第八章多元函数微分法及其应用.doc

第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1填空。（1）设，则=_； (2) 设则 =_； (3) 设若当时，则函数=_； (4) 函数的定义域是_； (5) 函数的定义域是，此定义域可用平面图形表示为_。2求极限。 （1） （2）4讨论函数的连续性。第二节 偏导数1填空。（1）则，；（2）则，； (3) 设，则=_, =_, =_,=_ _；（4）设 ，（为连续函数），则=_ _, =_ _。2证明函数在处连续，但偏导数不存在。3验证满足。4求下列函数的二阶偏导数（1） （2）第三节 全微分及其应用1填空。（1）设，则（2）设，则（3）设，则2求函数当时的全增量和全微分。3求函数的全微分4设证明在点(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微。第四节 多元复合函数的求导法则1请把及填入下列式子的空括号里，并写出计算结果。（1）设，而，则复合关系图为 ，从而_.（2） ，令， 则复合关系图为 ，且 = .2设,而，求，3设u=, 而，求.4设，而 ,为可导的函数，证明： 5设，其为可导的函数，验证.6设，其中是有一阶连续偏导数，求，第五节 隐函数的求导法则1设，求及2设， 用隐函数求导的公式求； 用复合函数求偏导数的方法求； 利用全微分形式不变性求出及。3 具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足4已知，求，是把变量 视为自变量，变量 与 视为变量 的函数。求出5已知，求， 与 看作自变量，而把变量 与 都看作 与 的函数，求出，6设，求第六节 微分法在几何上的应用1 螺旋线，在点处的切线和法平面方程。并证明其上任一点的切向量与轴成一定角。2 求曲线，在点处的切线和法平面方程。3 求曲面在点处的切平面和法线方程。4 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面，并写出该法线方程。5 证明锥面上任意一点处的切平面都通过锥面的顶点。6 试证曲面上的任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于。 第八节 多元函数的极值及其求法1 求函数的极值。2 求函数的极值。3 求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点。4 在球面位于第一卦限的部分求一点P，使该点处的切平面在三个坐标轴上截距的平方和最小。第八章 多元函数微分法及其应用总习题1 设，求，其中具有一阶连续偏导数。2 设，验证。3 设，又，求常数，使。4设，求及。5 设，问：（1）在点是否连续，为什么？（2）在点的偏导数，是否存在？（3）在点是否可微？为什么？6 设，其中有二阶连续偏导数，二阶可导，求。7 设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续的偏导数，试证明： 8 设，其中具有一阶连续的偏导数，利用全微分形式不变性求隐函数的全微分，并由此求出。10求曲线上点处的法平面与直线间的夹角。9 过直线，作曲面的切平面，求此切平面方程。10 经过点但不过原点的所有平面中，哪一个平面与坐标面所围成的立体的体积最小。第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质1 选择题. 设，若由轴，轴与直线围成，则在上 A B 由二重积分的性质可知 .A B C 2 填空题设若，区域为，则在上，的最小值为 最大值为 此时, .第二节 二重积分的计算法1 填空：改变积分次序(1) (2) 若则= .(3) 设： ，则应把二重积分化为先对_后对_的二次积分= . (4) 二重积分 2 画出积分区域，并计算下列二重积分。(1) ，其中D是顶点分别为，和的三角形闭区域.(2) 其中D是由直线，及所围成的闭区域.(3) ，其中D是由所确定的闭区域。3 化二重积分为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D由直线，及双曲线围成。4 求由曲线，所围成的平面图形位于第一象限部分的面积。 5 证明： 6 求下列空间域的体积。（1）标平面及平面，围成的立体；（2）曲面，围成的立体；7画出积分区域，并且把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1），（2）由曲线，及围成的闭区域；8利用极坐标计算：（1），其中是圆环形闭区域：；（2）其中D是由直线,及曲线所围成的闭区域；（3）其中D是由圆周所围成的闭区域；9求由圆和心形线所围图形（在圆外部分）的面积。 第三节 二重积分的应用1.求锥面被柱面所割下部分的曲面面积。2.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。