高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和课件 文 北师大版.ppt

6 4数列求和 第六章数列 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 等差数列的前n项和公式sn 2 等比数列的前n项和公式 知识梳理 3 一些常见数列的前n项和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n 4 12 22 n2 n2 n n 1 数列求和的常用方法 1 公式法直接利用等差 等比数列的求和公式求和 2 分组转化法把数列转化为几个等差 等比数列 再求解 知识拓展 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和sn 2 当n 2时 3 求sn a 2a2 3a3 nan之和时 只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 基础自测 1 2 3 4 5 6 4 数列的前n项和为n2 5 推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法 利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44 5 6 如果数列 an 是周期为k的周期数列 那么skm msk m k为大于1的正整数 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 一个球从100m高处自由落下 每次着地后又跳回到原高度的一半再落下 当它第10次着地时 经过的路程是a 100 200 1 2 9 b 100 100 1 2 9 c 200 1 2 9 d 100 1 2 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析第10次着地时 经过的路程为100 2 50 25 100 2 9 100 2 100 2 1 2 2 2 9 3 1 2x 3x2 nxn 1 x 0且x 1 答案 1 2 3 4 5 6 解析设sn 1 2x 3x2 nxn 1 则xsn x 2x2 3x3 nxn 得 1 x sn 1 x x2 xn 1 nxn 解析 题组三易错自纠4 2017 潍坊调研 设 an 是公差不为0的等差数列 a1 2 且a1 a3 a6成等比数列 则 an 的前n项和sn等于 答案 1 2 3 4 5 6 解析 1 2 3 4 5 6 解析设等差数列的公差为d 则a1 2 a3 2 2d a6 2 5d 即 2 2d 2 2 2 5d 整理得2d2 d 0 5 2018 日照质检 数列 an 的通项公式为an 1 n 1 4n 3 则它的前100项之和s100等于a 200b 200c 400d 400 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析s100 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 100 3 4 1 2 3 4 99 100 4 50 200 6 数列 an 的通项公式为an ncos 其前n项和为sn 则s2017 解析 答案 1 2 3 4 5 6 a1 0 a2 2 a3 0 a4 4 故s4 a1 a2 a3 a4 2 a5 0 a6 6 a7 0 a8 8 故a5 a6 a7 a8 2 周期t 4 1008 1008 题型分类深度剖析 解答 题型一分组转化法求和 师生共研 典例 2018 合肥质检 已知数列 an 的前n项和sn n n 1 求数列 an 的通项公式 解当n 1时 a1 s1 1 a1也满足an n 故数列 an 的通项公式为an n 解答 2 设bn 2an 1 nan 求数列 bn 的前2n项和 解由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前2n项和为t2n 则t2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记a 21 22 22n b 1 2 3 4 2n b 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前2n项和t2n a b 22n 1 n 2 本例 2 中 求数列 bn 的前n项和tn 解答 解由 1 知bn 2n 1 nn 当n为偶数时 tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 当n为奇数时 tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 2 n 1 n 分组转化法求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 通项公式为an 的数列 其中数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 注意在含有字母的数列中对字母的讨论 跟踪训练等差数列 an 的前n项和为sn 数列 bn 是等比数列 满足a1 3 b1 1 b2 s2 10 a5 2b2 a3 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 解设数列 an 的公差为d 数列 bn 的公比为q an 3 2 n 1 2n 1 bn 2n 1 解答 t2n c1 c3 c2n 1 c2 c4 c2n 典例 2017 天津 已知 an 为等差数列 前n项和为sn n n bn 是首项为2的等比数列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 s11 11b4 1 求 an 和 bn 的通项公式 题型二错位相减法求和 师生共研 解答 解设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因为q 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由s11 11b4 可得a1 5d 16 联立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以数列 an 的通项公式为an 3n 2 数列 bn 的通项公式为bn 2n 解答 2 求数列 a2nb2n 1 的前n项和 n n 解设数列 a2nb2n 1 的前n项和为tn 由a2n 6n 2 b2n 1 2 4n 1 得a2nb2n 1 3n 1 4n 故tn 2 4 5 42 8 43 3n 1 4n 4tn 2 42 5 43 8 44 3n 4 4n 3n 1 4n 1 得 3tn 2 4 3 42 3 43 3 4n 3n 1 4n 1 错位相减法求和时的注意点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 sn 与 qsn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 sn qsn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 跟踪训练 2018 阜阳调研 设等差数列 an 的公差为d 前n项和为sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d