高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 第1课时 利用导数研究函数的单调性课件 理 北师大版.ppt

3 2导数的应用 第三章导数及其应用 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的单调性如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是增加的 如果在某个区间内 函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是减少的 2 函数的极值如果函数y f x 在区间 a x0 上是增加的 在区间 x0 b 上是减少的 则x0是 f x0 是 如果函数y f x 在区间 a x0 上是减少的 在区间 x0 b 上是增加的 则x0是 f x0 是 知识梳理 极大值点 极大值 极小值 极小值点 3 函数的最值 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上是增加的 则为函数的最小值 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上是减少的 则为函数的最大值 为函数的最小值 3 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各与处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 f a f b f a f b 极值 端点 极值 1 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间是增加的或减少的充分不必要条件 2 可导函数f x 在 a b 上是增加的或减少的的充要条件是对任意x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 上的任何子区间内都不恒为零 3 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 知识拓展 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若函数f x 在 a b 上是增加的 那么一定有f x 0 2 如果函数f x 在某个区间内恒有f x 0 则f x 在此区间内没有单调性 3 函数的极大值不一定比极小值大 4 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 4 5 6 答案 3 题组二教材改编2 如图是函数y f x 的导函数y f x 的图像 则下面判断正确的是a 在区间 2 1 上f x 是增加的b 在区间 1 3 上f x 是减少的c 在区间 4 5 上f x 是增加的d 当x 2时 f x 取到极小值 解析 解析在 4 5 上f x 0恒成立 f x 是增加的 7 8 1 2 4 5 6 答案 解析 3 设函数f x lnx 则a x 为f x 的极大值点b x 为f x 的极小值点c x 2为f x 的极大值点d x 2为f x 的极小值点 当02时 f x 0 x 2为f x 的极小值点 3 7 8 4 函数f x x3 6x2的递减区间为 解析f x 3x2 12x 3x x 4 由f x 0 得0 x 4 函数f x 的递减区间为 0 4 解析 1 2 4 5 6 3 0 4 答案 7 8 5 函数y x 2cosx在区间上的最大值是 解析 y 1 2sinx 解析 1 2 4 5 6 3 答案 7 8 题组三易错自纠6 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图像如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 一个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 解析 1 2 4 5 6 解析导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点 第一个与第三个是极大值点 第二个与第四个是极小值点 3 答案 7 8 7 已知定义在实数集r上的函数f x 满足f 1 3 且f x 的导数f x 在r上恒有f x 2 x r 则不等式f x 2x 1的解集为 解析 1 2 4 5 6 解析令g x f x 2x 1 g x f x 21 不等式的解集为 1 3 1 答案 7 8 8 设a r 若函数y ex ax有大于零的极值点 则实数a的取值范围是 解析 1 2 4 5 6 解析 y ex ax y ex a 函数y ex ax有大于零的极值点 方程y ex a 0有大于零的解 当x 0时 ex 1 a ex 1 3 1 答案 7 8 几何画板展示 题型分类深度剖析 第1课时导数与函数的单调性 题型一不含参数的函数的单调性 自主演练 答案 解析 2 已知函数f x xlnx 则f x a 在 0 上是增加的b 在 0 上是减少的 解析 答案 解析因为函数f x xlnx的定义域为 0 所以f x lnx 1 x 0 3 2018 开封调研 已知定义在区间 上的函数f x xsinx cosx 则f x 的递增区间是 解析 答案 解析f x sinx xcosx sinx xcosx 令f x xcosx 0 确定函数单调区间的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为递减区间 典例已知函数f x ln ex 1 ax a 0 讨论函数y f x 的单调区间 解答 题型二含参数的函数的单调性 师生共研 当a 1时 f x 0 得 1 a ex 1 1 由f x 0 得 1 a ex 1 1 当a 0 1 时 综上 当a 1 时 f x 在r上是减少的 1 研究含参数的函数的单调性 要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 2 划分函数的单调区间时 要在函数定义域内讨论 还要确定导数为零的点和函数的间断点 跟踪训练已知函数f x ex ax2 2x 2 a 0 试讨论f x 的单调性 解答 解由题意得f x ex ax2 2a 2 x a 0 当a 1时 f x 在 内是增加的 命题点1比较大小或解不等式 解析 题型三函数单调性的应用问题 多维探究 答案 解析 2 设f x 是定义在r上的奇函数 f 2 0 当x 0时 有0的解集是 答案 2 0 2 在 0 上 当且仅当00 此时x2f x 0 又f x 为奇函数 h x x2f x 也为奇函数 故x2f x 0的解集为 2 0 2 解答 命题点2根据函数单调性求参数典例 2018 石家庄质检 已知函数f x lnx g x ax2 2x a 0 1 若函数h x f x g x 存在递减区间 求a的取值范围 又因为a 0 所以a的取值范围为 1 0 0 解答 2 若函数h x f x g x 在 1 4 上是减少的 求a的取值范围 几何画板展示 解因为h x 在 1 4 上是减少的 1 本例 2 中 若函数h x f x g x 在 1 4 上是增加的 求a的取值范围 解因为h x 在 1 4 上是增加的 所以当x 1 4 时 h x 0恒成立 解答 所以a 1 即a的取值范围是 1 2 本例 2 中 若h x 在 1 4 上存在递减区间 求a的取值范围 解h x 在 1 4 上存在递减区间 