高考数学 第四章 第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件 理 新人教A版.ppt

第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算 1 平面向量基本定理 1 基底 平面内 的向量e1 e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底 2 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这个平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 不共线 1e1 2e2 2 平面向量的坐标表示 1 向量的夹角 定义 如图 已知两个 a和b 作 a b 则向量a与b的夹角是 或 aob 范围 向量a与b的夹角的范围是 非零向量 0 180 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 当 90 时 a与b 2 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相 的向量 叫做把向量正交分解 同向 反向 垂直 垂直 3 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与x轴 y轴方向相同的两个单位向量i j作为基底 由平面向量基本定理知 该平面内的任一向量a可表示成a xi yj 由于a与数对 x y 是一一对应的 把有序数对 x y 叫做向量a的坐标 记作a 其中a在x轴上的坐标是x a在y轴上的坐标是y x y 3 平面向量的坐标运算 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x y x2 x1 y2 y1 4 平面向量共线的坐标表示设a x1 y1 b x2 y2 其中b 0 则a b共线 a b x1y2 x2y1 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 2 在 abc中 向量的夹角为 abc 3 若a b不共线 且 1a 1b 2a 2b 则 1 2 1 2 4 平面向量的基底不唯一 只要基底确定后 平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示 5 若a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件可表示成 解析 1 错误 只有不共线的两个向量才能作为平面的一组基底 2 错误 由向量夹角的定义知在 abc中 向量的夹角为 abc的补角 3 正确 由 1a 1b 2a 2b 得 1 2 a 1 2 b 0 又a b不共线 故 1 2 1 2 0 从而 1 2 1 2 4 正确 由基底的定义及平面向量基本定理知正确 5 错误 因为x2 y2有可能等于0 所以应表示为x1y2 x2y1 0 答案 1 2 3 4 5 1 若向量a 1 1 b 1 1 c 4 2 则c a 3a b b 3a b c a 3b d a 3b 解析 选b 设c xa yb 则 c 3a b 2 在正方形abcd中 的夹角是 a 90 b 45 c 135 d 0 解析 选c 由于 abd 45 而的夹角是 abd的补角 因此的夹角为135 3 设向量a 1 3 b 2 4 若表示向量4a 3b 2a c的有向线段首尾相接能构成三角形 则向量c a 4 6 b 4 6 c 4 6 d 4 6 解析 选c 设c x y 则4a 3b 2a c 0 4 若a 0 1 b 1 2 c 3 4 则 解析 由题意知 1 1 2 2 故 1 1 2 2 2 3 3 答案 3 3 5 已知向量a 2 1 b 1 m c 1 2 若 a b c 则m 解析 a b 1 m 1 a b c 2 1 m 1 0 m 1 答案 1 考向1平面向量基本定理及其应用 典例1 1 下列各组向量 e1 1 2 e2 5 7 e1 3 5 e2 6 10 e1 2 3 e2 能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是 a b c d 2 2013 天津模拟 如图 在 abc中 de bc交ac于e bc边上的中线am交de于n 设 a b 用a b表示向量 思路点拨 规范解答 1 选a 中的两向量不共线 中e1 e2 故两向量共线 中e2 e1 故两向量共线 综上 只有 中的两向量可作为平面的一组基底 2 de bc b a 由 ade abc 得 又am是 abc的中线 de bc 又 adn abm 互动探究 在本例题 2 图中 连结cd交am于点p 若 求 的值 解析 又 b 解得 拓展提升 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 1 先选择一组基底 并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式 再通过向量的运算来解决 2 在基底未给出的情况下 合理地选取基底会给解题带来方便 另外 要熟练运用平面几何的一些性质定理 变式备选 如图所示 e f分别是四边形abcd的对角线ac bd的中点 已知 a b c d 求向量 解析 方法一 连结af a b a b 又 b c 方法二 d a a b 可得 考向2平面向量的基本运算 典例2 1 2013 广州模拟 在 abc中 点p在bc上 且 点q是ac的中点 若 4 3 1 5 则等于 a 2 7 b 6 21 c 2 7 d 6 21 2 已知点a 2 1 b 0 2 c 2 1 o 0 0 给出下面的结论 直线oc与直线ba平行 其中正确结论的个数是 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 3 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 且 则向量 思路点拨 1 利用三角形中线性质求再根据与的关系求 2 根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可 3 利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解 规范解答 