高中数学 2.7向量应用举例课件 北师大版必修4 .ppt

直线的方向向量和法向量利用方向向量及法向量求直线方程的关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系 常用结论如下 1 所求直线与已知直线平行 则和已知直线的方向向量平行 和已知直线的法向量垂直 2 所求直线与已知直线垂直 则和已知直线的方向向量垂直 和已知直线的法向量平行 例1 已知点a 1 2 直线l 4x 3y 9 0 求 1 过点a且与直线l平行的直线方程 2 过点a且与直线l垂直的直线方程 审题指导 思路一 先由直线的方程找到直线的方向向量 再设所求直线上一点p 1 利用求方程 2 利用求方程 思路二 先由直线的方程找到直线的法向量 再设所求直线上一点q 1 利用求方程 2 利用求方程 规范解答 方法一 直线l的斜率向量与直线l平行 1 设p是过a且与l平行的直线上的动点 p的坐标是 x y 则所求直线与l平行 当且仅当转化为坐标表示 即为整理得4x 3y 10 0 这就是所求的过a且与l平行的直线方程 2 设q x y 为直线l上一动点 则 x 1 y 2 点q在过a且垂直于l的直线上 当且仅当转化为坐标表示 即为整理得3x 4y 5 0 这就是所求的过a且与l垂直的直线方程 方法二 因为向量 4 3 与直线l垂直 所以是l的法向量 1 设p x y 为直线l上一动点 则 x 1 y 2 点p在与l平行的直线上 当且仅当转化为坐标表示 即为4 x 1 3 y 2 0 整理得4x 3y 10 0 这就是所求的过a且与l平行的直线方程 2 设q x y 为一动点 则 x 1 y 2 点q在与l垂直的直线上 当且仅当与共线 即转化为坐标表示即为4 y 2 3 x 1 0 整理 3x 4y 5 0 即为过a且与l垂直的直线方程 变式训练 求过点a 1 3 且垂直于直线x 2y 3 0的直线方程 用两种方法求解 解析 方法一 与已知直线平行的一个向量为 所求直线与已知直线垂直 设p x y 为所求直线上一动点 则即 2 x 1 y 3 0 化简得2x y 1 0 方法二 已知直线的一个法向量 1 2 则所求直线与平行 设p x y 为所求直线上一动点 则 x 1 y 3 即 x 1 2 y 3 1 0 化简得2x y 1 0 向量在平面几何中的应用用向量证明平面几何问题的方法 常见有两种思路 1 向量的线性运算法 2 向量的坐标运算法 通过向量的坐标表示 可以把几何问题的证明转化成代数式的运算 体现了向量的数与形的桥梁作用 例2 如图所示 abcd是菱形 ac bd是它的两条对角线 求证 ac bd 审题指导 对于线段的垂直 可以联想到两个向量垂直的充要条件 而对于这一条件的应用 可以考虑向量式的形式 也可以考虑坐标形式的充要条件 规范解答 方法一 abcd为菱形 ac bd为两对角线 即 方法二 以oc所在直线为x轴 以b为原点建立直角坐标系 如图所示 设a a b b 0 0 c c 0 则由 ab bc 得a2 b2 c2 即 变式训练 已知 abc三条高线ad be cf 求证 ad be cf交于一点 解题提示 三角形的三条高分别与对应边互相垂直 可以借此建立平面直角坐标系 然后运用向量的坐标运算解决问题 解析 如图 以bc所在直线为x轴 过点a垂直于bc的直线为y轴 建立平面直角坐标系 设a b c三点的坐标分别为a 0 a b b 0 c c 0 且be cf交于点h x y 则 解得x 0 所以点h在y轴上 即点h在ad上 ad be cf交于一点 向量在物理中的应用用向量解与物理相关的题目的思路首先应根据题目已知条件作出向量图 从图中观察合力与分力的关系 在向量的合成中 注意向量的模并不是两向量的模的简单相加 只有在两向量方向相同时才可以相加 求合力的大小 实际上是解三角形的问题 例3 如图 无弹性的细绳oa ob的一端分别固定在a b处 同质量的细绳oc下端系着一个称盘 且使得ob oc 试分析oa ob oc哪根绳受力最大 审题指导 要判断哪根绳受力最大 则需比较的大小 可借助物理的相关知识结合向量的运算解决 规范解答 设oa ob oc三根绳子所受力分别是则的合力为如图 在平行四边形ob