高中数学 1.5.2 估计总体的数字特征课件 北师大版必修3.ppt

5 2估计总体的数字特征 样本平均数和标准差s通过随机抽样得到的样本为x1 x2 xn 则 s 分别称为样本平均数和样本标准差 1 判一判 正确的打 错误的打 1 一组数据的平均数与每个数据的大小有关 2 一组数据的众数与中位数都是唯一的 3 一组数据中有极端值时 平均数不能代表平均水平 解析 1 正确 由平均数的计算公式知 平均数与每个数据的大小有关 2 错误 一组数的中位数唯一 但众数不一定唯一 3 正确 当一组数据中有极端值时 平均数会向极端值的方向偏离 从而使平均数不能很好地代表该组数据的平均水平 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 一组观察值4 3 5 6出现的次数分别为3 2 3 2 则样本平均数为 2 已知某一组数据8 9 11 12 x 若这组数据的平均数为10 则其方差为 解析 1 观察值的平均数为答案 4 5 2 依题意得 x 10 5 8 9 11 12 10 方差为 8 10 2 9 10 2 11 10 2 12 10 2 10 10 2 2 答案 2 要点探究 知识点总体的数字特征的估计对总体数字特征估计的三点说明 1 平均数对数据有 取齐 的作用 它描述了一组数据的平均水平 但由于样本的随机性 有时用平均数衡量总体会有较大误差 2 在频率分布直方图中 平均数是直方图的平衡点 3 标准差为0 表明数据没有波动 数据没有离散性 标准差越大 表明数据的波动幅度较大 数据离散程度较高 因此 标准差描述了数据对平均数的离散程度 知识拓展 样本的平均数 标准差二者在估计总体中的作用 1 样本的标准差描述了总体数据围绕平均数波动的大小程度 样本的标准差越大 总体数据估计越分散 样本的标准差越小 总体估计越集中 特别地 当样本的标准差为0时 则表明总体数据估计没有波动 估计数据全相等 2 样本的平均数和标准差是两个重要的数字特征 在应用平均数和标准差解决问题时 若平均数不同 则直接应用平均数比较优劣 若平均数相同 则要由标准差研究其与平均数的偏离程度 微思考 1 样本平均数和方差 标准差描述了样本数据的什么特征 提示 样本平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量 描述了样本数据的平均水平 样本方差与标准差是刻画数据的离散程度的量 方差越大 离散程度越大 2 标准差与方差哪一个更能准确刻画样本数据的特征 提示 标准差 因为它与样本数据单位相同 即时练 1 在一组数据 7 8 2 9 13 6 11中抽去一个 新的一组数据的平均数与原数据的平均数相同 则被抽去的数是 a 7b 2c 8d 11 解析 选c 抽去一个数后平均数没有变 说明被抽去的数应与平均数相等 从而有所以 被抽去的数是8 2 用分层抽样抽取了容量为10的样本 其平均数为5 1 方差为0 2 则总体的平均数与方差分别估计是 a 5 1 0 2b 0 2 0 2c 5 1 2d 都不能估计 解析 选a 由统计的基本思想知 样本的平均数为5 1 方差为0 2 从而总体的平均数也为5 1 方差为0 2 题型示范 类型一样本平均数与标准差的计算及应用 典例1 1 在发生某公共卫生事件期间 有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为 连续10天 每天新增疑似病例不超过7人 根据过去10天甲 乙 丙 丁四地新增疑似病例数据 一定符合该标志的是 a 甲地 总体平均值为3 中位数为4b 乙地 总体平均值为1 总体方差大于0c 丙地 中位数为2 众数为3d 丁地 总体平均值为2 总体方差为3 2 甲 乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 单位 t hm2 根据这组数据判断应该选择哪一种小麦进行推广 解题探究 1 平均数 众数 中位数中哪些受个别极端数据的影响大 2 解答题 2 采用哪个特征数较好 探究提示 1 平均数受个别极端数据 比其他数据大很多或小很多的数据 影响大 因此若在数据中存在少量极端数据时 往往用众数或中位数去估计总体 2 采用求标准差或方差的方法 在平均值相等的情况下 比较方差或标准差较好 自主解答 1 选d 根据信息可知 连续10天内 每天的新增疑似病例不能有超过7的数 选项a中 中位数为4 可能存在大于7的数 同理 在选项c中也有可能 选项b中的总体方差大于0 叙述不明确 如果数目太大 也有可能存在大于7的数 选项d中 根据方差公式 如果有大于7的数存在 那么方差不会为3 故答案选d 2 甲种冬小麦的平均单位面积产量乙种冬小麦的平均单位面积产量则甲 乙两种冬小麦平均单位面积产量相同 甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为 9 8 10 2 9 9 10 2 10 1 10 2 10 10 2 10 2 10 2 0 02 乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为 9 4 10 2 10 3 10 2 10 8 10 2 9 7 10 2 9 8 10 2 0 244 则 0 02 0 244 所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定 因此选择甲种小麦进行推广 方法技巧 1 计算样本方差 标准差的三种方法 1 公式法 2 频率法 pi为数据xi出现的频率 3 线性关系法 若x1 x2 xn的平均值为 方差为s2 则kx1 b kx2 b kxn b的方差为k2s2 标准差为 ks 2 求样本数据x1 x2 xn的标准差的计算步骤 1 求样本数据的平均数 2 求每个样本数据与样本平均数的差 xi 其中i 1 2 n 3 求出 2 中 xi 的平方 其中i 1 2 n 4 求出 3 中n个平方数的平均数 即得样本方差 5 求样本方差的算术平方根 即得样本标准差 变式训练 某班40人随机平均分成两组 两组学生一次考试的成绩情况见下表 求全班的平均成绩和标准差 解析 设第一组20名学生的成绩为xi i 1 2 20 第二组20名学生的成绩为yi i 1 2 20 依题意有 x1 x2 x20 90 y1 y2 y20 80 故全班平均成绩为 85 分 又设全班40名学生的标准差为s 故有s2 62 902 42 802 2 852 51 分2 则s 分 误区警示 计算方差 标准差时 计算量较大 往往会出现计算错误 应根据情况利用其性质减小计算量 补偿训练 2014 陕西高考 某公司10位员工的月工资 单位 元 为x1 x2 x10 其均值和方差分别为和s2 若从下月起每位员工的月工资增加100元 则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 a s2 1002b 100 s2 1002c s2d 100 s2 解析 选d 