94 9 5 1 2222 s 即 016 0 2 s 乙的平均数 乙的方差为 探究四探究四 综合问题综合问题 例 4 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽取名学生作为样本 得M 到这名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分M 布直方图如下 求出表中 及图中的值 Mpa 若该校高一学生有360 人 试估计他们参加社区服务的次数在区间内的人数 15 20 在所取样本中 从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人 求至多一人参加 分组频数频率 10 15 100 25 15 20 25 n 20 25 m p 25 30 20 05 合计 M1 版权所有 中华资源库 社区服务次数在区间内的概率 20 25 解析 命题意图 本小题主要考查统计与概率的相关知识 具体涉及到频率分布表 频 率分布直方图以及概率的初步应用 试题解析 解 由题可知 10 0 25 M 25 n M m p M 2 0 05 M 又 解得 10252mM 40M 0 625n 3m 0 075n 则组的频率与组距之比为0 125 5分 15 20 a 参加在社区服务次数在区间内的人数为人 8 分 15 20 360 0 625225 在样本中 处于内的人数为 3 可分别记为 处于内的人数为 20 25 A B C 25 30 2 可分别记为 从该 5 名同学中取出 2 人的取法有 a b A aA bB a 共 10 种 至多一人在内的情 B bC aC bA BA CB Ca b 20 25 况有共 7 种 所以至多一人 参加社区服 A aA bB aB bC aC ba b 务次数在区间内的概率为 20 25 7 10 三 方法提升三 方法提升 1 统计是为了从数据中提取信息 学习时根据实际问题的需求选择不同的方法合理地 选取样本 并从样本数据中提取需要的数字特征 不应把统计处理成数字运算和画图表 对统计中的概念 如 总体 样本 等 应结合具体问题进行描述性说明 不应追求严格 的形式化定义 2 当总体中个体取不同值很少时 我们党用样本的频率分布标记频率分布梯形图取估 计总体体分布 总体分布排除了抽样造成的错误 精确反映了总体取值的概率分布规律 对 于所取不同数值较多或可以在实数区间范围内取值的总体 需用频率分布直方图来表示 相应的频率分布 当样本容量无限增大 分组的组距无限缩小时 频率分布直方图无限 接近一条光滑曲线 总体密度曲线 由于总体分布通常不易知道 往往是用样本的频 率分布估计总体分布 样本容量越大 估计就越精确 四 反思感悟 四 反思感悟 五 课时作业五 课时作业 一 选择题 1 一个容量为 20 的样本数据 分组后 组别与频数如下 组别 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 频数 234542 则样本在 20 50 上的频率为 A 12 B 40 C 60 D 70 解析 本题考查样本的频率运算 据表知样本分布在 20 50 的频数 3 4 5 12 故 其频率为 0 6 答案 C 12 20 版权所有 中华资源库 2 甲 乙两名同学在五次 数学基本能力 测试中 成绩统计用茎叶图表示如下 若甲 乙两人的平均成绩分别是X甲 X乙 则下列结论正确的是 A X甲 X乙 甲比乙成绩稳定 B X甲 X乙 乙比甲成绩稳定 C X甲 X乙 甲比乙成绩稳定 D X甲 X乙 乙比甲成绩稳定 解析 由茎叶图知识 可知道甲的成绩为 68 69 70 71 72 平均成绩为 70 乙的 成绩为 63 68 69 69 71 平均成绩为 68 再比较标准差 甲的标准差为 1 5 68 70 2 69 70 2 70 70 2 71 70 2 72 70 2 乙的标准差为 2 1 5 63 68 2 68 68 2 69 68 2 69 68 2 71 68 2 故甲比乙的成绩稳定 答案 A 6 5 52 3 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示 时速在 50 60 的汽 车大约有 A 30 辆 B 40 辆 C 60 辆 D 80 辆 解析 面积为频率 在 50 60 的频率为 0 3 所以 大约有 200 0 3 60 辆 答案 C 4 一个容量为 100 的样本 其数据的分组与各组的频 数如下 则样本数据落在 10 40 上的频率为 A 0 13 B 0 39 C 0 52 D 0 64 解析 由列表知样本数据落在 10 40 上的频数为 52 频率为 0 52 答案 C 5 甲 乙两射击运动员进行比赛 射击相同的次数 已知两运动 员射击的环数稳定在 7 8 9 10 环 他们的成绩频率分布条形 图如下 组别频数 0 10 12 10 20 13 20 30 24 30 40 15 40 50 16 50 60 13 60 70 7 版权所有 中华资源库 由乙击中 8 环及甲击中 10 环的概率与甲击中环数的平均值都正确的一组数据依次是 A 0 35 0 