高考数学一轮总复习 第八篇 第5讲 垂直关系课件 理 湘教版.ppt

第5讲垂直关系 2014年高考会这样考 1 以锥体 柱体为载体考查线面垂直的判定 考查空间想象能力 逻辑思维能力 考查转化与化归思想的应用能力 2 能以立体几何中的定义 公理和定理为出发点 运用公理 定理和已获得的结论 证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题 考点梳理 1 定义 如果一条直线与一个平面相交 并且垂直于这个平面内所有的直线 就称这条直线与这个平面垂直 记作 1 直线与平面垂直 2 判定定理 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线 那么这条直线就与这个平面垂直 符号表示a b a b m l l a l b l 图形表示如右图 l 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号表示a b a b 图形表示如图1 图1图2 4 其它结论 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面 符号表示a b a b 图形表示如图2 1 定义 如果两个相交平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 记作 2 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面垂直 符号表示a a 图形表示如图3 图3图4 2 平面与平面垂直 90 3 性质定理 两个平面垂直 则其中一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号表示 l m l m m 图形表示如图4 一个转化垂直问题的转化关系 助学 微博 四种方法证明线面垂直的方法 判定定理 平行线垂直平面的传递性 a b b a 面面垂直的性质定理 面面平行的性质 a a a l mb l mc l m d l m 解析由l m l m 又m m一定平行于 内的一条直线b b 答案d 考点自测 1 已知直线l 直线m 下列命题中正确的是 m n m n m n m n m n m n m m n n 其中真命题的是 a b c d 2 m n是空间中两条不同直线 是两个不同平面 下面有四个命题 解析 中 由n 得n 或n 又m m n 故 正确 中 可能n 故 错误 中 直线n可能与平面 斜交或平行 也可能在平面 内 故 错 中 由m n m 可得n 又 可得n 故 正确 答案b a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析若 又 m b b m 根据两个平面垂直的性质定理可得b 又因为a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 一定有b a 但不能保证b 即不能推出 答案a 3 2012 安徽 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 a 存在某个位置 使得直线ac与直线bd垂直b 存在某个位置 使得直线ab与直线cd垂直c 存在某个位置 使得直线ad与直线bc垂直d 对任意位置 三对直线 ac与bd ab与cd ad与bc 均不垂直 答案b 解析由线面垂直知 图中直角三角形为4个 答案4 5 如图 已知pa 平面abc bc ac 则图中直角三角形的个数为 考向一直线与平面垂直的判定与性质 审题视点 1 由ph ad及ab 平面pad可证 2 以ad为 bcf的高 而点e到平面bcf的距离可借助ph垂直底面abcd求得 3 取pa的中点m 可证dm綉fe 且dm 平面pab 从而得证 1 证明因为ab 平面pad ph 平面pad 所以ph ab 因为ph为 pad中ad边上的高 所以ph ad 又ab ad a ab ad 平面abcd 所以ph 平面abcd 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直 途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直 推证线线垂直时注意分析几何图形 寻找隐含条件 三角形全等 等腰梯形底边上的中线 高 勾股定理等都是找线线垂直的方法 训练1 如图 已知bd 平面abc ac bc n是棱ab的中点 求证 cn ad 证明 bd 平面abc cn 平面abc bd cn 又 ac bc n是ab的中点 cn ab 又 bd ab b cn 平面abd 而ad 平面abd cn ad 例2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab ad 1 aa1 2 m是棱cc1的中点 证明 平面abm 平面a1b1m 考向二平面与平面垂直的判定与性质 审题视点 考虑先证明直线bm 平面a1b1m 则由面面垂直的判定定理可得平面abm a1b1m 证明面面垂直的方法有 一是定义法 即证明两个平面的二面角为直二面角 二是用判定定理 即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线 也就是把 面面垂直 问题转化为 线面垂直 问题 又将 线面垂直 问题进一步转化为 线线垂直 问题 训练2 在如图所示的几何体中 正方形abcd和矩形abef所在的平面互相垂直 m为af的中点 bn ce 1 求证 cf 平面mbd 2 求证 cf 平面bdn 证明 1 连接ac交bd于点o 连接om 因为四边形abcd是正方形 所以o为ac的中点 因为m为af的中点 所以fc mo 又因为mo 平面mbd fc 平面mbd 所以fc 平面mbd 2 因为正方形abcd和矩形abef所在的平面互相垂直 所以af 平面abcd 又bd 平面abcd 所以af bd 又因为四边形abcd是正方形 所以ac bd 因为ac af a 所以bd 平面acf 因为fc 平面acf 所以fc bd 因为ab bc ab be bc be b 所以ab 平面bce 因为bn 平面bce 所以ab bn 易知ef ab 所以ef bn 又因为ec bn ef ec e 所以bn 平面cef 因为fc 平面cef 所以bn cf 因为bd bn b 所以cf 平面bdn 1 设m是pc上的一点 求证 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 考向三垂直关系的综合应用 审题视点 1 因为两平面垂直与m点位置无关 所以在平面mbd内一定有一条直线垂直于平面pad 考虑证明bd 平面pad 2 四棱锥底面为一梯形 高为p到面abcd的距离 1 对于三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 对于垂直与体积结合的问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 训练3 2012 江苏 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 a1b1 a1c1 d e分别是棱bc cc1上的点 点d不同于点c 且ad de f为b1c1的中点 求证 1 平面ade 平面bcc1b1 2 直线a1f 平面ade 证明 1 因为abc a1b1c1是直三棱柱 所以cc1 平面abc 又ad 平面abc 所以cc1 ad 又因为ad de cc1 de 平面bcc1b1 cc1 de e 所以ad 平面bcc1b1 又ad 平面ade 所以平面ade 平面bcc1b1 2 因为a1b1 a1c1 f为b1c1的中点 所以a1f b1c1 因为cc1 平面a1b1c1 且a1f 平面a1b1c1 所以cc1 a1f 又因为cc1 b1c1 平面bcc1b1 cc1 b1c1 c1 所以a1f 平面bcc1b1 由 1 知ad 平面bcc1b1 所以a1f ad 又ad 平面ade a1f 平面ade 所以直线a1f 平面ade 命题研究 通过分析近几年各省市的高考试题可以看出 高考对线面垂直 面面垂直的判定和性质的考查每年都有 主要以解答题形式出现 考查线面位置关系的相互转化 难度适中 规范解答13 垂直关系综合问题的规范解答 1 证明 pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 教你审题 1 证明pq dc pq qd 进而可得pq 平面dcq 2 设出正方形的边长为a 分别计算两个棱锥的体积 再求体积的比值 阅卷老师手记 解答此类问题 以下几点易造成失分 1 解题时忽视各种垂直间的转化 从而造成思路受阻 2 缺乏空间想象能力 找不出应该垂直的线和面 3 答题过程书写不规范 如在证明线面垂直时忽视了对 平面内两条相交直线 的叙述 因此 在复习中要重视对基础知识的积累 解题过程的规范 并且要善于使用数学符号进行表达 证明线面垂直问题的答题模板第一步 作 找 出所证线面垂直中的平面内的两条相交直线 第二步 证明线线垂直 第三步 根据