s10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 解答 解答 典例 2017 郑州市第二次质量预测 已知数列 an 的前n项和为sn a1 2 且满足sn an 1 n 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 题型三裂项相消法求和 多维探究 解答 两式相减 并化简 得an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 又a1 1 2 1 3 0 所以 an 1 是以 3为首项 3为公比的等比数列 所以an 1 3 3n 1 3n 故an 3n 1 证明 证明由bn log3 an 1 log33n n 典例已知函数f x x 的图像过点 4 2 令an n n 记数列 an 的前n项和为sn 则s2017 解析 答案 跟踪训练 2018届贵州遵义航天高级中学模拟 已知等差数列 an 满足 a1 a2 a2 a3 an an 1 2n n 1 1 求数列 an 的通项公式 解答 解设等差数列 an 的公差为d 当n 1时 a1 a2 4 当n 2时 a1 a2 a2 a3 12 即4a2 12 a2 3 a1 1 d a2 a1 2 等差数列 an 的通项公式an 1 2 n 1 2n 1 an 2n 1 解答 sn b1 b2 b3 bn 典例 12分 已知数列 an 的前n项和sn n2 kn 其中k n 且sn的最大值为8 1 确定常数k 并求an 审题路线图 四审结构定方案 审题路线图 规范解答 审题路线图 规范解答 当n 1时 上式也成立 得 tn 4 12分 课时作业 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 2 2018 长春调研 数列 an 的前n项和为sn 已知sn 1 2 3 4 1 n 1 n 则s17等于a 9b 8c 17d 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析s17 1 2 3 4 5 6 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 17 1 1 1 1 9 3 在数列 an 中 若an 1 1 nan 2n 1 则数列 an 的前12项和等于a 76b 78c 80d 82 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1 an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 结果相加可得s12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 故选b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 2018 深圳调研 已知函数f n 且an f n f n 1 则a1 a2 a3 a100等于a 0b 100c 100d 10200 解析由题意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 故选b 5 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 则该数列的前12项和为a 211b 212c 126d 147 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意意可得a1 1 a2 2 a3 a1 1 2 a4 2a2 0 4 a5 a3 1 3 a6 2a4 8 即其奇数项构成首项为1 公差为1的等差数列 而其偶数项则构成首项为2 公比为2的等比数列 所以该数列的前2n项的和 令n 6 可得s12 147 6 2018届南宁二中 柳州高中联考 已知数列2008 2009 1 2008 若这个数列从第二项起 每一项都等于它的前后两项之和 则这个数列的前2018项之和s2018 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4017 解析由题意可知an 1 an an 2 a1 2008 a2 2009 a3 1 a4 2008 a5 2009 a6 1 a7 2008 所以an 6 an 即数列 an 是以6为周期的数列 又a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 s2018 336 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 4017 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2017 全国 等差数列 an 的前n项和为sn a3 3 s4 10 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设等差数列 an 的公差为d 则 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2018 商丘质检 有穷数列1 1 2 1 2 4 1 2 4 2n 1所有项的和为 2n 1 2 n 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 2017 安阳二模 已知数列 an 中 an 4n 5 等比数列 bn 的公比q满足q an an 1 n 2 且b1 a2 则 b1 b2 b3 bn 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4n 1 解析由已知得b1 a2 3 q 4 bn 3 4 n 1 bn 3 4n 1 即 bn 是以3为首项 4为公比的等比数列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2018届广东佛山三水区实验中学模拟 已知等差数列 an 的公差d为2 sn是它的前n项和 a1 a4 a13成等比数列 1 求an和sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解因为a4 a1 3d a1 6 a13 a1 12d a1 24 而a1 a4 a13成等比数列 即 a1 6 2 a1 a1 24 解得a1 3 所以an 3 n 1 2 2n 1 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2017 天津河西区二模 数列 an 的前n项和为sn 且sn n n 1 n n 1 求数列 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 2n 可知a1 2满足该式 数列 an 的通项公式为an 2n n n 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而b1 8 故bn 2 3n 1 n n 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 tn c1 c2 c3 cn 1 3 2 32 3 33 n 3n 1 2 n 令hn 1 3 2 32 3 33 n 3n 则3hn 1 32 2 33 3 34 n 3n 1 得 2hn 3 32 33 3n n 3n 1 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12