人教版六年级下册数学知识结构图 (2)

负负 数数 例 1 例 2 认识负数 例 3 在数轴上表示负数 例 4 比较大小 例 1 什么叫比例 比例的意义 比例基本性质 例 2 例 2 例 3 解比例 例 4 例 5 例 6 求实际 图上距离 比例尺 例 1 例 3 成正比例的量 例 4 例 6 成反比例的量 例 7 正比例和反比例的比较 例 1 正比例意义应用题 例 2 反比例意义应用题 圆柱的认识 例 1 圆柱的侧面积计算 例 2 圆柱的表面积计算 例 3 圆柱的表面积计算的实际应用 例 4 圆柱的体积计算 例 5 圆柱的容积计算 圆锥的认识 例 1 圆锥的体积计算 例 2 圆锥的重量计算 例 1 填写统计表 条形统计图 例 1 制作单式条形统计图 例 2 制作复式条形统计图 例 1 制作单式这线统计图 例 2 制作复式折统计图 数的意义 数的读法和写法 数的改写 数的大小比较 数的整除 分数小数的基本性质 四则运算的意义和法则 运算定律和简便算法 四则混合运算 用字母表示数 简易方程 比和比例 例 1 简单应用题 例 4 分数应用题 例 2 复合应用题 例 5 用比例解应用题 例 3 列方程应用题 长度 面积 体积单位 质量单位 时间单位 名数的改写 平面图形的认识 平面图形的周长和面积 立体图形的认识 立体图形的表面积和体积 平均数 统计表 统计图 比例比例 正比例和反比例的意义 比例的意义和基本性比例的意义和基本性质 比例的应用 圆锥圆锥 圆柱圆柱 统计表统计表 统计图统计图 数和数的运算数和数的运算 代数初步知识代数初步知识 应用题应用题 量的计量量的计量 几何初步知识几何初步知识 简单的统计简单的统计 圆柱的表面积 圆柱的体积 圆锥的体积 折线统计图 数与代数数与代数 代数代数 空间与图形空间与图形统计与概率统计与概率 整理和复习整理和复习 六年级下册六年级下册 1 比例 表示两个相等的式子叫做比例 2 基本性质 在比例里 两个外项的积等于两个内项的积 这叫做比例的基本 性质 2 4 1 6 60 40 内项 外项 3 组成比例的四个数 叫做比例的项 两端的两项叫做比例的外项 中间的两 项叫做比例的内项 4 两个数相除又叫做两个数的比 5 比的前项除以比的后项所得商 叫做比值 6 比例的意义 两个比值相等的两个比 用等于连接起来 80 2 200 5 80 200 2 5 师 以上这些比中 有整数比也有小数比和分数比 只要两个比的比值相等 我们就可以用等号把它们 连接起来 把两个比值相等的比用等号连接起来的式子叫比例式 这节课我们就来学习比例的意义 板 书课题 师 通过学习要求同学们明确比例的意义 掌握组成比例的条件 并根据不同要求 正确地列出比例式 师 什么叫比例 启发学生回答并板书 表示两个比相等的式子叫做比例 师 1 比例是由几个比组成的 两个 2 是否任意的两个比都能组成比例呢 不是 3 组成比例的条件是什么 比值相等 师 只要两个比的比值相等 就可以连成比例式 这就是判断两个比是否组成比例的条件 7 正比例和反比例的意义 正比例和反比例正比例和反比例 正比例正比例 1 用文字来描述 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量相对应的 两个数的比值 也就是商 一定 这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系叫做正比例关系 正比例 的图像是一条直线 2 用字母表示 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量 用 k 表示它们的比值 一定 正比例关 系可以用以下关系式表示 y x k 一定 3 正比例关系两种相关联的量的变化规律 同时扩大 同时缩小 比值不变 例如 汽车每小时行驶的速度一定 所行的路程和所用的时间是否成正比例 以上各种商都是一定的 那么被除数和除数 所表示的两种相关联的量 成正比例关系 注意 在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量 虽然也是一种量 随着另 一种的变化而变化 但它们相对应的两个数的比值不一定 它们就不能成正比例 例如 一个人的年龄 和它的体重 就不能成正比关系 正方形的边长和它的面积也不成正比例关系 行驶的路程和时间是成 比例的量 正比例和反比例正比例和反比例 反比例反比例 1 用文字来描述 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量相对应的两个 