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3从速度的倍数到数乘向量3 1数乘向量 1 向量加法的三角形法则 2 向量加法的平行四边形法则 特点 首尾相接 首尾连 特点 共起点 a c b a b b d c a b o b a 3 向量的减法 特点 共起点 连终点 方向指向被减向量 1 在急风骤雨 雷电交加的夜晚 为什么我们总是先看到闪电 后听到雷声 这是因为在同一方向上光速远远大于声速 经测量 光速大小约为声速的8 7 105倍 由以上两个实例可以看出 实际中存在方向相同 大小之间存在倍数关系的两个向量 因此有必要研究实数与向量积的运算 1 理解 掌握向量数乘运算及其几何意义 重点 2 掌握数乘运算的运算律 重点 3 掌握向量共线的判定定理和性质定理 难点 b c n m q p 探究点1数乘向量 思考1 思考2 向量与向量有什么关系 向量与向量有什么关系 提示 1 向量的方向与的方向相同 向量的长度是的长度的3倍 即 2 向量的方向与的方向相反 向量的长度是的长度的3倍 即 向量的数乘运算 它的长度和方向规定如下 一般地 实数 与向量的积是一个向量 记作这种运算叫作向量的数乘运算 特别地 当 0时方向任意 思考3 数乘向量依然是向量 它的方向由谁决定 提示 由 和向量的方向共同决定 思考4 数乘向量的几何意义 提示 是把向量沿的方向或的反方向伸长或压缩 具体为 当 1时 有 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 或反方向 0 上伸长为原来的 倍 当0 1时 有 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短为原来的 倍 探究点2数乘向量的运算律 1 根据定义 求作向量和 并作比较 结论 2 数乘向量的运算律 设为向量 为实数 则有 结合律 第一分配律 第二分配律 解 向量的加法 减法和实数与向量积的综合运算 通常叫作向量的线性运算 对于任意的向量以及任意实数 1 2 恒有 计算 变式练习 探究点3共线向量判定定理和性质定理 思考1 如果那么向量与是否共线 向量共线的判定定理 是一个非零向量 若存在一个实数 使得则向量与非零向量共线 且当与同方向时 有 当与反方向时 有 所以始终有一个实数 使 思考2 如果非零向量与共线 那么是否有实数 使 向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线 则存在一个实数 使得 思考3 1 为什么要是非零向量 若是零向量时 不唯一 2 可以是零向量吗 可以 证明 如题干图 因为向量与向量共线 根据向量共 d d 解 作图如右图 依图猜想 a b c三点共线
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