等腰三角形性质：三线合一”专题

中小学个性化辅导专家 等腰三角形性质 三线合一等腰三角形性质 三线合一 专题专题 等腰三角形有一个重要的性质 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 这就是 著名的等腰三角形 三线台一 性质 三线合一 性质常用来证明两线垂直 两线段相等和两角相等 反之 如果三角形一边上的中线 这边上的高 这边所对角的角平分线中有两条重合 那么这个三角形就是等腰三角 形 例题讲解例题讲解 例 1 如图所示 在等腰 ABC 中 AD 是 BC 边上的中线 点 E 在 AD 上 求证 BE CE 变式练习 1 1 如图 在 ABC 中 AB AC D 是形外一点 且BD CD 求证 AD 垂直 平分 BC 变式练习 1 2 已知 如图所示 AD 是 ABC DE DF 分别是 ABD 和 ACD 的高 求证 AD 垂直平分 EF 例二 如图 ABC 中 AB AC A 36 BD 平分 ABC DE AB 于 E 若 CD 4 且 BDC 周长为 24 求 AE 的长度 A B B C E D 中小学个性化辅导专家 例三 等腰三角形顶角为 一腰上的高与底边所夹的角是 则与的关系式为 图 1 分析 如图 1 AB AC BD AC 于 D 作底边 BC 上的高 AE E 为垂足 则可知 EAC EAB 又 1 2 所以 EACCC 9090 EAC 1 2 例四 已知 如图 2 ABC 中 AB AC CE AE 于 E E 在 ABC 外 求证 ACE B CEBC 1 2 图 2 分析 欲证 ACE B 由于 AC AB 因此只需构造一个与 Rt ACE 全等的三角形 即做底边 BC 上的高即可 证明 作 AD BC 于 D AB AC BDBC 1 2 又 CEBC 1 2 BD CE 在 Rt ABD 和 Rt ACE 中 AB AC BD CE Rt ABD Rt ACE HL ACE B 中小学个性化辅导专家 例五 已知 如图 3 等边三角形 ABC 中 D 为 AC 边的中点 E 为 BC 延长线一点 CE CD DM BC 于 M 求证 M 是 BE 的中点 图 3 分析 欲证 M 是 BE 的中点 已知 DM BC 因此只需证 DB DE 即证 DBE E 根据等边 ABC BD 是中线 可知 DBC 30 因此只需证 E 30 证明 联结 BD ABC 是等边三角形 ABC ACB 60 CD CE CDE E 30 BD 是 AC 边上中线 BD 平分 ABC 即 DBC 30 DBE E DB DE 又 DM BE DM 是 BE 边上的中线 即 M 是 BE 的中点 巩固练习一 巩固练习一 1 已知的周长为 且 又 D 为垂足 的周长为 那么 AD 的ABC cm36ACAB BCAD ABD cm30 长为 A B C D cm6cm8cm12cm20 2 如图 2 在 ABC 中 AB AC BAD 30 AD AE 则 EDC 0 A 10 B 12 5 C 15 D 20 0000 3 如图 在 ABC 中 AB AC D 是 BC 的中点 DE AB 于 E DF AC 于 F 则图中全等三角形共有 A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 5 对 4 如图 在等腰直角 ABC 中 AD 为斜边上的高 以 D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于 E F 连结 EF 与 AD 相交于 G 则 AED 与 AGF 的关系为 A AED AGF B AED AGF C AED AGF D 不能确定 5 如图 在 ABC 中 AB AC BD 平分 ABC 且 BD BE A 84 则 DEC 6 如图 CE 平分 ACB 且 CE BD DA DB 又知 AC 18 CDB 的周长为 28 那么 BE 的长为 D A BC E F 第第 3 题图题图 A B D E C 第第 2 题图题图 第第 4 题图题图 C A B D E A D C B E A A A 第第 7 题图题图 B A E D FC 第第 5 题图题图 第第 6 题图题图 中小学个性化辅导专家 7 如图 在等腰 ABC 中 ABC 90 D 为 AC 边上中点 过 D 点作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 则 ABC 的面积为 8 如图 四边形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 相交于 E 点 若 AC 平分 DAB 且 AB AE AC AD 有如下四个结 论 AC BD BC DE DBC DAB 2 1 ABE 是等边三角形 请写出正确结论的序号 把你认为正确结论的序号都填上 9 已知 如图 2 ABC 中 AB AC CE AE 于 E E 在 ABC 外 求证 ACE B CEBC 1 2 10 如图 ABC 中 AB AC D 为 AC 上任意一点 延长 BA 到 E 使得 AE AD 连接 DE 求证 DE BC 11 已知 如图 中 是 上一点 分别为 上的点 且 为 的中点 求证 E D CB A 中小学个性化辅导专家 12 如图 以 ABC 的边 AB AC 为边分别向形外作正方形 ABDE 和 ACFG DM FN 分别垂直直线 BC 于 M N 若 DM FN 求证 ABC ACB 巩固练习二巩固练习二 1 等腰三角形一边等于 5 另一边等于 8 则周长是 2 在 ABC 中 已知 AB AC AD 是中线 B 70 BC 15cm 则 BAC DAC BD cm 3 在 ABC 中 BAC 90 AD BC 于 D AB 3 AC 4 则 AD 4 已知 ABC 中 A n 角平分线 BE CF 相交于 O 则 BOC 的度数应为 A 90 B 90 C 180 n B 180 n 2 1 n 2 1 n 2 1 5 下列两个三角形中 一定全等的是 A 有一个角是 40 腰相等的两个等腰三角形 B 两个等边三角形 C 有一个角是 100 底相等的两个等腰三角形 D 有一条边相等 有一个内角相等的两个等腰三角形 6 已知 如图 ABC 中 AB AC 小强想做 BAC 的平分线 但他没有量角器 只有刻度尺 他如何做出 BAC 的平分线 7 已知 如图 B D E C 在同一直线上 AB AC AD AE 求证 BD CE N M G F E D C B A A A C C B B D DE E 中小学个性化辅导专家 8 如图 Rt ABC 中 ABC 90 D 是 AB