高考数学 第二章 第二节 函数的单调性与最值课件 理 新人教A版.ppt

第二节函数的单调性与最值 1 增函数 减函数一般地 设函数f x 的定义域为i 区间d i 如果对于任意x1 x2 d 且x1 x2 则有 1 f x 在区间d上是增函数 2 f x 在区间d上是减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调性 单调区间若函数y f x 在区间d上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 3 函数的最值 f x m f x m f x0 m f x0 m 最大 最小 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数的单调递减区间是 0 0 2 对于函数f x x d 若x1 x2 d且 x1 x2 f x1 f x2 0 则函数f x 在d上是增函数 3 函数y x 是r上的增函数 4 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 提示 1 错误 当x1 1 x2 1时 x1 x2 但f x1 f x2 因此 0 0 不是函数的单调递减区间 2 正确 x1 x2 f x1 f x2 0 或因此函数f x 是增函数 3 错误 函数y x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 4 错误 1 是单调递增区间的子集 答案 1 2 3 4 1 如果二次函数f x 3x2 2 a 1 x b在区间 1 上是减函数 则 a a 2 b a 2 c a 2 d a 2 解析 选c 二次函数的对称轴是由题意知解得a 2 2 函数f x 中 满足 对任意x1 x2 0 当x1 x2时 都有f x1 f x2 的是 a b f x x 1 2 c f x ex d f x ln x 1 解析 选a 由题意知要求函数f x 在 0 上是减函数 故选a 3 函数y 2k 1 x b在r上是减函数 则k的取值范围是 解析 由题意知2k 1 0 答案 4 f x x2 2x x 2 3 的单调递增区间为 f x max 解析 f x x 1 2 1 故f x 的单调递增区间为 1 3 f x max f 2 8 答案 1 3 8 考向1确定函数的单调性或单调区间 典例1 1 2013 南京模拟 函数f x log2 x2 4 的单调递减区间为 2 试讨论函数的单调性 其中a 0 思路点拨 1 根据复合函数的单调性求解 2 用定义法或导数法求解 规范解答 1 由x2 4 0得x 2或x 2 即函数f x 的定义域为 2 2 令t x2 4 因为y log2t在t 0 上为增函数 t x2 4在x 2 上是减函数 所以函数f x log2 x2 4 的单调递减区间为 2 答案 2 2 方法一 定义法 设x1 x2 1 1 且x1 x2 则f x1 f x2 1 x1 x2 1 x2 x1 0 1 x1x2 1 x1x2 1 0 因此当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为增函数 方法二 导数法 当a 0时 f x 0 当a 0时 f x 在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x 在 1 1 上为增函数 互动探究 若将本例题 1 中的函数改为试求函数f x 的单调递减区间 解析 函数f x 的定义域为 1 令t x 1 因为在t 0 上是减函数 t x 1在x 1 上为增函数 所以函数的单调递减区间为 1 拓展提升 1 函数单调性的四种判断方法 1 定义法 2 图象法 3 利用已知函数的单调性 4 导数法 2 复合函数单调性的判断方法复合函数y f g x 的单调性应根据外层函数y f t 和内层函数t g x 的单调性判断 遵循 同增异减 的原则 变式备选 用定义法判断函数在定义域上的单调性 解析 由x2 1 0得x 1或x 1 即函数的定义域为 1 1 设x1 x2 则 当x1 x2 1 时 x1 x2 0 则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故函数在 1 上是减函数 当则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故函数在 1 上是增函数 考向2求函数的值域或最值 典例2 1 2013 天津模拟 设函数则f x 的值域是 a 1 b 0 c d 2 2 用min a b c 表示a b c三个数中的最小值 设f x min 2x x 2 10 x x 0 则f x 的最大值为 思路点拨 1 明确自变量的取值范围 先求每一部分的函数值范围 再取并集求值域 2 明确f x 的意义 数形结合求f x 的最大值 规范解答 1 选d 解x g x x2 2得x2 x 2 0 则x 1或x 2 因此x g x x2 2的解为 1 x 2 于是当x 1或x 2时 当 1 x 2时 且f 1 f 2 0 由以上可得f x 