1 选b 2 10 4 3 2 7 6 21 2 选c 由题意得 2 1 2 1 故 又无公共点 故oc ba 正确 故 错误 故 正确 4 0 4 0 故 正确 所以选c 3 a 2 4 b 3 1 c 3 4 1 8 6 3 3 1 8 3 24 2 6 3 12 6 12 6 3 24 9 18 答案 9 18 拓展提升 两向量相等的充要条件及其应用两向量a x1 y1 b x2 y2 相等的充要条件是它们的对应坐标分别相等 即利用向量相等可列出方程组求其中的未知量 从而解决求字母的取值 点的坐标及向量的坐标等问题 提醒 当向量的起点为坐标原点时 向量的坐标即为终点坐标 反之也成立 变式训练 已知a 2 4 b 3 1 c 3 4 o为坐标原点 设 a b c 且 3c 2b 1 求3a b 3c 2 求满足a mb nc的实数m n 解析 由已知得a 5 5 b 6 3 c 1 8 1 3a b 3c 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 6 42 2 mb nc 6m n 3m 8n 5 5 解得 考向3平面向量共线的坐标表示 典例3 1 已知向量a 1 sin 1 b 1 sin 若a b 则锐角 等于 a 30 b 45 c 60 d 75 2 已知a 1 0 b 2 1 当k为何值时 ka b与a 2b共线 若 2a 3b a mb且a b c三点共线 求m的值 思路点拨 规范解答 1 选b 由a b得 1 sin 1 sin 1 0 解得sin 又 为锐角 所以 45 2 ka b k 1 0 2 1 k 2 1 a 2b 1 0 2 2 1 5 2 ka b与a 2b共线 2 k 2 1 5 0 即2k 4 5 0 得k 方法一 a b c三点共线 即2a 3b a mb 解得m 方法二 2a 3b 2 1 0 3 2 1 8 3 a mb 1 0 m 2 1 2m 1 m a b c三点共线 8m 3 2m 1 0 即2m 3 0 m 拓展提升 1 向量共线的两种表示形式 a b a b b 0 a b x1y2 x2y1 0 至于使用哪种形式 应视题目的具体条件而定 一般情况涉及坐标的用 2 两向量共线的充要条件的作用 判断两向量是否共线 平行 可解决三点共线的问题 另外 利用两向量共线的充要条件可以列出方程 组 求出未知数的值 变式训练 1 若向量a 1 x 与b x 2 共线且方向相同 则x 解析 a 1 x 与b x 2 共线 1 2 x x 0 x a与b方向相同 x 答案 2 若三点a 2 2 b a 0 c 0 b ab 0 共线 则的值为 解析 由条件得 a 2 2 2 b 2 根据三点共线得 a 2 b 2 4 整理得2 a b ab 所以 即 答案 易错误区 忽视分类讨论致误 典例 2013 中山模拟 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 1 0 3 0 1 5 求第四个顶点的坐标 误区警示 1 解答此题时容易出现的错误是思维定势 认为平行四边形只是如图1所示的一种情形 从而忽视了另外的两种情形 2 若已知平行四边形abcd的三个顶点a b c的坐标 则点d的坐标只有一种情形 而此题中给出了平行四边形的三个顶点 并没有给出顺序 故应存在三种可能 规范解答 如图2所示 设a 1 0 b 3 0 c 1 5 d x y 1 若四边形abcd1为平行四边形 则 而 x 1 y 2 5 解得 d1 3 5 2 若四边形acd2b为平行四边形 则 而 4 0 x 1 y 5 解得 d2 5 5 3 若四边形acbd3为平行四边形 则 而 x 1 y 2 5 解得 d3 1 5 综上所述 平行四边形的第四个顶点的坐标为 3 5 或 5 5 或 1 5 思考点评 1 注意转化方法的利用求点的坐标可转化为求向量的坐标 通过设出所求点的坐标 进而求得向量的坐标 利用向量的共线或向量的相等建立方程 或方程组 进而求得点的坐标 2 注意分类讨论思想的运用由于平行四边形的形状和位置不确定 故应进行分类讨论 将平行四边形的各种情况考虑全 以免漏解 1 2012 广东高考 若向量 2 3 4 7 则 a 2 4 b 2 4 c 6 10 d 6 10 解析 选a 2 3 4 7 2 4 2 2013 江门模拟 在平行四边形abcd中 ac与bd交于点o e是线段od的中点 ae的延长线与cd交于点f 若 a b 则 a b c d 解析 选b 由已知得de eb 又 def bea df ab 即df dc cf cd 3 2013 揭阳模拟 在 abc中 p是bc边中点 角a b c的对边分别是a b c 若 0 则 abc的形状为 a 等边三角形 b 钝角三角形 c 直角三角形 d 等腰三角形但不是等边三角形 解析 选a 如图 由 0知 而与为不共线向量 a c c b 0 a b c 4 2012 山东高考 如图 在平面直角坐标系xoy中 一单位圆的圆心的初始位置在 0 1 此时圆上一点p的位置在 0 0 圆在x轴上沿正向滚动 当圆滚动到圆心位于 2 1 时 的坐标为 解析 设圆心运动到c时 圆与x轴的切点为d 则弧pd的长为2 所以 pcd 2 点p的横坐标为2 cos 2 2 sin2 点p的纵坐标为1 sin 2 1 cos2 所以点p的坐标为 2 sin2 1 cos2 即的坐标为 2 sin2 1 cos2 答案 2 sin2 1 cos2 1 在平面直角坐标系中 若o为坐标原点 则a b c三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数 使得 1 成立 此时称实数 为 向量关于和的终点共线分解系数 若已知p1 3 1 p2 1 3 p1 p2 p3三点共线且向量与向量a 1 1 垂直 则 向量关于和的终点共线分解系数 为 a 3 b 3 c 1 d 1 解析 选d 由与向量a 1 1 垂直 可设 t t t 0 由 1 得 t t 3 1 1 1 3 4 1 3 2 两式相加得2 2 0 1 2 在平面直角坐标系中 o为坐标原点 设向量 a b 其中a 3 1 b 1 3 若 a b 且0 1 c点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 解析 选a 方法一 由题意知 3 3 设c x y 则解得由于0 1 所以0 1 整理得画出该不等式组所表示的平面区域 可知选a 方法二 由题意知 3 3 取