高中数学 第二章 推理与证明章末高效整合课件 新人教A版 选修22.ppt

知能整合提升 一 合情推理和演绎推理1 归纳和类比是常用的合情推理 都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳类比 然后提出猜想的推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 从推理所得结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待进一步证明 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定正确 从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑 它们又是紧密联系 相辅相成的 合情推理的结论需要演绎推理的验证 而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得 合情推理可以为演绎推理提供方向和思路 二 直接证明和间接证明1 直接证明包括综合法和分析法 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 用综合法证明命题的逻辑关系是 a b1 b2 bn b a为已经证明过的命题 b为要证的命题 它的常见书面表达是 或 2 分析法是 执果索因 一步步寻求上一步成立的充分条件 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等 用分析法证明命题的逻辑关系是 b b1 b2 bn a 它的常见书面表达是 要证 只需 或 2 间接证明主要是反证法反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种方法 反证法主要适用于以下两种情形 1 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只要研究一种或很少的几种情形 三 数学归纳法数学归纳法是推理逻辑 它的第一步称为归纳奠基 是论证的基础保证 即通过验证落实传递的起点 这个基础必须真实可靠 它的第二步称为归纳递推 是命题具有后继传递性的保证 两步合在一起为完全归纳步骤 这两步缺一不可 第二步中证明 当n k 1时结论正确 的过程中 必须用 归纳假设 否则就是错误的 热点考点例析 点拨 对合情推理的认识 合情推理包括归纳推理和类比推理 归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法 它在数学研究或数学学习中具有十分重要的意义 通过归纳推理可以发现新知识 探索新结论 探索解题思路 预测答案等 类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法 它以比较为基础 类比法有助于启迪思维 触类旁通 拓宽知识面 发现命题等 著名哲学家康德说 每当理智缺乏可靠论证思路时 类比法往往能指明前进的方向 合情推理的应用 特别提醒 1 归纳推理是由部分到整体 个体到一般的推理 其结论正确与否 有待于严格证明 2 进行类比推理时 要合理确定类比对象 不能乱比 要对两类对象的共同特点进行对比 解析 把已知等式与行数对应起来 则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n 加数的个数是2n 1 等式右边都是完全平方数 所以n n 1 n 2n 1 1 2n 1 2 即n n 1 3n 2 2n 1 2答案 d 点拨 数学中考查演绎推理的试题的比例比较大 即有选择 填空 也有解答 证明 立体几何是考查演绎推理的最好素材 演绎推理是从一般的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理 是一种由一般到特殊的推理 数学中的证明主要是通过演绎推理进行的 演绎推理的一般模式是 三段论 包括 大前提 小前提和结论 在演绎推理中 只要前提和推理形式正确 则结论必定是正确的 演绎推理的应用 思维点击 a 1 且x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 小前提 函数f x 在 1 上为增函数 结论 2 在四边形abcd中 ab cd bc ad 求证 abcd为平行四边形 写出三段论形式的演绎推理 3 由全等三角形的定义可知 全等三角形的对应角相等 这一性质相当于 对于任意两个三角形 如果它们全等 则它们的对应角相等 大前提 abc和 cda全等 小前提则它们的对应角相等 结论用符号表示 就是 abc cda 1 2且 3 4且 b d 4 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 大前提直线ab dc被直线ac所截 内错角 1 2 小前提 已证 则ab dc 结论同理有 bc ad 5 如果四边形两组对边分别平行 那么这个四边形是平行四边形 大前提四边形abcd中 两组对边分别平行 小前提则四边形abcd是平行四边形 结论用符号表示为 ab dc且ad bc 四边形abcd为平行四边形 点拨 1 综合法和分析法是直接证明中两种最基本的证明方法 但这两种方法证明思路完全相反 综合法是 由因导果 而分析法是 执果索因 2 一般情况下是用分析法寻找解题思路 然后用综合法证明问题 它们相互转换 相互渗透 要充分利用这一辩证关系 在解题中综合法和分析法联合运用 转换解题思路 增加解题途径 综合法与分析法 思维点击 条件和结论的联系不明确 考虑用分析法证明 3 设a b是两个正实数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 要证a3 