直线与方程知识点总结与题型

1 第三章 直线与方程的知识点第三章 直线与方程的知识点 姓名 班别 学号 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 1 当直线 l 与 x 轴相交时 我们把 x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜 角 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 我们规定它的倾斜角为 0 则直线 l 的倾斜角的范围是 0 2 倾斜角不是 90 的直线的斜率 等于直线的倾斜角的正切值 即 如果知道直线上两tank 点 则有斜率公式 特别地是 当 时 直线与 x 轴垂直 1122 P x yP xy 21 21 yy k xx 12 xx 12 yy 斜率 k 不存在 当 时 直线与 y 轴垂直 斜率 k 0 12 xx 12 yy 注意 注意 直线的倾斜角 90 时 斜率不存在 即直线与 y 轴平行或者重合 当 90 时 斜率 k 0 当时 斜率 随着 的增大 斜率 k 也增大 当时 斜率 090 0k 90180 0k 随着 的增大 斜率 k 也增大 这样 可以求解倾斜角 的范围与斜率 k 取值范围的一些对应问题 两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 1 对于两条不重合的直线 其斜率分别为 有 1 l 2 l 1 k 2 k 1 2 12 ll 12 kk 12 ll 12 1kk 2 特例 特例 两条直线中一条斜率不存在时 另一条斜率也不存在时 则它们平行 都垂直于 x 轴 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 k 其方程为 l 000 P xy 00 yyk xx 2 斜截式 直线 的斜率为 k 在 y 轴上截距为 b 其方程为 lykxb 3 点斜式和斜截式不能表示垂直 x 轴直线 若直线 过点且与 x 轴垂直 此时它的倾斜角l 000 P xy 为 90 斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 这时的直线方程为 或 0 0 xx 0 xx 4 注意 注意 与是不同的方程 前者表示的直线上缺少一点 后者 0 0 yy k xx 00 yyk xx 000 P xy 才是整条直线 直线的两点式方程直线的两点式方程 1 两点式 直线 经过两点 其方程为 l 111222 P x yP xy 11 2121 yyxx yyxx 2 截距式 直线 在 x y 轴上的截距分别为 a b 其方程为 l1 xy ab 3 两点式不能表示垂直 x y 轴直线 截距式不能表示垂直 x y 轴及过原点的直线 4 线段中点坐标公式 12 PP 1212 22 xxyy 直线的一般式方程直线的一般式方程 1 一般式 注意 A B 不同时为 0 直线一般式方程化为斜0AxByC 0 0 AxByCB 截式方程 表示斜率为 y 轴上截距为的直线 AC yx BB A B C B 2 与直线平行的直线 可设所求方程为 与直线 0l AxByC 1 0AxByC 垂直的直线 可设所求方程为 0AxByC 1 0BxAyC 3 已知直线的方程分别是 不同时为 0 12 l l 1111 0lA xB yC 11 A B 2222 0lA xB yC 不同时为 0 则两条直线的位置关系可以如下判别 22 A B 1 2 121212 0llA AB B 1212211221 0 0llABA BACA B 3 与重合 4 与相交 1 l 2 l 12211221 0 0ABA BACA B 1 l 2 l 1221 0ABA B 如果时 则 与重合 与相交 222 0A B C 111 12 222 ABC ll ABC 1 l 2 l 111 222 ABC ABC 1 l 2 l 11 22 AB AB 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 1 一般地 将两条直线的方程联立 得到二元一次方程组 若方程组 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 有惟一解 则两条直线相交 此解就是交点的坐标 若方程组无解 则两条直线无公共 点 此时两条直线平行 