3.求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成立体的表面积。第四节 三重积分的概念及其计算法1化为三次积分，其中积分区域分别是：(1) 由双曲抛物面及平面，所围成的闭区域；(2) 由曲面所围成的闭区域。2 计算，其中是由平面，所围成的空间域。3 计算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域。4 计算，其中由平面，以及抛物柱面所围成的闭区域。第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分1设由球面与锥面围成，则三重积分在三种坐标系下分别化为三次积分如下：直角坐标系： 柱面坐标系：球面坐标系：。2利用柱面坐标计算下列三重积分。（1），其中为锥面及平面所围成的闭区域；（2），其中由曲面及所围成的闭区域； (3) ，其中由曲面，所围成的闭区域。 3利用球坐标计算三重积分。 （1），其中是由球面所围成的闭区域；（2） 其中由不等式， 所确定。4选用适当的坐标系计算下列三重积分。（1），其中是由曲面，所围成闭区域；（2），其中是由不等式：，所确定；（3）其中是 ，的公共部分。5 利用三重积分计算：曲面所围成立体的体积。第九章 重积分复习题1 计算，：，。2计算，其中D由，围成。3 计算，其中：，。4 计算，其中D是闭区域。5 计算其中是由，围成闭区域。 6用“先二后一”法计算，其中由椭球面，所围成（部分）的闭区域。第十章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1计算,其中为右半单位圆周：，。2 计算其中是以，为顶点的三角形。3 求空间曲线，的弧长。 第二节 对坐标的曲线积分1计算，其中L为圆周（按逆时针方向绕行）。2计算,其中L是抛物线上从点到点的一段弧。3计算，其中L为摆线，上对应从到的一段弧。4 计算，其中为曲线上由点到点的部分。5计算其中L是从点到点的直线段。6 计算，其中为有向闭折线，这里的，依次为点， 及 。第三节 格林公式及其应用1设平面上闭曲线L所围成的闭区域为D，将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.(1) (a) (2) (b) （3） (c) 2证明只与的起讫点有关，而与所取路径无关，其中不与轴相交，且求积分的值。3计算,其中为从到的正弦曲线 。4已知连续，且，计算 ，其中是以线段为直径的上半圆周。5 证明为某一个二元函数的全微分，并求出一个这样的函数。6 确定的值,使曲线积分与路径无关，并求当点、分别为、时曲线积分的值。第四节 对面积的曲面积分1计算，其中为平面在第一卦限的部分。2 计算，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。3 计算，其中为抛物面在面上方的部分。4 计算，为球面。第五节 对坐标的曲面积分1当是面内的一个闭区域时，及与二重积分的关系为=2计算，其中为半球面的上侧。3 计算，其中是平面，+所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。4 计算，其中是过，三点的平面位于第一卦限的部分，取上侧。第六节 高斯公式1 计算，其中为平面，所围成的立体的表面的外侧。2 计算，其中是球面外侧的上半部分。3 计算，其中具有一阶连续的导数， 为柱面及平面，所围成立体的表面外侧。4 计算，其中为球面的内侧。5 计算，其中为曲面在平面右侧部分的外侧。第十章 曲线积分与曲面积分总习题1 填空。a) 设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分的值是_；b) 设L为取正向的圆周，则曲线积分的值是_。2 计算，其中是以点,为顶点的正方形边界。3计算，其中为螺线，=，上从点到点的弧段。4计算曲线积分，（1）L是圆周的正向；（2）是曲线的正向。5 设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且 。计算的值。6 计算，其中为球面的外侧。7 设空间区域由曲面与平面围成，其中为正的常数，又设表面的外侧为S，的体积为V，证明：8 计算I=，其中S是圆柱面被平面和所截出的部分的外侧。9 计算，其中为上半球面的上侧。第十一章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1如果级数收敛，则：(1) 级数100+ ；（2）级数 ；(3) 级数 。2若级数收敛，则级数 。3 已知级数=S，则级数的和是 。4级数是 ，级数收敛于 ，级数的和是 。5根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性。(1) (2)第二节 常数项级数的审敛法1 用比较审敛法及其极限形式判别下列级数的敛散性。