数的比值 也就是商 一定 这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系叫做正比例关系 正比例的图 像是一条直线 2 用字母表示 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量 用 k 表示它们的比值 一定 正比例关 系可以用以下关系式表示 y x k 一定 3 正比例关系两种相关联的量的变化规律 同时扩大 同时缩小 比值不变 例如 汽车每小时行驶的速度一定 所行的路程和所用的时间是否成正比例 以上各种商都是一定的 那么被除数和除数 所表示的两种相关联的量 成正比例关系 注意 在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量 虽然也是一种量 随着另 一种的变化而变化 但它们相对应的两个数的比值不一定 它们就不能成正比例 例如 一个人的年龄 和它的体重 就不能成正比关系 正方形的边长和它的面积也不成正比例关系 行驶的路程和时间是成 比例的量 正比例和反比例正比例和反比例 反比例反比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量相对应的两个数的积一定 这 两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量 用 k 表示它们的积 反比例关系可以用下面关系式表示 x y k 一定 反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助学生认识的 在总数与份数关系中 包含总数 份 数和每份数 当总数一定时 每份数和份数是两种相关联的变量 如果每份数变化 份数也随着变化 同样如果份数变化 每份数也随着变化 它们的变化 无论扩大还是缩小 相对应的两个量的乘积 也 就是总数 一定 具体说 当总数一定时 每份数 或份数 扩大或缩小若干倍 份数 或每份数 反 而缩小或扩大相同的倍数 简称为 一扩一缩 或一缩一扩 具备这种变化关系的每份数和份数成反比 例关系 反比例关系在典型应用题中属于归总问题 反映在除法中 当被除数一定 除数和商成反比例 关系 在分数中 当分数的分子一定 分母与分数值成反比例关系 在比例中 比的前项一定 比的后 项与比值成反比例关系 如果再把总数与份数关系具体化为 在购物问题中 总价一定 单价和数量成 反比例关系 在行程问题中 路程一定 速度和时间成反比例关系 在做工问题中 工作总量一定 工 作效率和工作时间成反比例关系 如果两种量成反比例 那么一种量的任意两个数的比 等于另一种量 的两个对应数的反比 如 加工零件的总数一定 是 600 个 如果每小时加工 10 个 60 个小时完成任务 如果每小时加工 20 个 30 个小时完成任务 每小时加工数量的比 1 2 与它相对应的完成时间比是 2 1 2 1 是 1 2 的反比 之后 进一步理解反比例的意义 分析反比例的意义 成反比例的量包括三个数量 一个定量和两个变量 研究两个变量之间的扩大 或缩小 的变化关 系 一种量发生变化 引起另一种量发生相反的变化 这两种量是反比例的量 它们的关系成反比例关 系 成反比例的量 前提 两种相关的量 乘法关系 要求 一个量变化 另一个量也随着变化 并且 这两个量中相对应的两个数的乘积一定 结论 这两个量就叫做反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 字母表示法 设 x 与 y 是两个相关的量 具有相乘的关系 k 是 x 与 y 的乘积 k 一定 即 x y k 一定 接着用字母 x y 表示两种相关联的量 把正比例关系进一步抽象概括成 k 一定 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表 时间 时1234567 路程 km90180270360450540630 通过引导学生观察 思考 认识到路程和时间是两种相关联的量 路程是随着时间的变化而变化的 路 程和时间的比值都相等 一定 写成关系式就是速度 一定 在这两个例子的基础上 让学生比较它们有什么共同规律 从而进一步概括出 两种相关联的量 一 种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定 这两种量就叫做成正比 例的量 它们的关系叫做正比例关系 在此基础上 