若方程组有无数解 则两条直线有无数个公共点 此时两条直 线重合 2 方程为直线系 所有的直线恒过一个定点 其定点 111222 0A xB yCA xB yC 就是与的交点 111 0A xB yC 222 0A xB yC 两点间的距离两点间的距离 1 平面内两点 则两点间的距离为 111 P x y 222 P xy 22 121212 PPxxyy 特别地 当所在直线与 x 轴平行时 当所在直线与 y 轴平行 12 P P 1212 PPxx 12 P P 时 1212 PPyy 点到直线的距离及两平行线距离点到直线的距离及两平行线距离 1 点到直线的距离公式为 00 P xy 0lAxByC 00 22 AxByC d AB 2 利用点到直线的距离公式 可以推导出两条平行直线 11 0lAxByC 之间的距离公式 推导过程为 在直线上任取一点 22 0lAxByC 12 22 CC d AB 2 l 则 即 这时点到直线 00 P xy 002 0AxByC 002 AxByC 00 P xy 的距离为 11 0lAxByC 00112 2222 AxByCCC d ABAB 2 一 选择题 1 安徽高考 过点 1 0 且与直线 x 2y 0 平行的直线方程是 A x 2y 1 0 B x 2y 1 0 C 2x y 2 0 D x 2y 1 0 2 过点 1 3 P 且垂直于直线032 yx 的直线方程为 A 012 yx B 052 yx C 052 yx D 072 yx 3 已知过点 2 Am 和 4 B m的直线与直线012 yx平行 则m的值为 A 0 B 8 C 2 D 10 4 安徽高考 直线过点 1 2 且与直线 2x 3y 4 0 垂直 则直线的方程是 A 3x 2y 1 0 B 3x 2y 7 0 C 2x 3y 5 0 D 2x 3y 8 0 5 设直线 ax by c 0 的倾斜角为 切则 a b 满足 sincos0 A a b 1 B a b 1 C a b 0 D a b 0 6 如果直线 ax 2y 2 0 与直线 3x y 2 0 平行 则系数 a A 3 B 6 C D 2 3 3 2 7 点 P 1 2 到直线 8x 6y 15 0 的距离为 A 2 B C 1 D 2 1 2 7 8 直线 mx y 2m 1 0 经过一定点 则该点的坐标是 A 2 1 B 2 1 C 1 2 D 1 2 9 上海文 15 已知直线 12 3 4 10 2 3 230 lkxk ylkxy 与平行 则 k得值是 A 1 或 3 B 1 或 5 C 3 或 5 D 1 或 2 10 若图中的直线 L1 L2 L3的斜率分别为 K1 K2 K3则 A K1 K2 K3 B K2 K1 K3 C K3 K2 K1 D K1 K3 K2 12 与直线 2x 3y 6 0 关于点 1 1 对称的直线是 A 3x 2y 6 0 B 2x 3y 7 0 C 3x 2y 12 0 D 2x 3y 8 0 13 若直线 ax by c 0 在第一 二 三象限 则 A ab 0 bc 0 B ab 0 bc 0 C ab 0 bc 0 D ab 0 bc 0 14 2005 北京文 m 2 1 是 直线 m 2 x 3my 1 0 与直线 m 2 x m 2 y 3 0 相互垂直 的 A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 15 如果直线 l 经过两直线 2x 3y 1 0 和 3x y 2 0 的交点 且与直线y x垂直 则原点到直线 l 的距离是 A 2 B 1 C 222 16 原点关于x 2y 1 0 的对称点的坐标为 A B 5 2 5 4 5 4 5 2 C D 5 2 5 4 5 4 5 2 二 填空题 1 点 1 1 P 到直线10 xy 的距离是 2 已知 A 4 6 B 3 1 C 5 a 三点共线 则 a 的值为 3 经过两直线 11x 3y 7 0 和 12x y 19 0 的交点 且与 A 3 2 B 1 6 等距离的直线的方程是 4 全国 文 16 若直线m被两平行线 12 10 30lxylxy 与所截得的线段的长为 22 则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 写出所有正确答案的序号 三 解答题L1 L2 x o L3 3 1 已知两条直线 为何值时 12 12 2416lxm ym lmxy m 