第二章 第五节VIP

第五节二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0)减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象与性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()(5)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()解析：选C令f(x)x，则42，f(x)x，则f(x)的图象如选项C中所示3函数f(x)(m2m1)xm是幂函数，且在x(0，)上为增函数，则实数m的值是()A1 B2C3D1或2解析：选Bf(x)(m2m1)xm是幂函数，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在x(0，)上是增函数，所以m2.4已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B. C. D.解析：选C由题意知即解得a.5已知函数f(x)x22ax3，若yf(x)在区间4,6上是单调函数，则实数a的取值范围为_解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.答案：(，64，)6已知f(x)ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则yf(x)的值域为_解析：因为f(x)ax2bx3ab是偶函数，所以其定义域a1,2a关于原点对称，所以a12a，所以a，因为f(x)ax2bx3ab是偶函数，即f(x)f(x)，所以b0，所以f(x)x21，x，其值域为.答案：考什么怎么考高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难度不大，一般以选择题、填空题的形式呈现，其中幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围，结合指数、对数比较大小等问题较常见1已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)f(1)()A3B1C.1 D1解析：选C设幂函数f(x)x，则f(9)93，即，所以f(x)x，所以f(2)f(1)1，故选C.2当x(0，)时，幂函数y(m2m1)x5m3为减函数，则实数m的值为()A2 B1C1或2 Dm解析：选B因为函数y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，)上的减函数，所以解得m1.3已知a3，b4，c12，则a，b，c的大小关系为()Abac BabcCcba Dcabc，故选C.4若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象限的部分“上升”；1时曲线下凹，01时曲线上凸，0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0时，要使函数ykx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2.当k0时，0)在区间A上单调递减(单调递增)，则AA，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)角度(三)二次函数的最值问题3(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关解析：选Bf(x)2b，当01时，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb,1ab，Mmmax与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0,1上单调递减，Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关题型技法求二次函数在给定区间上最值的方法二次函数f(x)ax2bxc(不妨设a0)在区间m，n上的最大或最小值如下：(1)当m，n，即对称轴在所给区间内时：f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f；若，f(x)的最大值为f(n)；若，f(x)的最大值为f(m)(2)当m，n，即给定的区间在对称轴的一侧时：f(x)在m，n上是单调函数若m，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n，f(x)在m，n上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)(3)当不能确定对称轴是否属于区间m，n时：则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值角度(四)与二次函数有关的恒成立问题4(2018武邑调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x3，若不等式 f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A(， ) B(，0)C(，0)(，) D(， )(，)学审题可推出f(x)x3(xR)，进而推出f(x)在R上为增函数；利用函数单调性可脱掉法则“f”，从而转化为关于t的二次函数恒成立问题解析：选A当xf(2mmt2)对任意实数t恒成立，知4t2mmt2对任意实数t恒成立，即mt24t2m0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是()A1,2B(0,1C(0,2 D1，)解析：选A作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1m2时，函数f(x)x22x4在区间0，m(m0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.2已知函数f(x)ax22x2，若对一切x，f(x)0都成立，则实数a的取值范围为()A. B.C4，) D(4，)解析：选B由题意得，对一切x，f(x)0都成立，即a22，而22，则实数a的取值范围为.(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数解析：选D设幂函数的解析式为yx，将(3，)代入解析式得3，解得，yx，其是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数2已知幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m()A1 B2 C1或2D3解析：选A函数f(x)为幂函数，m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数f(x)x2为偶函数，满足条件当m2时，幂函数f(x)x3为奇函数，不满足条件故选A.3函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3 B13C7 D5解析：选B函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为x，由函数f(x)的增减区间可知2，所以m8，即f(x)2x28x3，所以f(1)28313.4(2018安阳模拟)下列选项正确的是()A0.20.20.30.2 B23C0.80.11.250.2 D1.70.30.93.1解析：选DA中，函数yx0.2在(0，)上为增函数，0.20.3，0.20.20.30.2，故A不正确；B中，函数yx在(0，)上为减函数，23，故B不正确；C中，0.811.25，y1.25x在R上是增函数，0.10.2，1.250.11.250.2，即0.80.11.250.2，故C不正确；D中，1.70.31,0.93.11，1.70.30.93.1，故选D.5已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选A.6若函数f(x)(1x2)(x2ax5)的图象关于直线x0对称，则f(x)的最大值是()A4 B4C4或4 D不存在解析：选B依题意，函数f(x)是偶函数，则yx2ax5是偶函数，故a0，f(x)(1x2)(x25)x46x25(x23)24，当x23时，f(x)取得最大值4.7若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析：f(x)bx2(ab2a)x2a2.由已知条件ab2a0，又f(x)的值域为(，4，则因此f(x)2x24.