高考数学复习-指数函数

指数函数 A 组 1 2010 年黑龙江哈尔滨模拟 若a 1 b1 b 0 0 ab1 又 ab a b 2 a2b a 2b 2 8 a2b a 2b 6 ab a b 2 a2b a 2b 2 4 ab a b 2 答案 2 2 已知f x ax b的图象如图所示 则f 3 解析 由图象 知f 0 1 b 2 b 3 又f 2 a2 3 0 a 则f 3 33 3 3 3 3 3 答案 3 3 3 3 函数y 2x x2的值域是 1 2 解析 2x x2 x 1 2 1 1 2x x2 答案 1 2 1 2 1 2 4 2009 年高考山东卷 若函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 则 实数a的取值范围是 解析 函数f x 的零点的个数就是函数y ax与函数y x a交点的个数 由函数的图象可知a 1 时两函数图象有两个交点 0 a1 答案 1 5 原创题 若函数f x ax 1 a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 2 则实 数a等于 解析 由题意知Error Error 无解或Error Error a 答案 33 6 已知定义域为 R 的函数f x 是奇函数 1 求a b的值 2x b 2x 1 a 2 若对任意的t R 不等式f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求k的取值范 围 解 1 因为f x 是 R 上的奇函数 所以f 0 0 即 0 解得 1 b 2 a b 1 从而有f x 又由f 1 f 1 知 解得 2x 1 2x 1 a 2 1 4 a 1 2 1 1 a a 2 2 法一 由 1 知f x 2x 1 2x 1 2 1 2 1 2x 1 由上式易知f x 在 R 上为减函数 又因f x 是奇函数 从而不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 f t2 2t 2t2 k 即对一切t R 有 3t2 2t k 0 从而 4 12k 0 解得k 1 3 法二 由 1 知f x 又由题设条件得 2x 1 2x 1 2 2t2 2t 1 2t2 2t 1 2 0 22t2 k 1 22t2 k 1 2 即 22t2 k 1 2 2t2 2t 1 2t2 2t 1 2 22t2 k 1 1 因底数 2 1 故 3t2 2t k 0 上式对一切t R 均成立 从而判别式 4 12k 0 解得k0 且a 1 的图象经过第一 二 四象限 不经 过第三象限 那么一定有 0 a0 0 a 1 且 0 b1 且b1 且b 0 解析 当 0 a 1 时 把指数函数f x ax的图象向下平移 观察可知 1 b 1 0 即 0 b 1 答案 2 2010 年保定模拟 若f x x2 2ax与g x a 1 1 x在区间 1 2 上 都是减函数 则a的取值范围是 解析 f x x2 2ax x a 2 a2 所以f x 在 a 上为减函 数 又f x g x 都在 1 2 上为减函数 所以需Error Error 00 a 1 g x 0 若 则a等于 f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 解析 由f x ax g x 得 ax 所以 f x g x a a 1 解得a 2 或 答案 2 或 f 1 g 1 f 1 g 1 5 2 5 2 1 2 1 2 4 2010 年北京朝阳模拟 已知函数f x ax a 0 且a 1 其反函数为 f 1 x 若f 2 9 则f 1 f 1 的值是 1 3 解析 因为f 2 a2 9 且a 0 a 3 则f x 3x x 1 1 3 故f 1 1 又f 1 3 所以f 1 f 1 2 答案 2 1 3 1 3 5 2010 年山东青岛质检 已知f x x 若f x 的图象关于直线x 1 对称 1 3 的图象对应的函数为g x 则g x 的表达式为 解析 设y g x 上任意一点P x y P x y 关于x 1 的对称点 P 2 x y 在f x x上 y 2 x 3x 2 答案 y 3x 2 x R 1 3 1 3 6 2009 年高考山东卷改编 函数y 的图象大致为 ex e x ex e x 解析 f x f x f x 为奇函数 排 e x ex e x ex ex e x ex e x 除 又 y 1 在 0 ex e x ex e x e2x 1 e2x 1 e2x 1 2 e2x 1 2 e2x 1 0 上都是减函数 排除 答案 7 2009 年高考辽宁卷改编 已知函数f x 满足 当x 4 时 f x x 当 1 2 x 4 时 f x f x 1 则f 2 log23 解析 2 3 4 22 1 log23 2 3 2 log230 且a 1 在区间 1 1 上的最大值为 14 求实数a的值 解 f x a2x 2ax 1 ax 1 2 2 x 1 1 1 当 0 a1 时 ax a 当ax a时 f x 取得最大值 1 a a 1 2 2 14 a 3 综上可知 实数a的值为 或 3 1 3 11 已知函数f x 1 求证 f x 的图象关于点M a 1 对称 2 2x a 1 2 若f x 2x在x a上恒成立 求实数a的取值范围 解 1 证明 设f x 的图象C上任一点为P x y 则y 2 2x a 1 P x y 关于点M a 1 的对称点为P 2a x 2 y 2 y 2 2 2x a 1 2 2x a 2x a 1 2 1 2 x a 2 2 2a x a 1 说明点P 2a x 2 y 也在函数y 的图象上 由点P的任 2 2x a 1 意性知 f x 的图象关于点M a 1 对称 2 由f x 2x得 2x 则 2x 化为 2 2x a 1 2 2x a 1 2x a 2x 2x 2 0 则有 2x 2 2a 2x 2 2a 0 在x a上恒成立 令g t t2 2a t 2 2a 则有g t 0 在t 2a上恒成立 g t 的对称轴在 t 0 的左侧 g t 在t 2a上为增函数 g 2a 0 2a 2 2a 2 2 2a 0 2a 2a 1 0 则a 0 即实数a的 取值范围为a 0 12 2008 年高考江苏 若f1 x 3 x p1 f2 x 2 3 x p2 x R p1 p2为 常数 且 f x Error Error 1 求f x f1 x 对所有实数x成立的充要条件 用p1 p2 表示 2 设a b是两个实数 满足ap2时 g x Error Error 所以g x max p1 p2 故只需p1 p2 log32 当p1 p2时 g x Error Error 所以g x max p2 p1 故只需p2 p1 log32 综上所述 f x f1 x 对所有实数x成立的充要条件是 p1 p2 log32 2 证明 分两种情形讨论 当 p1 p2 log32 时 由 1 知f x f1 x 对所有实数x a b 则由f a f b 及a p1log32 时 不妨设p1log32 于是 当x p1时 有f1 x 3p1 x 3p2 x3log32 3x p2 f2 x 从而f x f2 x 当p1 x p2时 f1 x 3x p1及f2 x 2 3p2 x 由方程 3x0 p1 2 3p2 x0 解得f1 x 与f2 x 图象交点的横坐标为x0 log32 p1 p2 2 1 2 显然p1 x0 p2 p2 p1 log32 p2 这表明x0在p1与p2之间 1 2 由 易知f x Error Error 综上可知 在区间 a b 上 f x Error Error 故由函数f1 x 与f2 x