§311两角差的余弦公式教学设计

3 1 1两角差的余弦公式 一 教材分析一 教材分析 本节课选自人教版必修四 第三章第一节 其中心任务是通过已知的 平面向量 和 三角函数 的知识 探索推导出两角差的余弦公式 并通过简单的运用 使学生初步理 解公式的由来 结构 功能及其运用 分一课时完成 三角恒等变换处于三角函数与数学 变换的结合点和交汇点上 两角差的余弦公式是 三角恒等变换 这一章的基础和出发点 是前面所学三角函数知识的继续与发展 是培养学生推理能力和运算能力的重要素材 所 以 从知识的结构和内容上看都具有承上启下的作用 二 教学目标分析二 教学目标分析 由于新课程要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程 要鼓励学生自主探索合作 交流 因此三维目标主要体现在 知识与技能目标 知识与技能目标 1 理解两角差余弦公式的推导过程 2 掌握两角差的余弦公式并能用之解决某些简单的问题 过程与方法目标 过程与方法目标 1 通过对公式的推导 让学生体会所蕴含的类比思想和分类讨论 的思想 2 通过对公式的推导提高学生分析问题 解决问题的能力 让学 生从公式探索中体会认知新事物时从一般到特殊的思想和规律 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 通过对公式的推导与简单应用 使学生经历数学知识的发现 认知的过程 体验成功探索新知的乐趣 激发学生的求知欲 鼓励学生大胆尝试 从而提高学生的学习兴趣 二 教学重 难点二 教学重 难点 重点 重点 两角差的余弦公式及公式的灵活应用 设计意图 设计意图 课标要求要让学生经历数学知识的形成与应用过程 难点 难点 余弦公式的探索 推导和证明 设计意图 设计意图 高一学生逻辑思维能力还比较薄弱 对于公式的证明还存在很大的问 题 三 学习者特征分析三 学习者特征分析 1 1 从学生已有的知识与方法看从学生已有的知识与方法看 高一高一学生已经学习了 平面向量 和 三角函数 的知 识 从日常教学所反应的学生特点来看 学生对类比和分类讨论的思想有所体会 但是还 是只停留在体会阶段 没有办法真正灵活的运用 具有了一定归纳总结的能力 但对于一 般结论的原因 还是没能用严格的定义证明 2 2 从学生的情感 态度看 从学生的情感 态度看 高一学生已经厌倦老师的单独说教 希望老师创设便于他 们进行观察的环境 给他们发表自己见解和表现自己才华的机会 希望老师满足他们的创 造愿望 让他们实际操作 小组交流 使他们获得施展自己创造才能的空间 四 教学策略选择与设计四 教学策略选择与设计 课标要求我们要尽量的把课堂还给学生 让学生小组合作 在得到新知的同时又能培 养他们的合作 分析和探索能力 我们主要采用引导探索引导探索的教学方法 引导学生自主探索 合作交流去发现 探求两角差的余弦公式 关键在于如何引导学生通过大胆猜想 类比得 出公式 五 教学资源与工具设计五 教学资源与工具设计 学生方面 学生方面 1 学生每人准备画好 3 个圆的方格纸一张 教师方面 教师方面 1 多媒体课件 几何画板课件 2 圆规直尺 六 教学流程图 六 教学流程图 七 教学过程 七 教学过程 一一 回顾复习 回顾复习 2 2 分钟 分钟 在三角函数中 我们学习了哪些基本的三角函数公式 问题引入问题引入 4 4 分钟 分钟 我们在前面所学三角函数值时就知道 而 21 cos45 cos30 22 大家猜想一下 等于多少呢 是不是等于cos15cos 4530 cos15 学生猜测答案 cos45 cos30 几何画板演示的答案 cos15 根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的 也就是 不会等于 cos cos cos 问 问 那么会是多少呢 学生大胆猜测两角差余弦的表达式 问题引入 学生猜测 小组 合作 动手 探索 定义 的推 导与 证明 巩固练习 探索过 程的回 顾与提 高 课堂小结 板 演 示 几 何 画 板 设计意图 设计意图 通过问题的提出 吸引学生的兴趣 鼓励学生小组讨论 大胆的进行猜测 让学生体验如何用反例进行反驳 同时搞清错误的原因 避免以后犯类似的错误 二二 新知探究 新知探究 1515 分钟 分钟 学生拿出小纸片 小组合作 在圆上做出角 学生拿出小纸片 小组合作 在圆上做出角 归纳 归纳 我们发现 通过割补法很难得出两角差的余弦值 那现在应该如何考虑 设计意图 设计意图 引导学生关注两个向量的夹角 与 的联系与区别 让学生通过观察 联想到 终边与单位圆的交点分别为 A cos sin B cos sin 同时发现 cos cos sin cos sin coscossinsinOA OBOA OB AA 二 得出新知 二 得出新知 所以 cos coscossinsin 3 3 定义解析定义解析 3 3分钟 分钟 1 成立条件成立条件 是不是对于任意的 都适用于差的余弦公式 等价于 不属于 0 时是否成立 2 结论结论 归纳为 余余正正符号异 四 定义巩固 四 定义巩固 1010 分钟 分钟 例 1 利用差角余弦公式求 cos15 的值 分析 分析 引导学生用15 45 30 和15 60 45 两种方法求解 2 cos15 cos105sin15 sin105 3 cos 21 cos 24 sin 21 sin 24 例2 已知是第三象限角 求 cos 的值 45 sin cos 5213 分析 分析 注意各角所在象限的符号 对于基础好的学生 把条件去掉 结果又如 2 何 例 3 公式逆用 求的值 13 cos15sin15 22 设计意图 设计意图 定义 概念结束之后 紧接着应对定义进行巩固 最好的办法就是运用实 例 通过两个既简单又具代表性的题目对公式的应用进行巩固 效果很好 之中还加入了 例题的变换条件 扩展学生的思维 五 回顾提高 五 回顾提高 5 5 分钟 分钟 刚才我们经历了两角差的余弦公式的完整 曲折探索过程 回顾来看 大家有什么 启 发和感悟 引导学生从思想方法 思路转换等方面去总结提高 公式探究的一般步骤 特殊特殊 猜想猜想 证明证明 根据你所总结的知识 能否证明下面的公式 例 4 对于任意的 cos coscossinsin 分析 分析 可以把 看成是 或者根据两角差的余弦公式探索过程 重新证明两角 和的余弦公式 设计意图 设计意图 学生经历探索的过程之后 适当的我们应该做一些总结 而总结的最好方 法就是用一些相似的题目去加以巩固提高 培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力 这样对培养学生的自学能力的提高有很好的效果 六 课堂练习 六 课堂练习 3 3 分钟 分钟 例 5 都是锐角 求的值 111 cos cos 714 cos 分析 分析 两角和的余弦公式的逆用 七 课堂小结 七 课堂小结 5 5 分钟 分钟 一 从知识上从知识上 cos coscossinsin cos coscossinsin 余余 余余 异号异号 正正 正 余余正正符号异 正 余余正正符号异 2 从思想方法上 从思想方法上 探索问题时从特殊到一般 再从一般回到特殊 公式探究的一般步骤 特殊特殊 猜想猜想 证明证明 类比的思想 分类讨论的思想 设计意图 设计意图 对于一堂课的总结 应该从知识和方法这两方面进行 特别是方法上的 总结 对学生今后的发展及其自学能力的培养是至关重要的 八 八 布置作业布置作业 1 教材习题第 2 3 4