高考数学 第九章 第二节 总体分布的估计、总体特征数的估计课件 理 苏教版.ppt

第二节总体分布的估计 总体特征数的估计 1 统计图表 1 编制频率分布表的步骤 左闭右开 闭区间 2 频率分布直方图的制作步骤第一步 先制作频率分布表 然后作直角坐标系 第二步 把横轴分成若干段 每一线段对应一个组的 然后以此线段为底作一 它的高等于该组的 这样得出一系列的 第三步 每个矩形的面积恰好是该组的 这些矩形就构成了频率分布直方图 组距 矩形 矩形 频率 3 频率分布折线图和总体分布的密度曲线 上底边 的中点 样本容量 组距 频率折线图 4 茎叶图 作用 分析单组数据 对两组数据进行比较分析 特点 2 样本的数字特征标准差和方差 最大值与最小值的差 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平均数 众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 2 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 3 一组数据的方差越大 说明这组数据的波动越大 4 一组数据的众数可以是一个或几个 那么中位数也具有相同的结论 5 从频率分布直方图得不出原始的数据内容 把数据表示成直方图后 原有的具体数据信息就被抹掉了 6 茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写 右侧的叶按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 解析 1 正确 平均数表示一组数据的平均水平 众数表示一组数据中出现次数最多的数 中位数等分样本数据所占频率 2 错误 平均数一定不大于这组数据中的最大值 3 正确 由方差的意义知结论正确 4 错误 中位数在一组数据中一定存在且惟一 5 正确 由频率分布直方图的意义知结论正确 6 错误 茎叶图要求不能丢失数据 答案 1 2 3 4 5 6 1 一个容量为32的样本 已知某组样本的频率为0 375 则该组样本的频数为 解析 频数 32 0 375 12 答案 12 2 甲 乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛 他们都参加了全部的7场比赛 平均得分均为16分 标准差分别为5 09和3 72 则甲 乙两同学在这次篮球比赛活动中 发挥得更稳定的是 解析 因为甲 乙两位同学的标准差分别为5 09和3 72 5 09 3 72 所以乙同学发挥得更稳定 答案 2 3 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1 2 3 第2小组的频数为10 则抽取的学生人数为 解析 前3组的频率之和等于1 0 0125 0 0375 5 0 75 第2小组的频率是 0 25 设样本容量为n 则 0 25 即n 40 答案 40 4 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示 则这组数据的中位数和平均数分别是 解析 中位数为 91 92 91 5 平均数为 87 89 90 91 92 93 94 96 91 5 答案 91 5 91 5 5 一个容量为20的样本 数据的分组及各组的频数如下表 其中x y n 则样本在区间 10 50 上的频率为 解析 由样本容量为20 得x y 9 答案 0 7 6 如图是某赛季甲 乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图 则甲 乙两人比赛得分的中位数之和是 解析 甲比赛得分的中位数为28 乙比赛得分的中位数为36 所以甲 乙两人比赛得分的中位数之和为28 36 64 答案 64 考向1统计图表的应用 典例1 1 从甲 乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度 单位 mm 结果如下 甲品种 271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352 乙品种 284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了茎叶图如图所示 根据以上茎叶图 对甲 乙两个品种棉花的纤维长度作比较 写出两个统计结论 2 2012 广东高考 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示 其中成绩分组区间是 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 求图中 的值 根据频率分布直方图 估计这100名学生语文成绩的平均分 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数 x 与数学成绩相应分数段的人数 y 之比如下表所示 求数学成绩在 50 90 之外的人数 思路点拨 1 从棉花的纤维长度的分布特点和平均长度两个方面进行比较 2 本小题根据每个区间上的矩形的面积和为1 可建立关于 的方程 解出 的值 由频率分布直方图求平均分 每个区间的中点值乘以区间上矩形面积的和 本题关键是先把语文成绩在 50 60 60 70 70 80 80 90 的人数求出来 即根据每段的频率求出每段的频数 规范解答 1 由茎叶图可以看出甲棉花纤维的长度比较分散 乙棉花纤维的长度比较集中 大部分集中在312到337之间 还可以看出乙的平均长度应大于310 而甲的平均长度要小于310等 通过分析可以得到答案 答案 甲棉花纤维的长度比较分散 乙棉花纤维的长度比较集中 甲棉花纤维的长度的平均值小于乙棉花纤维长度的平均值 答案不惟一 2 由频率分布直方图知 0 04 0 03 0 02 2 10 1 0 005 55 