人教版初中数学第二十四章圆知识点

第二十四章第二十四章 圆圆 24 1 圆的有关性质圆的有关性质 24 1 1 圆圆 1 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 其中 定点称为圆心 定长称为半径 以点 O 为圆心 的圆记作 O 读作 圆 O 2 确定圆的基本条件 1 圆心 定位置 具有唯一性 2 半径 定大小 3 半径相等的两个圆叫做等圆 两个等圆能够完全重合 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 弧用符号 表示 圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等 弧 每一条弧都叫做半圆 大于半圆的弧称为优弧 小于半圆的弧称为劣弧 6 在同圆或等圆中 能过重合的两条弧叫做等弧 24 1 2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 2 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 3 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理 简称 2 推 3 定理 此定理中共 5 个结论中 只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论 即 是直径 弧弧 弧弧ABABCD CEDE BC BDAC AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 即 在 中 OABCD 弧弧AC BD 24 1 3 弧 弦 圆心角弧 弦 圆心角 1 顶点在圆心的角叫做圆心角 圆心角的度数与他所对的弧的度数相等 2 圆心角定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弦相等 所对的弧相等 弦心距 相等 此定理也称 1 推 3 定理 即上述四个结论中 只要知道其中的 1 个相等 则可以推出其它的 3 个结论 即 AOBDOE ABDE 弧弧OCOF BA BD O E DC B A O C D A B F E D C B A O 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 在同圆或等圆中 如果两条弧相等 那么他们所对的圆心角相等 所对的弦相等 在同圆或等圆中 如果两条弦相等 那么他们所对的圆心角相等 那他们所对的优弧劣弧分别相等 24 1 4 圆周角圆周角 1 顶点在圆上 并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 2 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 或弧的度数 的一半 即 和是弧所对的圆心角和圆周角AOB ACB AB 2AOBACB 3 圆周角定理的推论 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧是等弧 即 在 中 都是所对的圆周角OC D CD 推论 2 半圆或直径所对的圆周角是直角 圆周角是直角所对的弧是半圆 所对的弦是直 径 即 在 中 是直径 或 OAB90C 是直径90C AB 推论 3 若三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 即 在 中 ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C 注 此推论实是初二年级几何中矩形的推论 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 一半的逆定理 注 忽略一条弦所对的弧有两条 所对的圆周角边有两种不同的角 4 一般的 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上 那么这个多边形叫做圆的内接多边形 这个圆叫做多边形 的外接圆 圆的内接四边形定理 圆的内接四边形的对角互补 推论 圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角 即 在 中 四边形是内接四边形OABCD D C B A O C BA O C BA O C B A O E D C B A 180CBAD 180BD DAEC 24 2 点和圆 直线和圆的位置关系点和圆 直线和圆的位置关系 24 2 1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 1 点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系决定的 1 点在圆内 点在圆内 dr C 2 点在圆上 点在圆上 dr B 3 点在圆外 点在圆外 dr A 2 不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个 3 三角形的三个顶点确定一个圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点 叫做三角形的外心 这个三角形叫做这个圆的内接三角形 4 与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点 叫做三角形的 内心 三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆 圆心是三个角的角平分线的交点 他到三条边的距离相等 内心 到三顶点的连线平分这三个角 24 2 2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 1 如果圆 O 的半径为 圆心 O 到直线 的距离为 d 那么 rl 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 2 直线和圆有唯一公共点 即直线和圆相切 时 这条直线叫做圆的切线 这个唯一的公共点叫做切点 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 如上图 推论 1 过圆心垂直于切线的直线必过切点 r d d C B A O NM A O 推论 2 过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理 即 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线 通常叙述为 见切点连半径得垂直 解决与圆的切 线有关的问题时 常需要补充的线是作过切点的半径 3 切线长定理 在经过圆外一点的圆的切线上 这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和圆外这一点 的连线平分两条切线的夹角 即 是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA 4 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 中 12 Rt OO C 2222 1122 ABCOOOCO 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半径之和 2 CO 2 CO 24 3 正多边形和圆正多边形和圆 各边相等 各角也相等的多边形叫做正多边形 把一个圆分成相等的弧 依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形 这个圆叫做正多边形的外接圆 经过各分点做圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形 这个圆叫做多边形的内切圆 正多边形的外接圆 或内切圆 的圆心叫做正多边形的中心 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形 每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距 正 n 边形的半径 R 与边心距 r 把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 00 n 0 222 n nn 360180 a 2 sin n 1801 cos a Ca 2 11 an C 22 n nnn n nn R n rRRrn n Srr 关系式 中心角 边长 边心距周长 面积 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD P B A O C O2 O1 B A D C B A O 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六