让学生利用正比例的意义判定上述两个例子中相关 联的量是不是成正比例关系 并说明为什么 在研究具体数量关系 明确什么是正比例关系后 可引导学生用字母表示出正比例关系 k 一定 结合这个关系式让学生说一说上面两个例子中 x y k 各表示什么 最后让学生举出一些生活中成正比例关系的例子 汇报时应说说所举例子中的两个量为什么是成正 比例关系的量 2 例 2 编写意图 教学正比例图像 函数的图像是用平面直角坐标系表示的 由于学生没有直角坐标系方面的知识 教材直接呈现出例 1 中体积与高度的正比例关系图像 正比例关系的图像是一条经过原点的直线 因为 小学阶段研究的数都是正数 所以表示的图像都限于平面直角坐标系的第一象限 再通过图下面的两个 问题 让学生体会正比例图像的特点和作用 加深对正比例的认识 教学建议 教学时 可以先出示坐标系说明如何描点连线画出正比例关系图像 再通过图下面的两个问题体会 正比例图像的特点 1 用图像表示正比例关系 可以先出示例 1 的数据表和坐标系 说明正比例关系可以通过一个图 像来表示 然后介绍坐标系横轴上和竖轴上的数据表示的含义 并结合例 1 数据表中的一对数据说明 表中的每一组数据都可以用一个点来表示 如 高度 2 cm 体积 50 cm 这对数据 就可以用 2 50 表 示 照此方法师生共同描出其余的点 并把描好的点连起来 形成一条直线 告诉学生这就是体积与高 度的正比例关系图像 2 认识正比例关系图像 结合问题 1 使学生了解从这个图像可以直观看到高度与体积的变化情况 高度增加 体积也随着增大 通过问题 2 使学生知道 利用正比例关系图像 不用计算 可以由一个量的值 直接找到对应的另一个 量的值 如 知道高度是 7 cm 可以从图像上找到高度是 7 的点 再找这个点对应的竖轴上的数 175 即高度是 7 cm 时 对应的体积 175 cm 3 做一做 是正比例知识的综合练习 可以边讨论边完成 3 例 3 编写意图 教学反比例的意义 教材通过研究装水实验中 水的高度和水杯底面积的关系来认识反比例的意义 编排思路与例 1 相类似 教学建议 有了学习正比例意义的基础 反比例意义的学习应更加体现学生的主体性 除了让学生发现成反比 例的量之间的关系 也可以让学生仿照正比例意义 尝试归纳反比例的意义 教学时 可以让学生找一找生活中有哪些成反比例的量 也可以举出一些数量关系 让学生判断是 否成反比例 并说说理由 以巩固对反比例意义的认识 相同点 正比例和反比例都含有三个数量 在这三个数量中 均有一个定量 两个变量 在正 反比例的两个变量中 均是一个量变化 另一个量也随之变化 并且变化方式均属于扩大 乘以一个数 或缩小 除以一个数 若干倍的变化 不同点 正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值 反比例的定量是两个变量中相对应的 两个数的积 正比例的图像时上升直线 反比例是曲线 公式不同 正比例是 x y k 一定 反比例是 xy k 一定 规律不同 正比例是一个数缩小 另一个数也缩小 一个数扩大 另一个数也扩大 反比例是一 个数缩小 另一个数就扩大 一个数扩大另一个数就缩小 8 圆柱的表面积 圆柱体的表面积 侧面积 底面积乘以 2 圆柱体的侧面积 底面周长乘以高 圆柱体的底面周长 直径乘以 3 14 9 圆柱 长方形的周长 长 宽 2 正方形的周长 边长 4 长方形的面积 长 宽 正方形的面积 边长 边长 三角形的面积 底 高 2 平行四边形的面积 底 高 梯形的面积 上底 下底 高 2 直径 半径 2 半径 直径 2 圆的周长 圆周率 直径 圆周率 半径 2 圆的面积 圆周率 半径 半径 长方体的表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 长方体的体积 长 宽 高 正方体的表面积 棱长 棱长 6 正方体的体积 棱长 棱长 棱长 圆柱的侧面积 底面圆的周长 高 圆柱的表面积 上下底面面积 侧面积 圆柱的体积 底面积 高 圆锥的体积 底面积 高 3 长方体 正方体 圆柱体 的体积 底面积 高 平面图形 名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a 边长 C 4a S a2 长方形 a 和 b 边长 C 2 a b S ab 三角形 a b c 三边长 h a 边上的高 s 周长的一半 A B C 内角 其中 s a b c 2 S ah 2 ab 2 sinC s s a s b s c 1 2 a2sinBsinC 