b3 a2b ab2成立 即需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 即需证a2 ab b2 ab成立 只需证a2 2ab b2 0成立 即需证 a b 2 0成立 而由已知条件可知 a b a b 0 a b 2 0显然成立 即a3 b3 a2b ab2 点拨 对反证法的认识 1 反证法是一种间接证明的方法 它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题 它反映了 正难则反 的思想 2 反证法着眼于命题的转换 改变了研究的角度和方向 使论证的目标更为明确 由于增加了推理的前提 原结论的否定 更易于开拓思路 因此对于直接论证较为困难的时候 往往采用反证法证明 所以反证法在数学证明中有着广泛的应用 反证法 特别提醒 适宜用反证法证明的命题有 结论本身是以否定形式出现的命题 关于唯一性 存在性的命题 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 已知实数a b c d满足a b c d 1 ac bd 1 求证 a b c d中至少有一个是负数 思维点击 利用反证法 作出否定结论的假设 寻找矛盾 点拨 数学归纳法是一种直接证明的方法 主要用来证明与正整数n有关的命题 证明时先证n取第一个值n0时命题成立 然后假设n k k n0 k n 时命题成立 证明n k 1时命题也成立即可 用数学归纳法证明时 要注意几个方面 数学归纳法 1 n的范围以及递推的起点 2 观察首末两项的次数 或其他 确定n k时命题的形式f k 3 从f k 1 和f k 的差异 寻找由k到k 1递推中 左边要加 乘 上的式子 4 在归纳递推中一定要运用归纳假设 5 注意 归纳 猜想 证明 的思维模式的应用 答案 d 解析 观察分子中2 6 5 3 7 1 10 2 8 答案 a 2 下列三句话按 三段论 模式排列顺序正确的是 y cosx x r 是三角函数 三角函数是周期函数 y cosx x r 是周期函数 a b c d 解析 按三段论的模式 排列顺序正确的是 答案 b 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至多有一个钝角 时 反设正确的是 a 三个内角中至少有一个钝角b 三个内角中至少有两个钝角c 三个内角都不是钝角d 三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析 至多有一个 即要么一个都没有 要么有一个 故反设为 至少有两个 答案 b 答案 c 7 已知a b c r 且它们互不相等 求证 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 证明 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 a4 c4 2a2c2 2 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 即a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 又a b c互不相等 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 8 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 证明 a b c都大于零 证明 假设a 0 则 a 0 abc 0 bc 0 又由a b c 0 得b c a 0 ab bc ca a b c bc 0 与题设矛盾 若a 0 则与abc 0矛盾 必有a 0 同理可证 b 0 c 0 1 2013 陕西卷 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第n个等式可为 解析 从给出的规律可看出 左边的连乘式中 连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致 其中左边连乘式中第二个加数从1开始 逐项加1递增 右边连乘式中从第二个乘数开始 组成以1为首项 2为公差的等差数列 项数与第几等式保持一致 则照此规律 第n个等式可为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 答案 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 答案 1000 3 2014 全国卷 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过a b c三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过b城市 乙说 我没去过c城市 丙说 我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为 解析 利用逻辑推理的知识求解 由题意可推断 甲没去过b城市 但比乙去的城市多 而丙说 三人去过同一城市 说明甲去过a c城市 而乙 没去过c城市 说明乙去过城市a 由此可知 乙去过的城市为a 答案 a 4 2014 山东卷 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是 a 方程x3 ax b 0没有实根b 方程x3 ax b 0至多有一个实根c 方程x3 ax b 0至多有两个实根d 方程x3 ax b 0恰好有两个实根解析 依据反证法的要求 即至少有一个的反而是一个也没有 直接写出命题的否定 方程x3 ax b 0至少有一个实根的反面是方程x3 ax b 0没有实