25 8 1 B 0 35 0 25 8 8 C 0 25 0 35 8 1 D 0 25 0 35 8 8 解析 乙击中 8 环的概率为 1 0 2 0 2 0 35 0 25 甲击中 10 环的概率为 1 0 2 0 15 0 3 0 35 甲击中环数的平均值为 7 0 2 8 0 15 9 0 3 10 0 35 8 8 答案 D 6 设矩形的长为a 宽为b 其比满足b a 0 618 这种矩形给人以美感 称 5 1 2 为黄金矩形 黄金矩形常应用于工艺品设计中 下面是某工艺品厂随机抽取两个批次 的初加工矩形宽度与长度的比值样本 甲批次 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 乙批次 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数 与标准值 0 618 比较 正确结论是 A 甲批次的总体平均数与标准值更接近 B 乙批次的总体平均数与标准值更接近 C 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 解析 0 617 x甲 甲 0 598 0 625 0 628 0 595 0 639 5 0 613 x乙 乙 0 618 0 613 0 592 0 622 0 620 5 与 0 618 更接近 答案 Ax甲 甲 二 填空题 7 已知总体的各个体的值由小到大依次为 2 3 3 7 a b 12 13 7 18 3 20 且总体的 中位数为 10 5 若要使该总体的方差最小 则a b的取值分别是 解析 这 10 个数的中位数为 10 5 这 10 个数的平均数为 10 a b 2 要使总体方差最小 即 a 10 2 b 10 2最小 又 a 10 2 b 10 2 21 b 10 2 b 10 2 版权所有 中华资源库 11 b 2 b 10 2 2b2 42b 221 当b 10 5 时 a 10 2 b 10 2取得最小值 又 a b 21 a 10 5 b 10 5 答案 10 5 10 5 8 某地教育部门为了解学生在数学答卷中的有关信息 从上次考试的 10 000 名考生的数 学试卷中 用分层抽样的方法抽取 500 人 并根据这 500 人的数学成绩画出样本的频 率分布直方图 如图 则这 10 000 人中数学成绩在 140 150 段的约是 人 解析 本题考查了频率直方图的一些知识 由图在 140 150 的频率为 0 008 10 所 以在 10 000 人中成绩在 140 150 的学生有 10 000 0 008 10 800 人 答案 800 9 如图是 CBA 篮球联赛中 甲乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图 则平均得分 高的运动员是 解析 从茎叶图上可得甲得分 8 10 15 16 22 23 25 26 27 32 平均值为 20 4 乙 得分 8 12 14 17 18 19 21 27 28 29 平均值为 19 3 平均得分高的运动员是 甲 答案 甲 三 解答题 10 甲 乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件 为了检验产品的质量 从产品中各 随机抽取 6 件进行测量 测得数据如下 单位 mm 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100 1 分别计算上述两组数据的平均数和方差 2 根据 1 的计算结果 说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求 版权所有 中华资源库 解 1 100 mm x甲 甲 99 100 98 100 100 103 6 100 mm x乙 乙 99 100 102 99 100 100 6 99 100 2 100 100 2 98 100 2 100 100 2 100 100 甲甲 2 2 S S 1 6 2 103 100 2 mm2 7 3 99 100 2 100 100 2 102 100 2 99 100 2 100 100 2 2 乙乙 S S 1 6 2 100 100 2 1 mm2 2 因为 说明甲机床加工零件波动比较大 因此乙机床加工零件更符合要 甲甲 2 2 S S 甲甲 2 2 S S 求 11 甲 乙两位学生参加数学竞赛培训 在培训期间 他们参加的 5 项预赛成绩记录 如下 甲 8282799587 乙 9575809085 1 用茎叶图表示这两组数据 2 从甲 乙两人的成绩中各随机抽取一个 求甲的成绩比乙高的概率 3 现要从中选派一人参加数学竞赛 从统计学的角度考虑 你认为选派哪位学生参加 合适 说明理由 解 1 作出茎叶图如下 2 记甲被抽到的成绩为x 乙被抽到的成绩为y 用数对 x y 表示基本事件 82 95 82 75 82 80 82 90 82 85 82 95 82 75 82 80 82 90 82 85 79 95 79 75 79 80 79 90 79 85 版权所有 中华资源库 95