高中数学_集合知识讲解

1 1 集合集合 一 章节结构图一 章节结构图 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA 元素与集合的关系 属于 和不属于 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合与元素 集合的分类 按集合中元素的个数多少分为 有限集 无限集 空集 集合的表示方法 列举法 描述法 自然语言描述 特征性质描述 图示法 区间法 子集 若 则 即是的子集 若集合中有个元素 则集合的子集有个 注 关系 集合 集合与集合 00 2 1 2 3 4 n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有个 任何一个集合是它本身的子集 即 对于集合如果 且那么 空集是任何集合的 真 子集 真子集 若且 即至少存在但 则是的真子集 集合相等 且 定义 且 交集 性质 运算 U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B 定义 或 并集 性质 定义 且 补集性质 UUU CABC AC B 二 复习指导二 复习指导 1 新课标知识点梳理 在高中数学中 集合的初步知识与常用逻辑用语知识 与其它内容有着密切联系 它们是学习 掌握和使 用数学语言的基础 准确表述数学内容 更好交流的基础 集合知识点及其要求如下 集合知识点及其要求如下 1 集合的含义与表示 1 通过实例 了解集合的含义 体会元素与集合的 属于 关系 2 能选择自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 感受 集合语言的意义和作用 2 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中 了解全集与空集的含义 3 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的作用 1 1 集合的概念及其运算集合的概念及其运算 一一 一一 复习指导复习指导 本节主要内容 理解集合 子集 交集 并集 补集的概念 了解空集和全集的意义 了解属于 包含 相等关系的意义 会用集合的有关术语和符号表示一些简单 的集合 高考中经常把集合的概念 表示和运算 放在一起考查 因此 复习中要把重点放在准确理解集合概念 正确使用符号及准确进行集合的运算上 2 2 1 集合的基本概念 1 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集合中每个对象叫做这个集合的元素 集合中的元素是确 定的 互异的 又是无序的 2 不含任何元素的集合叫做空集 记作 3 集合可分为有限集与无限集 4 集合常用表示方法 列举法 描述法 大写字母法 图示法及区间法 5 元素与集合间的关系运算 属于符号记作 不属于 符号记作 2 集合与集合的关系 对于两个集合 A 与 B 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 就说集合 B 包含集合 A 记作 A B 读作 A 包含于 B 这时也说集合 A 是集合 B 的子集 也可以记作 B A 读作 B 包含 A 子集有传递性 若 AB BC 则有 AC 空集是任何集合的子集 即A 真子集 若 AB 且至少有一个元素 b B 而 bA 称 A 是 B 的真子集 记作 A B 或 BA 若 AB 且 BA 那么 A B 含 n n N 个元素的集合 A 的所有子集的个数是 2 的 n 次方个 二二 解题方法指导解题方法指导 例例 1 选择题 1 不能形成集合的是 A 大于 2 的全体实数 B 不等式 3x 5 6 的所有解 C 方程 y 3x 1 所对应的直线上的所有点 D x 轴附近的所有点 2 设集合 则下列关系中正确的是 62 23 xxxA A x A B xA C x A D x A 3 设集合 则 2 1 4 4 1 2 ZZ k k xxNk k xxM A M N B M N C M N D M N 例例 2 已知集合 试求集合 A 的所有子集 6 8 NN x xA 例例 3 已知 A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 B 且 BA 求 m 的取值范围 例例 4 已知集合 A x 1 x a B y y 3x 2 x A C z z x2 x A 若 CB 求实数 a 的取值范围 1 2 集合的概念及其运算集合的概念及其运算 二二 一一 复习指导复习指导 1 补集 如果 AS 那么 A 在 S 中的补集sA x x S 且 x A 2 交集 A B x x A 且 x B 3 3 3 并集 A B x x A 或 x B 这里 或 包含三种情形 x A 且 x B x A 但 xB x B 但 xA 这三部分元素构成了 A B 4 交 并 补有如下运算法则 全集通常用 U 表示 U A B UA UB A B C A B A C U A B UA UB A B C A B A C 5 集合间元素的个数 card A B card A card B card A B 集合关系运算常与函数的定义域 方程与不等式解集 解析几何中曲线间的相交问题等结合 体现出集合 语言 集合思想在其他数学问题中的运用 因此集合关系运算也是高考常考知识点之一 二二 解题方法指导解题方法指导 例例 1 1 设全集 U a b c d e 集合 M a b c 集合 N b d e 那么 UM UN 是 A B d C a c D b e 2 全集 U a b c d e 集合 M c d e N a b e 则集合 a b 可表示为 A M N