高等数学第七版重点汇总

高等数学第七版重点汇总第一章 函数与极限l 极限是函数在某一点x0处的局部性质，与函数在此处是否有定义无关。l 有限个无穷小的乘积也是无穷小l 常数与无穷小的乘积是无穷小l 如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么1) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB3) 若B0,则数列也基本适用l 如果limf(x)存在，而n是正整数，那么limf(x)n=limf(x)nl 抓大头l 当x时，且a00,b00,m和n为非负整数 l 夹逼准则l 等价无穷小sinxx arcsinxx xtanxx arctanxx ax-1ln(1+x)x ex-1x 1-cosxl 1型=el 如果0，是的高阶无穷小，记作; 如果，是的低阶无穷小； 如果c0，是的同阶无穷小； 如果，k0,是的k阶无穷小； 如果1，是的等价无穷小，记作. 若是的同阶无穷小，则（充要条件）l 函数连续，l 连续则极限存在，极限存在不一定连续l 间断点：1) 情况：1 函数在x=x0处没有定义2 在x=x0处有定义，但不存在3 函数在x=x0处有定义，存在，但2) 分类1 第一类：跳跃 可去2 第二类：无穷 震荡l 基本初等函数在其定义域内都是连续的，包括三角函数l 基本初等函数的反函数在其定义域内都是连续的，包括反三角函数l 复合函数连续,且,则=l 幂指函数连续，且0,则l 介值定理（零点定理的推广）设函数在闭区间上连续，则在这区间端点处取值不同时，即：,且。那么，不论是与之间的怎样一个数，在开区间内至少有一点，使得特别地，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点，使得f()=0 (ab)-零点定理第2章 导数与微分l 导数，也可以记成，或也有其它形式，例如和l 函数角点处不可导l 导数存在的充要条件是左右导数存在并相等l 切线方程l 法线方程 l 反函数的导数等于原函数的倒数（反函数只改变规则，不变换变量）l 复合函数求导 l 常数和基本初等函数的导数公式1)2)3)4)5)6)7)8)9) ，10)11) ，12)13)14)15)16)l 二阶导数或l l 隐函数1) 显化2) 两边分别求导，整理3) 幂指函数：对数求导法（两边同时取对数，再求导）l 参数方程求导 若参数方程，则其导数，l 微分可导可微当时，与是等价无穷小，所以第3章 微分中值定理与导数的应用l 费马引理 函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对于任意的，都有 (或)，那么。l 罗尔定理 如果函数满足以下条件：（1）在闭区间上连续，（2）在内可导，（3），则至少存在一个，使得.l 拉格朗日中值定理 若函数在区间满足以下条件：(1) 在上连续；(2)在上可导,则至少有一个，使得 几何意义 若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线,则曲线在 A,B间至少存在1点,使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。l 柯西中值定理 设函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导；对任意，那么在内至少有一点，使得l 洛必达法则 存在或为无穷大 l 泰勒公式 1) 佩亚诺余项 2) 拉格朗日余项 ，是和之间的一个数l 麦克劳林公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项（令），l 单调性连续 可导单调增加单调减少l 凹凸性连续 具有一阶导和二阶导凹凸l 拐点可导函数在拐点处的切线必穿过函数判别法:1) ,且在左右变号2) ，且，则是拐点3) 二阶导不存在的点也有可能是拐点l 极值 第一充分条件 高中 第二充分条件 ，极小值 ，极大值 ，用第一充分条件 一阶导不存在的点有可能有极值l 最值 1) 求出驻点和不可导点 2) 求出函数在驻点和不可导点的函数值以及在区间端点的函数值3) 比较各个函数值的大小l 渐近线1) 斜渐近线 2) 铅直渐近线若或，则其铅直渐近线为3) 水平渐近线