0 05 65 0 4 75 0 3 85 0 2 95 0 05 73 所以平均分为73 分别求出语文成绩在 50 60 60 70 70 80 80 90 的人数依次为0 05 100 5 0 4 100 40 0 3 100 30 0 2 100 20 所以数学成绩在 50 60 60 70 70 80 80 90 的人数依次为 5 20 40 25 所以数学成绩在 50 90 之外的人数有100 5 20 40 25 10 人 拓展提升 各种统计图表的优点与不足 变式训练 1 为了了解某地区高三学生的身体发育情况 抽查了该地区100名年龄为17 5岁 18岁的男生体重 kg 得到频率分布直方图如下 根据上图可得这100名学生中体重在 56 5 64 5 的学生人数是 解析 体重在 56 5 64 5 学生的累计频率为2 0 03 2 0 05 2 0 05 2 0 07 0 4 则体重在 56 5 64 5 的学生人数为0 4 100 40 答案 40 2 为了调查甲 乙两个网站受欢迎的程度 随机选取了14天 统计上午8 00 10 00各自的点击量 得到如图所示的茎叶图 求 甲网站点击量在 10 40 间的频率是多少 甲 乙两个网站哪个更受欢迎 请说明理由 解析 甲网站点击量在 10 40 间的频率为 甲网站的点击量集中在茎叶图的下方 而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方 从数据的分布情况来看 甲网站更受欢迎 考向2数字特征的应用 典例2 1 2012 陕西高考改编 从甲 乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机 对其销售额进行统计 统计数据用茎叶图表示 如图所示 设甲 乙两组数据的平均数分别为中位数分别为m甲 m乙 则m甲 m乙 填 符号 2 某校为了选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛 a b两位同学在校实习基地现场进行加工直径为20mm的零件测试 他们各加工10个零件的相关数据依次如图所示 单位 mm 根据测试的有关数据 试解答下列问题 考虑平均数与完全符合要求的个数 你认为谁的成绩好些 计算出a b二人的方差 考虑平均数与方差 说明谁的成绩好些 考虑图中折线走势及竞赛加工零件的个数远远超过10个的实际情况 你认为派谁去更合适 简述理由 思路点拨 1 平均数的大小可以根据茎叶图中数据的分布的集中位置进行判断 或直接根据平均数和中位数的计算公式进行计算 2 由图可以发现 符合要求的零件个数b的多于a 计算出sb2 再比较两人的成绩 根据图 哪个越来越接近标准直径 则派哪个去 规范解答 1 方法一 观察茎叶图可知甲组数据中的中位数是 18 22 20 乙组数据中的中位数是 27 31 29 m甲 m乙 答案 2 因为两人的平均数相同 而符合要求的零件个数b的多于a 所以b的成绩好些 sb2 5 20 20 2 3 19 9 20 2 20 1 20 2 20 2 20 2 0 008 又sa2 0 026 所以sa2 sb2 在平均数相同的情况下 b的波动性小 所以b的成绩好些 从折线走势看 a的成绩越来越接近20mm 并趋于稳定 所以派a去更合适 互动探究 在本例第 2 题的数据图中 将b同学的数据上移0 1个单位 其他条件不变 求b同学的平均数与方差 解析 由题意知b同学的数据为20 1 20 1 20 1 20 20 1 20 1 20 20 20 2 20 3 方法一 20 1 20 1 20 1 20 20 1 20 1 20 20 20 2 20 3 20 1 sb2 5 20 1 20 1 2 3 20 20 1 2 20 2 20 1 2 20 3 20 1 2 0 008 方法二 因为各数据加上0 1后 平均数比原来多0 1 而方差不变 故 20 1 sb2 0 008 拓展提升 众数 中位数 平均数及方差的意义及公式的推广 1 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明地描述 它们所反映的情况有着重要的实际意义 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述波动大小 2 平均数 方差的公式推广 若数据x1 x2 xn的平均数为那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均数是 数据x1 x2 xn的方差为s2 i 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 ii 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 提醒 方差的简化计算公式 s2 x12 x22 xn2 或写成s2 x12 x22 xn2 即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 变式备选 1 2013 盐城模拟 已知2x1 1 2x2 1 2x3 1 2xn 1的方差是3 则x1 x2 x3 xn的标准差为 解析 设x1 x2 x3 xn的方差为s2 则2x1 1 2x2 1 2x3 1 2xn 1的方差为4s2 4s2 3 答案 2 甲 乙两人在相同的条件下练习射击 每人打5发子弹 命中的环数如下 甲 6 8 9 9 8 乙 10 7 7 7 9 则两人的射击成绩较稳定的是 解析 甲命中环数的平均数是8环 乙命中环数的平均数是8环 s甲2 6 8 2 8 8 2 9 8 2 9 8 2 8 8 2 环2 同理s乙2 环2 s甲2 s乙2 甲的射击成绩比乙的稳定 答案 甲 考向3频率分布与数字特征的综合应用 典例3 今年西南一地区遭遇严重干旱 某乡计划向上级申请支援 为上报需水量 乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量 得到这100户村民月均用水量的频率分布表如下表 月均用水量的单位 吨 1 请完成该频率分布表 并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图 2 估计样本的中位数是多少 3 已知上级将按每户月均用水量向该乡调水 若该乡共有1200户 请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨 思路点拨 1 由频率计算公式和各频率之和为1求解 2 根据中位数前频率之和为0 5求解 3 先求出样本中的月用水量平均值 再估计上级支援该乡的月调水量 规范解答 1 频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下 2 设中位数为x 因为月用水量在 0 5 4 5 内的频率是 0 06 0 12 2 0 36 月用水量在 0 5 6 5 内的频率是 0 06 0 12 0 20 2 0 76 所以x 4 5 6 5 则 x 4 5 0 2 0 5 0 36 解得x 5 2 故中位数是5 2 3 该乡每户月均用水量估计为 1 5 0 12 3 5 0 24 5 5 0 40 7 5 0 18 9 5 0 06 5 14 又5 14 1200 6168 吨 答 上级支援该乡的月调水量是6168吨 拓展提升 利用频率分布直方图估计样本的数字特征 1 中位数 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 2 平均数 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 3 众数 在频率分布直方图中 众数是最高的矩形的中点的横坐标 变式训练 为了了解高一学生的体能情况 某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试 将所得数据整理后 画出频率分布直方图 如图 图中从左到右各小长方形面积之比为2 4 17 15 9 3 第二小组频数为12 1 第二小组的频率是多少 样本容量是多少 2 若次数在110以上 含110次 为达标 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少 3 在这次测试中 学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内 请说明理由 解析 1 由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小 因此第二小组的频率为 又因为第二小组频率 所以样本容量 2 由图可估计该学校高一学生的达标率约为 3 由已知可得各小组的频数依次为6 12 51 45 27 9 所以前三组的频数之和为69 前四组的频数之和为114 所以跳绳次数的中位数落在第四小组内 易错误区 概念不清导致错误 典例 2012 陕西高考 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计 得到样本的茎叶图 如图所示 则该样本的中位数 众数 极差分别是 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 中位数计算时中间两数找不准 2 极差与方差概念混淆导致错误 规范解答 茎叶图中共有30个数据 由题意知各数为12 15 20 22 23 23 31 32 34 34 38 39 45 45 45 47 47 48 48 49 50 50 51 51 54 57 59 61 67 68 所以众数为45 中位数是第15个和第16个数字的平均数 即 45 47 46 再计算极差 最小数据是12 最大数据是68 所以68 12 56 答案 46 45 56 思考点评 1 极差 方差与标准差的特点极差是数据的最大值与最小值的差 它反映了一组数据变化的最大幅度 它对一组数据中的极端值非常敏感 方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 即样本方差的算术平方根 是样本数据到平均数的一种平均距离 也表示波动幅度 但它与样本数据的单位一致 2 中位数的特点中位数仅与数据的排列位置有关 某些数据的变动一般对中位数没有影响 中位数可能出现在所给数据中 也可能不在所给数据中 当一组数据中的个别数据较大时 可用中位数描述其集中趋势 1 2012 湖北高考改编 容量为20的样本数据 分组后的频数如下表 则样本数据落在区间 10 40 的频率为 解析 数据落在区间 10 40 内的频数为9 样本容量为20 所求频率答案 0 45 2 2012 山东高考 在某次测量中得到的a样本数据如下 82 84 84 86 86 86 88 88 88 88 若b样本数据恰好是a样本数据都加2后所得数据 则a b两样本的下列数字特征对应相同的序号是 众数 平均数 中位数 标准差 解析 b样本数据恰好是a样本数据都加2后所得数据 众数 中位数 平均数比原来的都多2 而标准差不变 答案 3 2012 江西高考改编 小波一星期的总开支分布图如图1所示 一星期的食品开支如图2所示 则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 解析 由图2知 小波一星期的食品开支为300元 其中鸡蛋开支为30元 占食品开支的10 而食品开支占总开支的30 所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3 答案 3 4 2013 无锡模拟 某校开展 爱我无锡 爱我家乡 摄影比赛 9位评委为参赛作品a给出的分数如茎叶图所示 记分员在去掉一个最高分和一个最低分后 算得平均分为91 复核员在复核时 发现有一个数字 茎叶图中的x