的值域是故选d 2 由题意知函数f x 是三个函数y1 2x y2 x 2 y3 10 x中的较小者 作出三个函数在同一直角坐标系下的图象 如图实线部分为f x 的图象 可知a 4 6 为函数f x 图象的最高点 则f x max 6 答案 6 拓展提升 求函数最值的五个常用方法 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图象法 先作出函数的图象 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 4 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 5 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 提醒 在求函数的值域或最值时 应先确定函数的定义域 变式训练 1 函数在区间 a b 上的最大值是1 最小值是则a b 解析 易知f x 在 a b 上为减函数 答案 6 2 设f x x2 2ax 0 x 1 的最大值为m a 最小值为m a 试求m a 及m a 的表达式 解析 f x x2 2ax x a 2 a2 x 0 1 当a 0时 m a f 1 1 2a m a f 0 0 当时 m a f 1 1 2a m a f a a2 当时 m a f 0 0 m a f a a2 当a 1时 m a f 0 0 m a f 1 1 2a 综上知 考向3函数单调性的应用 典例3 1 已知函数f x 是定义在区间 0 上的函数 且在该区间上单调递增 则满足的x的取值范围是 2 2013 中山模拟 已知满足对任意x1 x2 都有成立 那么a的取值范围是 思路点拨 1 根据单调性列不等式组求解 注意定义域 2 寻找f x 是增函数满足的条件 列不等式组求解 规范解答 1 选d 由已知得 2 对任意x1 x2 都有成立 函数f x 是r上的增函数 答案 拓展提升 1 含 f 号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f g x f h x 的形式 然后根据函数的单调性去掉 f 号 转化为具体的不等式 组 此时要注意g x 与h x 的取值应在外层函数的定义域内 2 比较函数值大小的思路比较函数值的大小时 若自变量的值不在同一个单调区间内 要利用其函数性质 转化到同一个单调区间上进行比较 对于选择题 填空题能数形结合的尽量用图象法求解 变式训练 1 2013 日照模拟 已知是 上的减函数 那么a的取值范围是 a 0 1 b c d 解析 选c 由题意知即 2 已知函数y f x 满足 f x f 4 x x r 且在 2 上为增函数 则 a f 4 f 1 f 0 5 b f 1 f 0 5 f 4 c f 4 f 0 5 f 1 d f 0 5 f 4 f 1 解析 选c 函数y f x 满足 f x f 4 x x r 函数f x 的图象关于x 2对称 f 1 f 3 f 0 5 f 3 5 又 f x 在 2 上为增函数 f 4 f 3 5 f 3 即f 4 f 0 5 f 1 故选c 易错误区 忽略定义域致误 典例 2013 无锡模拟 已知函数则满足不等式f 1 x2 f 2x 的x的取值范围是 误区警示 本题易出现以下错误由f 1 x2 f 2x 得1 x2 2x 忽视了1 x2 0导致解答失误 规范解答 画出的图象 由图象可知 若f 1 x2 f 2x 则即得答案 思考点评 解决分段函数的单调性问题时 应高度关注以下几个方面 1 抓住对变量所在区间的讨论 2 保证各段上同增 减 时 要注意左 右段端点值间的大小关系 3 弄清最终结果取并还是交 1 2013 广州模拟 已知函数y f x 的图象关于x 1对称 且在 1 上单调递增 设b f 2 c f 3 则a b c的大小关系为 a c b a b b a c c b c a d a b c 解析 选b 由题意知f x f 2 x 则又f x 在 1 上单调递增 即b a c 2 2013 江门模拟 对a b r 记max a b 函数f x max x 1 x2 1 的最小值是 解析 由题意知函数f x 是两个函数y1 x 1 y2 x2 1中的较大者 作出两个函数在同一直角坐标系中的图象 则f x 的图象是图中的实线部分 由图象易知f x min 0 答案 0 3 2013 中山模拟 设函数的最小值为2 则实数a的取值范围是 解析 当x 1时 f x 2 当x 1时 f x a 1 由题意知 a 1 2 a 3 答案 3 4 2012 安徽高考 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 解析 作出函数f x 2x a 的图象 根据图象可得函数的单调递增区间为即a 6 答案 6 1 已知函数则 2 a 0 是 f x 在r上单调递增 的 a 必要而不充分条件 b 充分而不必要条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 当a 0时 是r上的增函数 当a 0时 要使函数f x 是增函数 则必须