高中自主招生考试数学试题(含答案详解)

1 一一中自主招生考试数学试题中自主招生考试数学试题 一 选择题 共 6 小题 满分 24 分 每小题 4 分 1 4 分 如果关于 x 的方程 x2 ax a2 3 0 至少有一个正根 则实数 a 的取值范围是 A 2 a 2 B C D 2 4 分 假期里王老师有一个紧急通知 要用电话尽快通知给 50 个同学 假设每通知一个同学需要 1 分钟时间 同学接到电话后也可以相互通知 那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为 A 8 分钟 B 7 分钟 C 6 分钟 D 5 分钟 3 4 分 如图是一个正方体的表面展开图 已知正方体的每一个面都有一个实数 且相对面上的两个数互为倒数 那么代数式的值等于 A B 6 C D 6 4 4 分 2008 青岛 如图 把图 1 中的 ABC 经过一定的变换得到图 2 中的 A B C 如果图 1 中 ABC 上点 P 的坐标为 a b 那么这个点在图 2 中的对应点 P 的坐标为 A a 2 b 3 B a 3 b 2 C a 3 b 2 D a 2 b 3 5 4 分 如图 四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的 A 已知 则线 段 DE 的长是 A B 7 C 4 3 D 3 4 6 4 分 如图 张三同学把一个直角边长分别为 3cm 4cm 的直角三角形硬纸板 在桌面上翻滚 顺时针方向 顶点 A 的位置变化为 A1 A2 A3 其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住 使纸板一边 A2C1与桌面所成的角 恰好等于 BAC 则 A 翻滚到 A2位置时共走过的路程为 A 8cm B 8 cm C 2cm D 4 cm 二 填空题 共 6 小题 满分 24 分 每小题 4 分 7 4 分 若 x 3 则 x2 2 8 4 分 如图 E F 分别是平行四边形 ABCD 的边 AB CD 上的点 AF 与 DE 相交于点 P BF 与 CE 相交于 点 Q 若 S APD 15cm2 S BQC 25cm2 则阴影部分的面积为 cm2 9 4 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 4cm 正方形 AEFG 的边长为 1cm 如果正方形 AEFG 绕点 A 旋转 那么 C F 两点之间的最小距离为 cm 10 4 分 对于正数 x 规定 f x 计算 f f f f f f 1 f 2 f 3 f 98 f 99 f 100 11 4 分 甲 乙 丙 3 人用擂台赛形式进行训练 每局 2 人进行单打比赛 另 1 人当裁判 每 局的输方去当下 局的裁判 而由原来的裁判向胜者挑战 半天训练结束时发现甲共打了 12 局 乙共打了 21 局 而丙共当裁判 8 局 那么 整个比赛的第 10 局的输方一定是 12 4 分 2002 广州 如图所示 在正方形 ABCD 中 AO BD OE FG HI 都垂直于 AD EF GH IJ 都垂直于 AO 若已知 S AIJ 1 则正方形 ABCD 的面积为 三 解答题 共 6 小题 满分 52 分 13 6 分 把几个数用大括号围起来 中间用逗号断开 如 1 2 3 2 7 8 19 我们称之为集合 其 中的数称其为集合的元素 如果一个集合满足 当实数 a 是集合的元素时 实数 8 a 也必是这个集合的元素 这样 的集合我们称为好的集合 1 请你判断集合 1 2 1 4 7 是不是好的集合 2 请你写出满足条件的两个好的集合的例子 14 8 分 2007 丽水 在课外活动时间 小王 小丽 小华做 互相踢踺子 游戏 踺子从一人传到另一人就记 为踢一次 1 若从小丽开始 经过两次踢踺后 踺子踢到小华处的概率是多少 用树状图或列表法说明 2 若经过三次踢踺后 踺子踢到小王处的可能性最小 应确定从谁开始踢 并说明理由 15 8 分 某中学为了进一步改善办学条件 决定计划拆除一部分旧校舍 建造新校舍 拆除旧校舍每平方米需 80 元 建造新校舍每平方米需要 800 元 计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 9000 平方米 在实施中为扩大绿 化面积 新建校舍只完成了计划的 90 而拆除旧校舍则超过了计划的 10 结果恰好完成了原计划的拆 建总面 积 1 求原计划拆 建面积各是多少平方米 2 若绿化 1 平方米需要 200 元 那么把在实际的拆 建工程中节余的资金全部用来绿化 可绿化多少平方米 16 10 分 如图 O 的直径 EF cm Rt ABC 中 ACB 90 BAC 30 AB cm E F A B 四点共线 Rt ABC 以 1cm s 的速度沿 EF 所在直线由右向左匀速运动 设运动时间为 t s 当 t 0s 时 点 B 与 点 F 重合 1 当 t 为何值时 Rt ABC 