高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算课件.pptVIP

5 1平面向量的概念及线性运算 第五章平面向量 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量的有关概念 知识梳理 大小 方向 长度 模 0 0 1个单位 相同 相反 平行 相等 相同 相等 相反 三角形 2 向量的线性运算 平行四边形 b a a b c 几何画板展示 几何画板展示 三角形 相同 相反 0 a a a a b a 几何画板展示 3 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使b a 1 一般地 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量 即 特别地 一个封闭图形 首尾连接而成的向量和为零向量 2 若p为线段ab的中点 o为平面内任一点 则3 为实数 若点a b c共线 则 1 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段来表示向量 2 a 与 b 是否相等与a b的方向无关 3 若a b b c 则a c 4 若向量与向量是共线向量 则a b c d四点在一条直线上 5 当两个非零向量a b共线时 一定有b a 反之成立 6 若两个向量共线 则其方向必定相同或相反 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 p86例4 已知 abcd的对角线ac和bd相交于点o 且 a b 则 用a b表示 答案 解析 1 2 3 4 5 6 b a a b 3 p108b组t5 在平行四边形abcd中 若 则四边形abcd的形状为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 矩形 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知 四边形abcd是矩形 题组三易错自纠4 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 解析若a b 0 则a b 所以a b 若a b 则a b 0不一定成立 故前者是后者的充分不必要条件 解析 5 设向量a b不平行 向量 a b与a 2b平行 则实数 解析 答案 解析 向量a b不平行 a 2b 0 又向量 a b与a 2b平行 则存在唯一的实数 使 a b a 2b 成立 即 a b a 2 b 则 1 2 3 4 5 6 6 设d e分别是 abc的边ab bc上的点 若 1 2为实数 则 1 2的值为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 题型分类深度剖析 1 给出下列四个命题 若 a b 则a b 若a b c d是不共线的四点 则是四边形abcd为平行四边形的充要条件 若a b b c 则a c a b的充要条件是 a b 且a b 其中正确命题的序号是a b c d 解析 答案 题型一平面向量的概念 自主演练 解析 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 又a b c d是不共线的四点 四边形abcd为平行四边形 反之 若四边形abcd为平行四边形 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又b c b c的长度相等且方向相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 不正确 当a b且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b 且a b不是a b的充要条件 而是必要不充分条件 综上所述 正确命题的序号是 故选a 2 设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数是a 0b 1c 2d 3 解析 答案 解析向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 向量有关概念的关键点 1 向量定义的关键是方向和长度 2 非零共线向量的关键是方向相同或相反 长度没有限制 3 相等向量的关键是方向相同且长度相等 4 单位向量的关键是长度都是一个单位长度 5 零向量的关键是长度是0 规定零向量与任何向量共线 命题点1向量的线性运算典例 1 在 abc中 若点d满足等于 题型二平面向量的线性运算 多维探究 答案 解析 2 2017 青海西宁一模 如图 在 abc中 点d在bc边上 且cd 2db 点e在ad边上 且ad 3ae 则用向量为 答案 解析 命题点2根据向量线性运算求参数典例 1 在 abc中 点m n满足则x y 答案 解析 2 在 abc中 点d在线段bc的延长线上 且 点o在线段cd上 与点c d不重合 若 则x的取值范围是 答案 解析 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 1 向量加法或减法的几何意义 向量加法和减法均适合三角形法则 2 求已知向量的和 一般共起点的向量求和用平行四边形法则 求差用三角形法则 求首尾相连向量的和用三角形法则 3 求参数问题可以通过研究向量间的关系 通过向量的运算将向量表示出来 进行比较 求参数的值 跟踪训练如图 在正方形abcd中 点e是dc的中点 点f是bc上的一个靠近点b的三等分点 那么等于 答案 解析 2 如图 直线ef与平行四边形abcd的两边ab ad分别交于e f两点 且与对角线ac交于点k 其中 则 的值为 答案 解析 典例设两个非零向量a与b不共线 证明 题型三共线向量定理的应用 师生共研 求证 a b d三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 解答 解假设ka b与a kb共线 则存在实数 使ka b a kb 即 k a k 1 b 又a b是两个不共线的非零向量 k k 1 0 消去 得k2 1 0 k 1 若将本例 1 中 2a 8b 改为 a mb 则m为何值时 a b d三点共线 解答 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0成立 若 