答案：2x248已知二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_解析：设f(x)a249(a0)，方程a2490的两个实根分别为x1，x2，则|x1x2|2 7，所以a4，所以f(x)4x212x40.答案：f(x)4x212x409当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，可知h(x)g(x)f(x)答案：h(x)g(x)f(x)10如果存在实数x，使得关于x的不等式ax24xa30成立，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，原不等式变为4x30，解得x，显然成立当a0时，需(4)24a(a3)0，即a23a40，解得0a4，当a0时，显然成立，综上可知，实数a的取值范围是(，4)答案：(，4)B级中档题目练通抓牢1若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0,4 B.C. D.解析：选D二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，结合函数图象(如图所示)可得m.2.如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A BC D解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确对称轴为x1，即1,2ab0，错误结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确3已知函数f(x)ax2bxc，且abc，abc0，则()Ax(0,1)，都有f(x)0Bx(0,1)，都有f(x)0Cx0(0,1)，都有f(x0)0Dx0(0,1)，都有f(x0)0解析：选B由abc，abc0，可知a0，c0.抛物线开口方向向上，因为f(0)c0，f(1)abc0，即1是方程ax2bxc0的一个根，所以x(0,1)，都有f(x)0.故选B.4(2017山西一模)已知函数f(x)x2m是定义在区间 3m，m2m上的奇函数，则f(m)_.解析：由题意得m2m3m，即m22m30，m3或m1.当m3时，f(x)x1，3m，m2m为6,6，f(x)在x0处无意义，故舍去当m1时，f(x)x3，3m，m2m为2,2，满足题意，f(m)f(1)(1)31.答案：15已知f(x)x22(a2)x4，如果对x3,1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为_解析：因为f(x)x22(a2)x4，对称轴为x(a2)，对x3,1，f(x)0恒成立，所以或或解得a或1a4或a1，所以实数a的取值范围为.答案：6已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解：(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴为x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.7已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a0时，a1，b0，当a0时，a1，b3.(2)b1，a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上单调，2或4.m2或m6.故m的取值范围为(，26，)C级重难题目自主选做1(2018合肥质检)函数f(x)x23xa，g(x)2xx2，若f(g(x)0对x0,1恒成立，则实数a的取值范围是()Ae，) Bln 2，)C2，) D.解析：选C如图所示，在同一坐标系中画出yx21，y2x，yx2的图象，由图象可知，在0,1上，x212xx2恒成立，即12xx2，当且仅当x0或x1时等号成立，1g(x)，f(g(x)0f(1)013a0a2，即实数a的取值范围是2，)，故选C.2设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_解析：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2,3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图象有两个交点答案：(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1幂函数yf(x)经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是减函数D非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数解析：选D设幂函数的解析式为yx，将(3，)代入解析式得3，解得，yx，其是非奇非偶函数，且在(0，)上是增函数2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)是增函数，当x(，2时，f(x)是减函数，则f(1)的值为()A3B13C7 D5解析：选B函数f(x)2x2mx3图象的对称轴为x，由函数f(x)的增减区间可知2，所以m8，即f(x)2x28x3，所以f(1)28313.3.如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()ABC D解析：选B因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确对称轴为x1，即1,2ab0，错误结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确4.已知点(m,8)在幂函数f(x)(m1)xn的图象上，设af，bf(ln )，cf，则a，b，c的大小关系为()Acab BabcCbca Dbac解析：选A根据题意，m11，m2，2n8，n3，f(x)x3.f(x)x3是定义在R上的增函数，又001ln ，ca0时，f(x)x|x|c在R上单调递增，故方程f(x)0只有一个实根，正确由可知c0时，f(x)的图象关于原点对称，f(x)x|x|bxc的图象由yx|x|bx的图象向上平移c个单位得到的，故关于点(0，c)对称，正确；当b1，c0时，f(x)x|x|xx(|x|1)0，则x0或x1，错误，故选C.法二：当c0时，f(x)x|x|b(x)x|x|bxf(x)，故f(x)是奇函数，正确，排除D；当b0，c0时，令f(x)x|x|c0，则当x0时，x2c0无解，当x0时，f(x)x2c0，x只有一个实数根，正确，排除A、B，选C.6.当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是_解析：分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，可知h(x)g(x)f(x)答案：h(x)g(x)f(x)7.(2017山西一模)已知函数f(x)x2m是定义在区间 3m，m2m上的奇函数，则f(m)_.解析：由题意得m2m3m，即m22m30，m3或m1.当m3时，f(x)x1，3m，m2m为6,6，f(x)在x0处无意义，故舍去当m1时，f(x)x3，3m，m2m为2,2，满足题意，f(m)f(1)(1)31.答案：18.已知二次函数yx22kx32k，则顶点位置最高时函数的解析式为_解析：由题意可知yx22kx32k(xk)2k22k3，所以该函数的顶点坐标为(k，k22k3)设顶点的纵坐标为yk22k3(k1)24，所以当k1时，顶点位置最高，此时函数的解析式为yx22x5.答案：yx22x59.已知函数f(x)x22ax2，x5,5(1)当a1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间5,5上是单调函数解：(1)当a1时，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，所以当x1时，f(x)取得最小值1；当x5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)(xa)22a2的图象的对称轴为直线xa，因为yf(x)在区间5,5上是单调函数，所以a5或a5，即a5或a5.故实数a的取值范围是(，55，)10已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求实数a的值解：(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴为x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.B级拔