（试题 试卷 真题）4.7中心对称图形 学案4

4.8中心对称图形学习指导1中心对称的意义把一个图形围绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称这两个图形的对应点叫作关于中心的对称点2中心对称的判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称3中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心4中心对称与中心对称图形的区别和联系区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形【重点难点解析】应注意重点掌握中心对称的如下性质：(1)定理1：关于中心对称的两个图形是全等形(即绕一点旋转能够重合)(2)定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分A重点、难点提示1经历观察、发现、探索中心对称图形的有关概念和基本性质的过程，积累一定的审美体验；（数学的审美能力是一种重要的数学能力，要逐步体验，培养）2了解中心对称图形及其基本性质；（这是重点，也是难点，要掌握好）3掌握平行四边形是中心对称图形B考点指要中心对称图形和中心对称在现实生活中有着重要的应用，是平面几何的重要内容之一很多问题从中心对称的角度去研究会有意想不到的收获在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心中心对称图形的基本性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点如果一个图形绕某个点旋转180，与另一个图形重合，那么我们就称这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为它们的对称中心中心对称图形和中心对称是两个不同的概念，它们之间既有联系，又有区别，还可以相互转化，容易将它们混淆对它们的理解，可以像轴对称图形和轴对称的关系一样来理解：中心对称图形是一个图形本身具有对称特性，中心对称是两个图形之间的对称关系中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心；关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等（这些性质，你会证明吗？）中心对称和轴对称对照：中心对称轴对称定义把一个图形绕某个点旋转180，如果能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫作对称中心把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴例子线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形典型例题例1：下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A菱形B矩形C等边三角形D圆解：本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握它们的区别菱形既是轴对称图形（它的两条对角所在直线是对称轴），又是中心对称图形（对角线交点是对称中心）；矩形既是轴对称图形（两对对边中点所在直线是对称轴），又是中心对称图形（对角线交点是对称中心），等边三角形是轴对称图形（有三条对称轴），但不是中心对称图形；圆既是轴对称图形（过圆心的任何一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）因此选C（掌握好常见图形的对称性）例2：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )A4个B3个C2个D1个解：关键是理解中心对称图形和轴对称图形的意义（注意（4）不是中心对称图形，旋转180后不能与原图形重合）选C例3：如图4-45，已知ABC和点P求作：ABC，使ABC与ABC关于点P对称思路分析关键是分别作出点A、B、C的对称点A、B、C作法：1连AP，并延长AP到点A，使PA=AP，A为点A的对称点；2用同样的方法作出点B的对称点B，点C的对称点C；3顺次连结AB、BC、CAABC就是所求的三角形，如图4-45所示例4：如图4-46，四边形ABCD关于点O成中心对称图形求证：四边形ABCD是平行四边形思路分析因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点和C点，B点和D点是对称点，则线段AC过点O，BD也过点O，且AC、BD都被点O平分，所以四边形ABCD是平行四边形证明：四边形ABCD关于点O成中心对称图形，AC、BD都过点O，且OA=OC，OB=OD，（中心对称的基本性质）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）例5：如图4-47，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC和BD关于点O成中心对称，且点B、D关于AC成轴对称求证：四边形ABCD是菱形证明：AC和BD关于点O成中心对称，OA=OC，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形又点B、D关于AC成轴对称，ACBD，（轴对称的基本性质）四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）点评：中心对称和轴对称是两种不同的对称方式，应掌握好它们的区别和联系【典型热点考题】例1 判断下列各图是否是中心对称图形?为什么?(1)平行四边形； (2)等边三角形； (3)线段点悟：判定一个图形是否是中心对称图形，一般找几个关键的点(顶点)看能否在这个图形上找到它们关于某点的对称点解：(1)平行四边形是中心对称图形，因为平行四边形对角线互相平分，所以相对的两个顶点都关于对角线交点对称(2)等边三角形不是中心对称图形，因为它没有对称中心(3)线段是中心对称图形，它关于它的中点对称点拨：中心对称与中心对称图形不是一个概念，中心对称是指两个图形间特殊的位置关系把其中一个图形绕对称点旋转180后，如果它与另外一个图形能够完全重合，这两个图形关于这点成中心对称而中心对称图形是对一个图形而言的，表明的是一个图形所具有的性质，把一个图形围绕着它的某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合，这个图形叫作中心对称图形例2 如图4-43，四边形ABCD关于O点成中心对称图形，求证：四边形ABCD是平行四边形点悟：因四边形ABCD是中心对称图形，所以A点和C点，B点和D点是对称点，则线段AC过O点，线段BD也过O点，且两线段都被O点平分，故四边形ABCD是平行四边形解：连接AC、BD， 四边形ABCD关于O点成中心对称图形 O点在AC和BD上，且OA=OC，OB=OD 四边形ABCD是平行四边形点拨：线段有两条对称轴，即线段的垂直平分线和线段所在的直线巩固练习一、选择题1下列图形中，是轴对称而不是中心对称的图形是 ( )(A)三角形 (B)等边三角形(C)线段 (D)平行四边形2下列命题正确的是 ( )(A)如果ABC和ABC关于中心对称，则ABCABC(B)如果ABCABC，则ABC与ABC关于中心对称(C)如果四边形ABCD与四边形ABC，关于轴对称，那么四边形ABCD与四边形ABCD关于中心对称(D)轴对称图形也是中心对称图形3若线段AB与线段CD关于点O中心对称，则AB和CD的关系是 ( )(A)AB=CD (B)ABCD(C)ABCD (D)不确定4在平行四边形、矩形、菱形、直角梯形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是 ( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)35下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A等边三角形B平行四边形C等腰梯形D菱形（注意平行四边形不是轴对称图形，同学们易犯错误）6在平面上一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是( )A180B90C270D3607下列几组图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是( )A正方形、菱形、矩形、平行四边形B正三角形、正方形、菱形、矩形C正方形、菱形、矩形D平行四边形、正方形、等腰三角形8下列命题正确的个数是( )两个全等三角形必关于某一点中心对称关于中心对称的两个三角形是全等三角形（注意比较命题、的真假）两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称 （没有说明被这一点平分）关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心A1B2C3D4二、填空题1一个正方形绕它的中心至少旋转_度才能和原来的图形重合2关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过_，并被_平分3已知A、B、O三点不共线，A、A关于O对称，B、B关于O对称，那么线段AB与AB的关系_4线段是轴对称图形，它的对称轴是_，线段也是中心对称图形，它的对称中心是_5关于某一点成中心对称的两个图形，它们的对称点的连线都经过_，并且被_平分6正方形是中心对称图形，对称中心是_，正方形也是轴对称图形，对称轴是_7已知A、B、O三点不在同一直线上，A、A关于点O对称，B、B关于点O对称，那么线段AB与AB的关系是_三、解答题1如图4-47，平行四边行ABCD中，AEDC，CFAD，M、N分别是AB、CD的中点求证：MN与EF互相平分2如图4-48，已知ABC和点P求作：ABC，使 ABC与ABC关于点P对称3如图4-49，在平行四边形ABCD中，AEBC，CFAD，M、N分别是AB、DC的中点求证：MN与EF互相平分参考答案一、1B； 2A； 3C； 4C；5D ； 6A； 7C； 8B；二190； 2对称中心，对称中心；3AB=AB。4垂直平分线，中点； 5对称中心，对称