2sinA 四边形 d D 对角线长 对角线夹角 S dD 2 sin 平行四边形 a b 边长 h a 边的高 两边夹角 S ah absin 菱形 a 边长 夹角 D 长对角线长 d 短对角线长 S Dd 2 a2sin 梯形 a 和 b 上 下底长 h 高 m 中位线长 S a b h 2 mh 圆 r 半径 d 直径 C d 2 r S r2 d2 4 扇形 r 扇形半径 a 圆心角度数 C 2r 2 r a 360 S r2 a 360 弓形 l 弧长 b 弦长 h 矢高 r 半径 圆心角的度数 S r2 2 180 sin r2arccos r h r r h 2rh h2 1 2 r2 360 b 2 r2 b 2 2 1 2 r l b 2 bh 2 2bh 3 圆环 R 外圆半径 r 内圆半径 D 外圆直径 d 内圆直径 S R2 r2 D2 d2 4 椭圆 D 长轴 d 短轴 S Dd 4 立方图形 名称 符号 面积 S 和体积 V 正方体 a 边长 S 6a2 V a3 长方体 a 长 b 宽 c 高 S 2 ab ac bc V abc 棱柱 S 底面积 h 高 V Sh 棱锥 S 底面积 h 高 V Sh 3 棱台 S1 和 S2 上 下底面积 h 高 V h S1 S2 S1S1 1 2 3 拟柱体 S1 上底面积 S2 下底面积 S0 中截面积 h 高 V h S1 S2 4S0 6 圆柱 r 底半径 h 高 C 底面周长 S 底 底面积 S 侧 侧面积 S 表 表面积 C 2 r S 底 r2 S 侧 Ch S 表 Ch 2S 底 V S 底 h r2h 空心圆柱 R 外圆半径 r 内圆半径 h 高 V h R2 r2 直圆锥 r 底半径 h 高 V r2h 3 圆台 r 上底半径 R 下底半径 h 高 V h R2 Rr r2 3 球 r 半径 d 直径 V 4 3 r3 d2 6 球缺 h 球缺高 r 球半径 a 球缺底半径 V h 3a2 h2 6 h2 3r h 3 a2 h 2r h 球台 r1 和 r2 球台上 下底半径 h 高 V h 3 r12 r22 h2 6 圆环体 R 环体半径 D 环体直径 r 环体截面半径 d 环体截面直径 V 2 2Rr2 2Dd2 4 桶状体 D 桶腹直径 d 桶底直径 h 桶高 V h 2D2 d2 12 母线是圆弧形 圆心是桶的中心 V h 2D2 Dd 3d2 4 15 母线是抛物线形 10 圆锥 圆锥体 基本概况 圆锥体的体积 底面积 高 1 3 圆锥体的表面积 1 2 母线 底面周长 地面积 即 S 圆锥体 1 2 r2 h2 d r2 1 圆锥体 名称 圆锥的高 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高 圆锥的侧面积 将圆锥的侧面积 不成曲线的展开 是一个扇形 圆锥的母线 圆锥的展开侧面的扇形的半径 圆锥体 体积公式 根据圆柱体积公式 V Sh V r 2h 得出圆锥体积公式 V 1 3Sh V 1 3SH S 是底面 积 h 是高 r 是底面半径 圆锥体 表面积 一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积 S r 2 n 360 r 2 或 r r 2 此 为角度制 11 整数和复习 第一章 数和数的运算 一 概念 一 整数 1 整数的意义 自然数和 0 都是整数 2 自然数 我们在数物体的时候 用来表示物体个数的 1 2 3 叫做自然数 一个物体也没有 用 0 表示 0 也是自然数 3 计数单位 一 个 十 百 千 万 十万 百万 千万 亿 都是计数单位 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10 这样的计数法叫做十进制计数法 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来 它们所占的位置叫做数位 5 数的整除 整数 a 除以整数 b b 0 除得的商是整数而没有余数 我们就说 a 能被 b 整除 或者说 b 能整除 a 如果数 a 能被数 b b 0 整除 a 就叫做 b 的倍数 b 就叫做 a 的约数 或 a 的因数 倍数和约 数是相互依存的 因为 35 能被 7 整除 所以 35 是 7 的倍数 7 是 35 的约数 一个数的约数的个数是有限的 其中最小的约数是 1 最大的 约数是它本身 例如 10 的约数有 1 2 5 10 