样本数据x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 方差s2 x1 2 x2 2 x10 2 新数据x1 100 x2 100 x10 100的均值 x1 100 x2 100 x10 100 x1 x2 x10 100 100 新数据x1 100 x2 100 x10 100的方差s 2 x1 100 100 2 x2 100 100 2 x10 100 100 2 x1 2 x2 2 x10 2 s2 类型二根据频率分布直方图 折线图 求有关统计量 典例2 1 如图 样本a和b分别取自两个不同的总体 它们的样本平均数分别为样本标准差分别为sa sb 则 2 已知一组数据 125121123125125128130129126124125127126125126128127129122124 填写下面的频率分布表 作出频率分布直方图 根据直方图或频率分布表求这组数据的众数 解题探究 1 由折线图可以获得什么信息 2 根据频率分布直方图求得的众数是样本数据中的数吗 探究提示 1 由图可知a b两种样本的数据xi的值 2 根据频率分布直方图所求得的众数只是样本众数的估计值 一般不是样本数据中的原数据 自主解答 1 选b 所以又由图可知sa sb 故选b 2 填表如下 频率分布直方图如图所示 在124 5 126 5中的数据最多 取这个区间的中点值作为众数的近似值 得众数为125 5 延伸探究 题 2 条件不变 根据频率分布直方图估计平均数 解析 利用 每组的中间值 求平均数 121 5 0 1 123 5 0 15 125 5 0 4 127 5 0 2 129 5 0 15 125 8 方法技巧 1 根据频率分布直方图求统计量的方法技巧 1 众数在样本频率分布直方图中 众数就是最高矩形的中点的横坐标 2 中位数在样本中 有50 的个体大于或等于中位数 因此 在频率分布直方图中 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 由此可以估计中位数的值 3 平均数平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标的和 2 统计量与频率分布直方图的关系由于样本数据的频率分布直方图只是直观地表明分布的状况 从直方图本身得不出原始数据内容 所以由频率分布直方图得到的中位数估计值 众数 平均数的估计值与实际的数值不一致 变式训练 为全面推进素质教育 山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训 培训结束后 某市为了解参训教师的成绩情况 从本市参加培训的5000名教师中随机抽取了100名 对他们的成绩 单位 分 进行统计分析 并画出了成绩的频率分布直方图如图 根据频率分布直方图 完成下面问题 1 这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组 请说明理由 2 如果成绩在300分以上 含300分 者为优秀学员 求该市优秀学员的人数 解析 1 100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数 第一小组的频率为0 004 100 0 4 其频数为0 4 100 4050 故中位数应在第二小组 2 由频率分布直方图可知 优秀学员的频率为 0 001 0 001 100 0 2 故该市优秀学员的人数为5000 0 2 1000 补偿训练 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生 其数学成绩 均为整数 的频率分布直方图如图所示 1 求这次测试数学成绩的众数 2 求这次测试数学成绩的中位数 3 求这次测试数学成绩的平均分 解析 1 由众数的概念可知 众数是出现次数最多的数 在直方图中 高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为所求 所以成绩的众数为75 2 由于中位数是所有数据中的中间值 故在直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等 即频率也相等 从而就是小矩形的面积和相等 因此在频率分布直方图中 将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线与x轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求 因为前三个小矩形的面积和为 0 005 0 015 0 020 10 0 4 第四个小矩形的面积为0 030 10 0 3 0 4 0 3 0 7 0 5 所以中位数应位于第四个小矩形内 设其底边为x 高为0 03 所以令0 03x 0 1 解得故成绩的中位数为73 3 平均数是频率分布直方图的 重心 等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 所以平均成绩为45 0 005 10 55 0 015 10 65 0 020 10 75 0 030 10 85 0 025 10 95 0 005 10 72 所以成绩的平均分为72分 规范解答 平均数和标准差的应用 典例 12分 某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下 1 试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均等待时间标准差的估计值s 2 为更好地服务病人 提高效率 医院应如何规定病人等待的时间范围 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 忽视 处的xi是各段等待时间的平均值 在解答本题的开始 需要把各个值正确计算才能保证后面的解答正确 失分点2 处的数据直接关系计算s2的正误 因此需要细心 认真计算 确保此处计算的正确性 否则本例会失掉7分 失分点3 在解答过程中 处的结果需要理解平均数和标准差的意义 然后直接写出结果 正确地理解概念是解答的关键 悟题 提措施 导方向1 读图识图在解题时 读懂图表可以获得充足的已知条件 如本例需要从记录表中获取信息 2 理解样本平均数和标准差的意义在实际问题中仅靠平均数不能完全反映问题的实质 还要研究其与平均数的离散程度 即方差或标准差 如本例求出平均数后 还需要计算标准差 类题试解 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示 其中成绩分组区间是 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 1 求图中a的值 2 根据频率分布直方图 估计这100名学生语文成绩的平均分 3 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数 x 与数学成绩相应分数段的人数 y 之比如表所示 求数学成绩在 50 90 之外的人