c a 中 因为所以即所以细绳oa受力最大 变式训练 设炮弹以初速度和仰角 被抛出 空气阻力忽略不计 当初速度的大小一定时 发射角 多大时 炮弹飞行的距离最远 解题提示 上述问题中涉及速度等物理量 可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要 把分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量 再利用运动学知识建立数学模型 最后利用向量的知识求解 解析 将分解为水平方向和竖直方向两个分速度和 则由物理学知识可知 炮弹在水平方向飞行的距离 是飞行时间 炮弹在垂直方向的位移是 g是重力加速度 由 得代入 得由于一定 所以当 45 时 s有最大值 故发射角 45 时 炮弹飞行的距离最远 共线 点 问题证明共线 点 问题的策略解决此类问题的关键在于首先选取一组不共线的向量作为基底 通过向量的加 减 数乘以及向量平行的充要条件 把其他相关的向量用这一组基底表示出来 再利用向量相等建立方程 从而解出相关参数的值 例 如图 平行四边形abcd中 点e f分别是ad dc边的中点 be bf分别与ac交于r t两点 你能发现ar rt tc之间的关系吗 审题指导 由于r t是对角线ac上两点 所以要判断ar rt tc之间的关系 只需要分别判断ar rt tc与ac之间的关系即可 规范解答 设则 与共线 存在实数m 使得又 与共线 存在实数n 使得由得整理得 由于向量不共线 所以有解得所以同理于是所以ar rt tc 变式备选 已知p是 abc所在平面内一点 ap的中点为q bq的中点为r cr的中点为s 证明 只有唯一的一点p使得s与p重合 解题提示 要证满足条件的点是唯一的 只需证明向量可用一组基底唯一表示 解析 设则由题设知 即由于是确定的向量 所以是唯一的一个向量 即 abc所在平面内只有唯一的一点p使得s与p重合 典例 12分 如图 在rt abc中 已知bc a 若长为2a的线段pq以点a为中点 问与的夹角 取何值时的值最大 并求出这个最大值 审题指导 解答本题可采用两种思路 一是利用基向量法 把表示成参数a的函数 利用函数思想求解 二是坐标法 建立适当的坐标系 表示出相关点的坐标 利用数量积的定义求解 最后利用函数思想求最值 规范解答 方法一 10分故当cos 1 即 0 与方向相同 时 最大 其最大值为0 12分 方法二 以直角顶点a为坐标原点 两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系 2分 设ab c ac b 则a 0 0 b c 0 c 0 b 且pq 2a bc a 4分设点p的坐标为 x y 则q x y x2 y2 cx by 6分 cx by a2cos 10分故当cos 1 即 0 与方向相同 时 最大 其最大值为0 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 苏州高一检测 平面直角坐标系中 o为坐标原点 已知向量又点a 8 0 b n t c ksin t 1 若且求向量 2 若向量与向量共线 当k 4时 且tsin 取最大值4时 求 解析 1 由得n 8 2t 0又故 n 8 2 t2 5 64解得 24 8 或 8 8 2 ksin 8 t 由可知2ksin 16 t k 4 且sin 0 1 结合tsin 的图象可知 显然当sin 1时 tsin 取得最大值 此时有2k 16 4 解得k 10 代入 得t 4 c 10 4 1 过点 1 2 且方向向量为 3 5 的直线的方程为 a 3x 5y 7 0 b 5x 3y 1 0 c 3x 5y 1 0 d 5x 3y 7 0 解析 选b 在直线上任取一点p x y 由题意可知向量 x 1 y 2 3 5 化简得5x 3y 1 0 故选b 2 已知两个力的夹角为90 它们的合力大小为10n 合力与的夹角为60 那么的大小为 a 5n b 5n c 10n d 5n 解析 选a 的夹角为90 又 合力与的夹角为60 3 在 abc中 若则 abc的形状是 a c为钝角的三角形 b b为直角的直角三角形 c 锐角三角形