第十一讲 含参变量的无限积分.doc

三、含参变量的无穷积分设二元函数在区域有定义，无穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分（值），于是，是上的函数，表为，称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，是参变量已知无穷积分与数值级数的敛散性概念、敛散性判别法及其性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分与函数级数之间亦应如此讨论函数级数的和函数的分析性质时，函数级数的一致收敛性起着重要作用；同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用，无穷积分都收敛，即，有，即，有 （4）一般来说，相等的之下，不同的也不同。是否存在一个通用的，有（4）式成立呢？事实上，有些参变量的无穷积分在上存在，于是，有下面的一致收敛概念：定义 若有，则称无穷积分在区间一致收敛；若无穷积分在区间不存在通用的，就称在区间非一致收敛现将一致收敛与非一致收敛对比如下：一致收敛： 有；非一致收敛：有例5 证明：积分在区间一致收敛，在上非一致收敛证：设，则 ，要使不等式成立，只要。取，于是，有，即积分在区间一致收敛另外，由于存在，有，即在非一致收敛定理5（柯西一致收敛准则）在区间一致收敛有证：“”由一致收敛的定义，有，从而，分别有 与 ，于是，“” 有，令，有，即在区间一致收敛定理6 若，有 ， （5）且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛证：已知收敛，根据12.1定理2（无穷积分的柯西收敛准则），即有，由不等式（5），有，由定理5知，无穷积分在区间一致收敛定理6中的函数称为优函数，定理6亦称为优函数判别法或判别法（魏尔斯特拉斯判别法）例6 证明：在一致收敛证：，有，已知收敛，由判别法知在一致收敛定理7（狄利克雷判别法）若满足下列条件：（1）在上一致有界；（2）是的单调函数，且当时，在上一致收敛于0则在上一致收敛定理8（阿贝尔判别法）若满足下列条件：（1）在上一致收敛；（2）是的单调函数，关于一致有界则在上一致收敛例7 证明：在一致收敛证：设，则（1）收敛，从而关于一致收敛；（2）对，关于单调，且关于一致有界：，由阿贝尔判别法知：在一致收敛定理9 若函数在连续，且无穷积分在一致收敛，则函数在连续证明：由一致收敛的定义，有，根据12.3定理1，函数在连续，当然在任意一点也连续，即对上述同样的，于是，即函数在连续定理10 若函数在连续，且无穷积分在一致收敛，则函数在可积，且，即，简称积分号下可积分证：根据上面定理9，函数在连续，则函数在区间可积由一致收敛的定义，有 （6）根据本节定理3，有，从而，由不等式（6），有，于是，有，即 定理11 若函数在区域连续，且无穷积分在区间收敛，而无穷积分在区间一致收敛，则函数在区间可导，且，即，简称积分号下可微分证明：，讨论积分根据上面定理10，有所以，即同样地，含参变量的瑕积分也有一致收敛及其判别法，它所定义的函数也有相似的分析性质，这里从略四、例（）例8 证明：证：首先注意不是被积函数的瑕点已知，有，而收敛，根据本节定理6，在一致收敛，根据上面定理10，交换积分次序，有例9 求狄利克雷积分解：12.1例11（P260）证明了无穷积分收敛（条件收敛）因为的原函数不是初等函数，所以不能直接求此积分，为此，在被积函数中引入一个“收敛因子”，讨论无穷积分 （7）显然，无穷积分（7）的被积函数及其关于的偏导数在连续（作连续开拓）由例7知无穷积分在一致收敛下面证明，无穷积分在一致收敛事实上：，有已知收敛，由本节定理6知，在一致收敛。由上面定理11，有 ，从而， （8），（8）式成立。下面确定常数有，即由（8）式，得，即 于是， （9）下面证明在右连续事实上，已知无穷积分（7）在区间一致收敛，根据上面定理9，在右连续