南京市2012届高三年级第一次模拟考试数学试题.doc

南京市2012届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1.已知集合,若,则实数= .2.若,为虚数单位),则= .050607080901000.0150.025成绩第5题0.0303.若向量,且,则实数= .4.袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 .5.某校共有400名学生参加了一次数学竞赛,竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(成绩分组为).则在本次竞赛中,得分不低于80分以上的人数为 .Read aS0I1While I3 SSa aa2II1End WhilePrint S第7题6.在中,已知,则 .7.根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,最后输出的S的值为 .8.已知四边形为梯形, ,为空间一直线,则“垂直于两腰”是“垂直于两底”的 条件(填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中的一个).9.函数的单调减区间为 .10.已知是定义在上的奇函数, 则的值域为 .11.记等比数列的前项积为,已知,且,则 .12.若关于的方程有解,则实数的取值范围是 .13.设椭圆恒过定点,则椭圆的中心到准线的距离的最小值为_.14.设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15(本小题满分14分)已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.16(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,四边形是菱形,为的中点.CABDPE第16题 (1)求证:面；(2)求证:平面平面. 17(本小题满分14分)第17题ADCBOxy 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为. (1)试分别求出函数、的表达式； (2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少? 18(本小题满分16分) 如图,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的右顶点, 点,点在椭圆上, . (1)求直线的方程； (2)求直线被过三点的圆截得的弦长；yADPBx0第18题(3)是否存在分别以为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程；若不存在,请说明理由. 19(本小题满分16分) 对于函数,若存在实数对(),使得等式对定义域中的每一个都成立,则称函数是“()型函数”.(1)判断函数是否为“()型函数”，并说明理由；(2)已知函数是“(1,4)型函数”, 当时,都有成立,且当时,若,试求的取值范围.20(本小题满分16分) 已知数列满足,.(1)求数列的通项公式；(2)若对每一个正整数,若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为. 求的值及对应的数列记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立?若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由南京市2012届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. A.（选修41：几何证明选讲）ABCPOED如图，的半径垂直于直径，为上一点，的延长线交于点，过 点的圆的切线交的延长线于.求证：.B（选修42：矩阵与变换）已知矩阵，若矩阵对应的变换把直线：变为直线，求直线的方程.C（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.D.（选修45：不等式选讲）已知均为正数，求证：.必做题 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22（本小题满分10分） 如图所示,在棱长为2的正方体中,点分别在棱上,满足,且.ADBCPA1B1C1QD1第22题(1)试确定、两点的位置.(2)求二面角大小的余弦值.23（本小题满分10分）已知整数4,集合的所有3个元素的子集记为.(1)当时,求集合中所有元素之和.(2)设为中的最小元素,设=,试求. 南京市2012届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.3 2. 2 3. 4 4. 5.120 6. 7.21 8.充分不必要 9.(或闭区间) 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解: (1)因为4分 6分故的最小正周期为8分(2)当时,10分 故所求的值域为14分16（1）证明:设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以4分 而,所以面7分 (2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以10分而面,面,所以面13分又面,所以面面14分17解:(1)对于曲线,因为曲线的解析式为,所以点D的坐标为2分所以点到的距离为,而,则4分对于曲线,因为抛物线的方程为,即,所以点D的坐标为2分所以点到的距离为,而,所以7分 (2)因为,所以在上单调递减,所以当时,取得最大值为9分又,而,所以当时,取得最大值为11分 因为,所以, 故选用曲线,当时,点到边的距离最大,最大值为分米14分18解: (1)因为,且A(3,0),所以=2,而B,P关于y轴对称,所以点P的横坐标为1,从而得3分 所以直线BD的方程为5分(2)线段BP的垂直平分线方程为x=0,线段AP的垂直平分线方程为,所以圆C的圆心为(0,1),且圆C的半径为8分又圆心(0,1)到直线BD的距离为,所以直线被圆截得的弦长为 10分(3)假设存在这样的两个圆M与圆N,其中PB是圆M的弦,PA是圆N的弦,则点M一定在y轴上,点N一定在线段PC的垂直平分线上,当圆和圆是两个相外切的等圆时,一定有P,M,N在一条直线上,且PM=PN12分设,则,根据在直线上,解得14分所以,故存在这样的两个圆,且方程分别为,16分19解: (1)函数是“()型函数”2分因为由,得,所以存在这样的实数对,如6分 (2) 由题意得,所以当时, ,其中,而时,且其对称轴方程为, 当,即时,在上的值域为,即,则在上的值域为,由题意得,此时无解11分当,即时,的值域为,即,所以则在 上的值域为,则由题意得且,解得13分 当,即时,的值域为,即,则在上的值域为=,则,解得.综上所述,所求的取值范围是16分20解:()因为,所以时, ,两式相减,得,故数列从第二项起是公比为的等比数列3分 又当n=1时,解得,从而5分(2)由(1)得,1若为等差中项,则,即或,解得6分此时,所以8分2若为等差中项,则,即,此时无解9分3若为等差中项,则,即或,解得,此时,所以11分综上所述, 或,12分 1当时,则由,得,当时, ,所以必定有,所以不存在这样的最大正整数14分2当时,则由,得,因为,所以满足恒成立；但当时,存在,使得即,所以此时满足题意的最大正整数16分数学附加题部分21A. 证明：连结OE，因为PE切O于点E，所以OEP=900，所以OEB+BEP=900，因为OB=OE，所以OBE=OEB，因为OBAC于点O，所以OBE+BDO=9005分故BEP=BDO=PDE，PD=PE，又因为PE切O于点E，所以PE2=PAPC，故PD2=PAPC10分B. 易得3分, 在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，即8分代入中得,直线的方程为10分 C. 解：的方程化为，两边同乘以，得由,得5分其圆心坐标为，半径,又直线的普通方程为,圆心到直线的距离,弦长10分D. 证明:由柯西不等式得5分 则,即10分22. 解:(1)以为正交基底建立空间直角坐标系,设,则,，解