12 ll与 1 相交 2 平行 3 垂直 2 求经过直线0323 0532 21 yxlyxl的交点且平行于直线032 yx的直 线方程 3 求平行于直线且与它的距离为的直线方程 20 xy 2 2 4 已知直线 l1 mx 8y n 0 与 l2 2x my 1 0 互相平行 求 l1 l2之间的距离为时的5 直线 l1的方程 5 已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A 1 5 B 2 1 C 4 3 M 是 BC 边上的中点 1 求 AB 边所在的直线方程 2 求中线 AM 的长 3 求 AB 边的高所在直线方程 6 求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形 并且两截距之差为 3 的直线的方程 一 选择题 1 设直线的倾斜角为 且 则满足 0axbyc sincos0 a b A B C D 1 ba1 ba0 ba0 ba 2 过点且垂直于直线 的直线方程为 1 3 P 032 yx A B C D 012 yx052 yx052 yx072 yx 3 已知过点和的直线与直线平行 则的值为 2 Am 4 B m012 yxm A B C D 08 210 4 已知 则直线通过 0 0abbc axbyc A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限D 第二 三 四象限 5 直线的倾斜角和斜率分别是 1x A B C 不存在 D 不存 0 45 1 0 135 1 0 90 0 180 在 6 若方程表示一条直线 则实数满足 014 32 22 mymmxmmm A B C D 0 m 2 3 m1 m1 m 2 3 m0 m 二 填空题 1 点 到直线的距离是 1 1 P 10 xy 2 已知直线若与关于轴对称 则的方程为 若与关于 32 1 xyl 2 l 1 ly 2 l 3 l 1 l 轴对称 则的方程为 若与关于对称 则的方程为 x 3 l 4 l 1 lxy 4 l 3 若原点在直线 上的射影为 则 的方程为 l 1 2 l 4 点在直线上 则的最小值是 P x y40 xy 22 xy 5 直线 过原点且平分的面积 若平行四边形的两个顶点为 则直线lABCDA 1 4 5 0 BD 的方程为 l 三 解答题 1 已知直线 1 系数为什么值时 方程表示通过原点的直线 2 系数满AxByC 0 4 足什么关系时与坐标轴都相交 3 系数满足什么条件时只与 x 轴相交 4 系数满足什么条件 时是 x 轴 5 设为直线上一点 证明 这条直线的方程可以写 P xy 00 AxByC 0 成 A xxB yy 00 0 2 求经过直线的交点且平行于直线的直0323 0532 21 yxlyxl032 yx 线方程 3 经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条 请求出这些直线的方 1 2 A 程 4 过点作一直线 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 4 A l5 一 选择题 1 D 2 A 设又tan1 1 1 0 a kab ab b 20 xyc 过点 则 即3 B 4 C 1 3 P 230 1cc 210 xy 4 2 8 2 m km m 5 C 垂直于轴 倾斜角为 而斜率不存在 0 0 acac yxk bbbb 1x x 0 90 6 C 不能同时为 22 23 mmmm 0 二 填空题 1 2 3 2 2 1 1 13 2 22 d 234 23 23 23 lyxlyxlxy 3 250 xy 1 01 2 1 2 2 202 kkyx 4 可看成原点到直线上的点的距离的平方 垂直时最短 8 22 xy 4 2 2 2 d 5 平分平行四边形的面积 则直线过的中点 2 3 yx ABCDBD 3 2 三 解答题 1 解 1 把原点代入 得 2 此时斜率存在且不为零 0 0 AxByC 00C 即且 3 此时斜率不存在 且不与轴重合 即且 4 0A 0B y0B 0C 且0 AC 0B 5 证明 在直线上 00 P xy AxByC 0 0000 0 AxByCCAxBy 00 0A xxB yy 2 解 由 得 再设 则 2350 3230 xy xy 19 13 9 13 x y 20 xyc 47 13 c