的直角边与 O 相切 2 当 Rt ABC 的直角边与 O 相切时 请求出重叠部分的面积 精确到 0 01 3 17 10 分 2008 广东 1 如图 1 点 O 是线段 AD 的中点 分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边 三角形 OAB 和等边三角形 OCD 连接 AC 和 BD 相交于点 E 连接 BC 求 AEB 的大小 2 如图 2 OAB 固定不动 保持 OCD 的形状和大小不变 将 OCD 绕点 O 旋转 OAB 和 OCD 不能重 叠 求 AEB 的大小 18 10 分 2008 益阳 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为 蛋圆 如果一条直线与 蛋圆 只有一个交点 那么这条直线叫做 蛋圆 的切线 如图所示 点 A B C D 分别是 蛋圆 与坐标轴的交点 已 知点 D 的坐标为 0 3 AB 为半圆的直径 半圆圆心 M 的坐标为 1 0 半圆半径为 2 1 请你求出 蛋圆 抛物线部分的解析式 并写出自变量的取值范围 2 你能求出经过点 C 的 蛋圆 切线的解析式吗 试试看 3 开动脑筋想一想 相信你能求出经过点 D 的 蛋圆 切线的解析式 答案与评分标准答案与评分标准 一 C C A C D D 二 7 40 3 甲 256 三 解 1 集合 1 2 不是好的集合 这是因为 8 1 7 而 7 不是 1 2 中的数 所以 1 2 不是好的集合 1 4 7 是好的集合 这是因为 8 1 7 7 是 1 4 7 中的数 8 4 4 4 也是 1 4 7 中的数 8 7 1 1 又是 1 4 7 中的数 所以 1 4 7 是好的集合 2 答案不唯一 集合 4 3 4 5 2 6 1 2 4 6 7 0 8 等都是好的集合 解 1 踺子踢到小华处的概率是 树状图如下 列表法如下 小丽 小王小华 小王 小丽 小王 小王 小华 小华 小华 小丽 小华 小王 2 小王 树状图如下 4 理由 若从小王开始踢 三次踢踺后 踺子踢到小王处的概率是 踢到其它两人处的概率都是 因此 踺子踢 到小王处的可能性是最小 解 1 由题意可设拆旧舍 x 平方米 建新舍 y 平方米 则 答 原计划拆建各 4500 平方米 2 计划资金 y1 4500 80 4500 800 3960000 元 实用资金 y2 1 1 4500 80 0 9 4500 800 4950 80 4050 800 396000 3240000 3636000 节余资金 3960000 3636000 324000 可建绿化面积 平方米 答 可绿化面积 1620 平方米 解 1 BAC 30 AB BC 又 O 的直径 EF 即半径为 ACB 90 当点 B 运动到圆心 O 时 AC 边与 O 相切 如图 1 所示 1 分 此时运动距离为 FO t s 2 分 当 BC 边与 O 相切时 如图 2 所示 设切点为 G 连接 OG 则 OG BC 3 分 由已知 BOG BAC 30 OG BO 2 4 分 又 FO BF 此步亦可利用相似求解 请参照给分 此时s 5 分 由上所述 当秒时 Rt ABC 的直角边与 O 相切 6 分 2 由图 1 此时 O 与 Rt ABC 的重叠部分为扇形 COF 7 分 由已知 COF 60 8 分 由图 2 设 AC 与 O 交于点 M 此时 O 与 Rt ABC 的重叠部分为扇形 OMGE 加上 OAM 9 分 过点 M 作 MN OG 于 N 则 MN GC 由 1 可知 BG 1 则 MN GC 10 分 MON 25 即 MOE 55 11 分 5 12 分 又 OM 点 M 到 AB 的距离 h OM sin MOE 1 419 13 分 S AOM OA h 1 229cm2 此时 O 与 Rt ABC 的重叠部分的面积为 S扇形 OMEF S AOM 2 67cm2 14 分 解 1 如图 3 DOC 和 ABO 都是等边三角形 且点 O 是线段 AD 的中点 OD OC OB OA 1 2 60 4 5 又 4 5 2 60 4 30 同理 6 30 AEB 4 6 AEB 60 2 如图 4 DOC 和 ABO 都是等边三角形 OD OC OB OA 1 2 60 又 OD OA OD OB OA OC 4 5 6 7 DOB 1 3 AOC 2 3 DOB AOC 4 5 DOB 180 6 7 AOC 180 2 5 2 6 5 6 又 AEB 8 5 8 2 6 AEB 2 6 5 2 5 5 2 AEB 60 解 1 根据题意可得 A 1 0 B 3 0 则设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 a 0 又 点 D 0 3 在抛物线上 a 0 1 0 3 3 解之得 a 1 y x2 2x 3 3 分 自变量范围 1 x 3 4 分 2 设经过点 C 蛋圆 的切线 CE 交 x 轴于点 E 连接 CM