B UM N C M UN D UM UN 例例 2 如图 U 是全集 M P S 为 U 的 3 个子集 则下图中阴影部分所表示的集合为 A M P S B M P S C M P US D M P US 例例 3 1 设 A x x2 2x 3 0 B x ax 1 若 A B A 则实数 a 的取值集合为 2 已知集合 M x x a 0 N x ax 1 0 若 M N M 则实数 a 的取值集合为 例例 4 定义集合 A B x x A 且 xB 1 若 M 1 2 3 4 5 N 2 3 6 则 N M 等于 A M B N C 1 4 5 D 6 2 设 M P 为两个非空集合 则 M M P 等于 A P B M P C M P D M 例例 5 全集 S 1 3 x3 3x2 2x A 1 2x 1 如果 sA 0 则这样的实数 x 是否存在 若存在 求出 x 若不存在 请说明理由 例例 题题 解解 析析 1 1 集合的概念及其运算集合的概念及其运算 1 例例 1 分析 1 集合中的元素是确定的 互异的 又是无序的 2 注意 与 以及 x 与 x 的区别 3 可利用特殊值法 或者对元素表示方法进行转换 4 4 解 解 1 选 D 附近 不具有确定性 2 选 D 3 选 B 方法一 故排除 A C 又 故排除 D NM 2 1 2 1 N 4 3 4 3 M 方法二 集合 M 的元素集合 N 的元素 12 4 1 4 1 2 Z kk k x 2 1 4 k x 而 2k 1 为奇数 k 2 为全体整数 因此 M N Z kk 2 4 1 小结 小结 解答集合问题 集合有关概念要准确 如集合中元素的三性 使用符号要正确 表示方法会灵活转 化 例例 2 分析 本题是用 x x P 形式给出的集合 注意本题中竖线前面的代表元素 x N 解 解 由题意可知 6 x 是 8 的正约数 所以 6 x 可以是 1 2 4 8 可以的 x 为 2 4 5 即 A 2 4 5 A 的所有子集为 2 4 5 2 4 2 5 4 5 2 4 5 小结 小结 一方面 用 x x P 形式给出的集合 要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它所具有的性质 P 另一方面 含 n n N 个元素的集合 A 的所有子集的个数是 个 210 nnn CCC nn n C2 例例 3 分析 重视发挥图示法的作用 通过数轴直观地解决问题 注意端点处取值问题 解 解 由题设知 512 21 121 m m mm 解之得 2 m 3 小结 小结 1 要善于利用数轴解集合问题 2 此类题常见错误是 遗漏 等号 或多 等号 可通过验证 等号 问题避免犯错 3 若去掉条件 B 则不要漏掉A 的情况 例例 4 分析 要首先明确集合 B C 的意义 并将其化简 再利用 CB 建立关于 a 的不等式 解 解 A 1 a B y y 3x 2 x A B 5 3a 2 1 0 10 1 0 01 1 2 2 2 aa a aa CAxxzzC 1 当 1 a 0 时 由 CB 得 a2 1 3a 2 无解 2 当 0 a 1 时 1 3a 2 得 a 1 3 当 a 1 时 a2 3a 2 得 1 a 2 综上所述 实数 a 的取值范围是 1 2 小结 小结 准确理解集合 B 和 C 的含义 分别表示函数 y 3x 2 y x2的值域 其中定义域为 A 是解本题的关 键 分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点 若结合图象分析 结果更易直观理解 1 2 集合的概念及其运算集合的概念及其运算 2 例例 1 分析 注意本题含有求补 求交两种运算 求补集要认准全集 多种运算可以考虑运算律 解 解 1 方法一 UM b c UN a c UM UN 答案选 A 方法二 UM UN U M N 答案选 A 方法三 作出文氏图 将抽象的关系直观化 答案选 A 2 同理可得答案选 B 小结 小结 交 并 补有如下运算法则 U A B UA UB A B C A B A C 5 5 U A B UA UB A B C A B A C 例例 2 分析 此题为通过观察图形 利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断 解 解 阴影中任一元素 x 有 x M 且 x P 但 xS x US 由交集 并集 补集的意义 x M P US 答案选 D 小结 小结 灵活进行图形语言 文字语言 符号语言的转化是学好数学的重要能力 例例 3 解 解 1 由已知 集合 A 1 3 0 1 0 a a a B A B A 得 BA 分 B 和两种情况 1 aB 当 B 时 解得 a 0 当时 解得 a 的取值 1 aB 3 1 1 综上可知 a 的取值集合为 3 1 1 0 2 由已知 0 1 0 a a a NaM M N MMN 当 N 时 解得 a 0 M 0 即 M N M a 0 舍去 当时 解得 1 aN 1 1 a a a 综上可知 a 的取值集合为 1 1 小结 小结 要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用 A B A A B B A B A A B B A U A A UA U A B AAB A B BAB 等 要注意是任何集合的子集 但使用时也要看清题目条件 不要盲目套用 例例 4 解 1 方法一 由已知 得 N M x x N 且 xM 6 选 D 方法二 依已知画出图示 选 D 2 方法一 M P 即为 M 中除去 M P 的元素组成的集合 故 M M P 则为 M 中除去不为 M P 的元 素的集合 所以选 B 方法二 由图示可知 M M P M P 选 B