(1) (2) (3) (4) (5) 1+2 用比值审敛法判别下列级数的敛散性。(1) (2) (3) (4) 3 用根值审敛法判别下列级数的敛散性。(1) (2) (3) (4) 4判别下列级数的敛散性。(1) (2) (3) , 其中，（，） 5判别下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛。(1) (2) (3) 第三节 幂级数1 求下列幂级数的收敛区间。（1） （2）2 已知幂级数，问,是否为此幂级数的收敛点。3 求下列幂级数的收敛区间与和函数。（1） （2）（3）4 证明级数收敛，并求其和。第四节 函数展开成幂级数1 将下列函数展开成的幂级数，并求其展开式成立的区间。（1） （2）（3） （4）2 将函数展开成的幂级数，并求其展开式成立的区间。3 将函数展开成的幂级数，并求其展开式成立的区间。4 将函数展开成的幂级数，并求其展开式成立的区间。第十一章 无穷级数总习题1判别下列级数的敛散性。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 利用级数收敛的必要条件，证明 。 3 讨论级数 的收敛性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？4 判定级数 （是常数，）的敛散性。5 设正项级数收敛，证明 收敛，并说明反之不成立。6 求下列幂级数的收敛区间与和函数。(1) (2) 7求下列级数的和。(1) (2) 8求极限 。9将函数展为的幂级数，并写出收敛区间。第十二章 微分方程第一节 微分方程的基本概念1 将下列方程与其名称用线连接起来。（1） （a）1阶微分方程（2） (b) 2阶微分方程（3） (c) 代数方程（4） (d) 偏微分方程（5） (e) 3阶微分方程2 设微分方程为。（1） 验证（为任意常数）是方程的通解；（2） 由通解求满足初始条件的解；（3） 说明上述通解和特解的几何意义。第二节 可分离变量的微分方程1 求下列微分方程的通解。（1） （2）（3）2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解。（1）， （2），3 一曲线过点，在该曲线上任一点处的法线与轴的交点为，且线段恰被轴平分，求此曲线方程。第三节 齐次方程1 求下列齐次方程的通解。（1） （2）（3） 2 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解。（1）， （2），3 用适当的变量代换求解下列方程。（1） （2）第四节 一阶线性微分方程1 求下列微分方程的通解。（1） （2）（为常数）（3） 2 求下列微分方程满足初始条件的特解。（1）， （2），（3） 3 求微分方程，满足的解。4 已知在全平面上与路径无关，其中具有一阶连续导数，并且是起点为，终点为的有向曲线时，该曲线积分值等于，试求函数。5 求下列贝努利方程的通解。（1） （2）（3） 第五节 全微分方程1 验证下列各方程为全微分方程，并求出方程的通解。(1) （2）2已知，试确定，使为全微分方程，并求此全微分方程的解。3利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解。(1) (2) 4 证明是微分方程的一个积分因子。第七节 可降阶的高阶微分方程1 求下列微分方程的通解。 (1) (2) (3) 2 求下列微分方程满足所给的初始条件的特解。（1），（2） ， (3) 第八节 高阶线性微分方程1 已知方程的两个特解为，试求该方程满足初始条件，的特解。2 已知函数和是二阶线性非齐次微分方程所对应的齐次方程的两个特解，而该非齐次线性微分方程本身的一个特解为，求此二阶线性非齐次微分方程的通解，并写出这个方程。第九节 二阶常系数齐次线性微分方程1 求下列微分方程的通解。（1） （2）（3） （4）2 求以为通解的微分方程（其中，为任意常数）。3 下列微分方程满足初始条件的特解。（1），（2），4 求满足初始条件，的特解，并将其展开成的幂级数。5 函数，满足条件，求由曲线与，所围成图形的面积。 第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程1 设，当下列情形时，写出非齐次方程特解的形式（不具体计算）。（1） （2） （3） （4） 2 求下列微分方程的通解。（1） （2）（3） （4） 3 求微分方程,的特解。4 试求函数，使曲线积分与路径无关。5 设曲线积分，其中为平面上任意一条封闭曲线，试确定函数和。 （假定，） 6 设二阶可微函数满足方程，求。第十二章 微分方程的复习题1 将下列方程的类型及求解方法用线连接起来。（1） （a）贝努力方程，作代换（2） （b）可分离变量的微分方程；分离变量两边积分（3） （c）以变量为函数，一阶线性非齐次微分方程，常数变易法（