1a 2b 0 当且仅当 1 2 0时成立 则向量a b不共线 跟踪训练 1 2017 资阳模拟 已知向量 a 3b 5a 3b 3a 3b 则a a b c三点共线b a b d三点共线c a c d三点共线d b c d三点共线 解析 答案 2 已知a b c是直线l上不同的三个点 点o不在直线l上 则使等式成立的实数x的取值集合为 a 0 b c 1 d 0 1 解析 答案 典例下列叙述错误的是 填序号 若非零向量a与b方向相同或相反 则a b与a b之一的方向相同 a b a b a与b方向相同 向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b a 0 若 a b 则a b 容易忽视的零向量 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 答案 错解展示 中两个向量的和仍是一个向量 所以 0 错误答案 现场纠错 解析对于 当a b 0时 其方向任意 它与a b的方向都不相同 对于 当a b之一为零向量时结论不成立 对于 当a 0且b 0时 有无数个值 当a 0但b 0或a 0但b 0时 不存在 对于 由于两个向量之和仍是一个向量 所以 0 对于 当 0时 不管a与b的大小与方向如何 都有 a b 此时不一定有a b 故 均错 纠错心得在考虑向量共线问题时 要注意考虑零向量 课时作业 1 2018 济南调研 以下命题 a 与 b 是否相等与a b的方向无关 两个具有公共终点的向量 一定是共线向量 两个向量不能比较大小 但它们的模能比较大小 单位向量都是共线向量 其中 正确命题的个数是a 0b 1c 2d 3 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 错误 解析 答案 2 设a是非零向量 是非零实数 下列结论中正确的是a a与 a的方向相反b a与 2a的方向相同c a a d a a 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析对于a 当 0时 a与 a的方向相同 当 0时 a与 a的方向相反 b正确 对于c a a 由于 的大小不确定 故 a 与 a 的大小关系不确定 对于d a是向量 而 a 表示长度 两者不能比较大小 3 3 2017 海南校级模拟 在四边形abcd中 设等于a a bb a bc b ad 不能确定 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 已知 则下列一定共线的三点是a a b cb a b dc b c dd a c d 解析因为 3a 6b 3 a 2b 有公共点a 所以a b d三点共线 3 5 2018 济宁模拟 如图所示 在 abc中 点o是bc的中点 过点o的直线分别交直线ab ac于不同的两点m n 若 则m n的值为 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 1b 2c 3d 4 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 o为bc的中点 3 6 2018 聊城质检 设a b不共线 若a b d三点共线 则实数p的值为 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a 2b 1c 1d 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2a pb 2a b a b不共线 2 2 p 1 p 1 3 7 已知两个非零向量a b满足 a b a b 则下列结论正确的是 填序号 a b a b a b a b a b 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析根据向量加法 减法的几何意义可知 a b 与 a b 分别为以向量a b为邻边的平行四边形的两条对角线的长 因为 a b a b 所以该平行四边形为矩形 所以a b 3 8 2018 青岛质检 已知d e f分别为 abc的边bc ca ab的中点 且 给出下列命题 其中正确命题的序号为 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 所以正确命题的序号为 9 如图所示 在 abc中 d为bc边上的一点 且bd 2dc 若 m n r 则m n 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 10 在直角梯形abcd中 a 90 b 30 ab 2 bc 点e在线段cd上 若 则 的取值范围是 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 11 2017 安徽马鞍山质检 已知p q为 abc中不同的两点 且 0 则s pab s qab为 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 解析 答案 1 2 解析因为 0 所以p在与bc平行的中位线上 且是该中位线上的一个三等分点 可得s pab 0 可得q是 abc的重心 因此s qab s abc s pab s qab 1 2 故选a 13 3 12 2018 重庆调研 如图所示 在 abc中 d f分别是ab ac的中点 bf与cd交于点o 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 13 2017 福建福州一中模拟 已知 abc和点m满足 0 若存在实数m 使得成立 则m 技能提升练 解析 答案 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3 14 2018 泉州模拟 已知点d为 abc所在平面上一点 且满足 若 acd的面积为1 则 abd的面积为 答案 解析 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3 15 2018 太原质检 设g为 abc的重心 且 0 则角b的大小为 拓展冲刺练 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 答案 解析 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12