其中最小的约数是 1 最大的约数是 10 一个数的倍数的个数是无限的 其中最小的倍数是它本身 3 的倍数有 3 6 9 12 其中最小 的倍数是 3 没有最大的倍数 个位上是 0 2 4 6 8 的数 都能被 2 整除 例如 202 480 304 都能被 2 整除 个位上是 0 或 5 的数 都能被 5 整除 例如 5 30 405 都能被 5 整除 一个数的各位上的数的和能被 3 整除 这个数就能被 3 整除 例如 12 108 204 都能被 3 整除 一个数各位数上的和能被 9 整除 这个数就能被 9 整除 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除 但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除 一个数的末两位数能被 4 或 25 整除 这个数就能被 4 或 25 整除 例如 16 404 1256 都能 被 4 整除 50 325 500 1675 都能被 25 整除 一个数的末三位数能被 8 或 125 整除 这个数就能被 8 或 125 整除 例如 1168 4600 5000 12344 都能被 8 整除 1125 13375 5000 都能被 125 整除 能被 2 整除的数叫做偶数 不能被 2 整除的数叫做奇数 0 也是偶数 自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数 一个数 如果只有 1 和它本身两个约数 这样的数叫做质数 或素数 100 以内的质数有 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 一个数 如果除了 1 和它本身还有别的约数 这样的数叫做合数 例如 4 6 8 9 12 都是合数 1 不是质数也不是合数 自然数除了 1 外 不是质数就是合数 如果把自然数按其约数的个数的不同 分类 可分为质数 合数和 1 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式 其中每个质数都是这个合数的因数 叫做这个合数的质 因数 例如 15 3 5 3 和 5 叫做 15 的质因数 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 叫做分解质因数 例如把 28 分解质因数 几个数公有的约数 叫做这几个数的公约数 其中最大的一个 叫做这几个数的最大公约数 例如 12 的约数有 1 2 3 4 6 12 18 的约数有 1 2 3 6 9 18 其中 1 2 3 6 是 12 和 1 8 的公 约数 6 是它们的最大公约数 公约数只有 1 的两个数 叫做互质数 成互质关系的两个数 有下列几种情况 1 和任何自然数互质 相邻的两个自然数互质 两个不同的质数互质 当合数不是质数的倍数时 这个合数和这个质数互质 两个合数的公约数只有 1 时 这两个合数互质 如果几个数中任意两个都互质 就说这几个数两两 互质 如果较小数是较大数的约数 那么较小数就是这两个数的最大公约数 如果两个数是互质数 它们的最大公约数就是 1 几个数公有的倍数 叫做这几个数的公倍数 其中最小的一个 叫做这几个数的最小公倍数 如 2 的倍数有 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 的倍数有 3 6 9 12 15 18 其中 6 12 18 是 2 3 的公倍数 6 是它们的最小公倍 数 如果较大数是较小数的倍数 那么较大数就是这两个数的最小公倍数 如果两个数是互质数 那么这两个数的积就是它们的最小公倍数 几个数的公约数的个数是有限的 而几个数的公倍数的个数是无限的 二 小数 1 小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份 100 份 1000 份 得到的十分之几 百分之几 千分之几 可以用 小数表示 一位小数表示十分之几 两位小数表示百分之几 三位小数表示千分之几 一个小数由整数部分 小数部分和小数点部分组成 数中的圆点叫做小数点 小数点左边的数叫做 整数部分 小数点左边的数叫做整数部分 小数点右边的数叫做小数部分 在小数里 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10 小数部分的最高分数单位 十分之一 和整数 部分的最低单位 一 之间的进率也是 10