则h x 0在 1 4 上有解 解答 所以a 1 又因为a 0 所以a的取值范围是 1 0 0 根据函数单调性求参数的一般思路 1 利用集合间的包含关系处理 y f x 在 a b 上单调 则区间 a b 是相应单调区间的子集 2 f x 是增加的的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上 f x 不恒为零 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解 3 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 跟踪训练已知函数f x 2x2 lnx在区间 1 2 上为单调函数 求a的取值范围 解答 典例 12分 已知函数g x lnx ax2 2a 1 x 若a 0 试讨论函数g x 的单调性 用分类讨论思想研究函数的单调性 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论 常见的分类讨论标准有以下几种可能 方程f x 0是否有根 若f x 0有根 求出根后判断其是否在定义域内 若根在定义域内且有两个 比较根的大小是常见的分类方法 规范解答 函数g x 的定义域为 0 由g x 0 得01 4分 综上可得 当a 0时 函数g x 在 0 1 上是增加的 在 1 上是减少的 课时作业 1 函数f x x2 2lnx的递减区间是a 0 1 b 1 c 1 d 1 1 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x 0 1 时 f x 0 f x 是增加的 解析 答案 2 2018 济南调研 已知定义在r上的函数f x 其导函数f x 的大致图像如图所示 则下列叙述正确的是a f b f c f d b f b f a f e c f c f b f a d f c f e f d 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得 当x c 时 f x 0 所以函数f x 在 c 上是增加的 因为af b f a 故选c 解析 3 已知m是实数 函数f x x2 x m 若f 1 1 则函数f x 的递增区间是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 解析 f x 3x2 2mx f 1 3 2m 1 解得m 2 由f x 3x2 4x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 已知函数f x x3 ax 4 则 a 0 是 f x 在r上是增加的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故 a 0 是 f x 在r上是增加的 充分不必要条件 5 若函数f x kx lnx在区间 1 上是增加的 则k的取值范围是a 2 b 1 c 2 d 1 解析 答案 因为f x 在区间 1 上增加的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 2018 重庆质检 函数f x 在定义域r内可导 若f x f 2 x 且当x 1 时 x 1 f x 0 设a f 0 b c f 3 则a a b cb c b ac c a bd b c a 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由题意得 当x0 f x 在 1 上是增加的 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 若函数f x x3 bx2 cx d的递减区间为 1 3 则b c 12 解析f x 3x2 2bx c 由题意知 1 x 3是不等式3x2 2bx c 0的解 1 3是f x 0的两个根 b 3 c 9 b c 12 8 2018 昆明调研 已知函数f x x r 满足f 1 1 f x 的导数f x 则不等式f x2 的解集为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x x1 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即函数f x 在r上是减少的 f x2 1 即不等式的解集为 x x1 解析 答案 由已知得g x 0在 1 2 上恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0 则使得f x 0成立的x的取值范围是 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 0 1 答案 解析因为f x x r 为奇函数 f 1 0 所以f 1 f 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则g x 为偶函数 g 1 g 1 0 故g x 在 0 上是减少的 在 0 上是增加的 所以在 0 上 当0 x 1时 由g x g 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以f x 0 综上知 使得f x 0成立的x的取值范围是 1 0 1 11 2018 大理质检 已知函数f x k为常数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 1 求实数k的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求函数f x 的单调区间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以h x 在 0 上是减少的 由h 1 0知 当0 x 1时 h x 0 所以f x 0 当x 1时 h x 0 所以f x 0 综上 f x 的递增区间是 0 1 递减区间是 1 解答 12 2018届信阳高级中学考试 已知函数f x 1 b r e为自然对数的底数 在点 0 f 0 处的切线经过点 2 2 讨论函数f x f x ax a r 的单调性 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解因为f 0 b 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当a 0时 f x 0时 由f x 0 得x lna 故当a 0时 函数f x 在r上是减少的 当a 0时 函数f x 在 lna 上是减少的 在 lna 上是增加的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 2017 承德调研 已知f x 是可导的函数 且f x e2017f 0 b f 1 ef 0 f 2017 e2017f 0 c f 1 ef 0 f 2017 e2017f 0 d f 1 ef 0 f 2017 e2017f 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以g 1 g 0 g 2017 g 0 故f 1 ef 0 f 2017 e2017f 0 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 已知函数f x x2 4x 3lnx在区间 t t 1 上不单调