反比例函数典型例题

1 反比例函数 知识点及考点 知识点及考点 一 反比例函数的概念 一 反比例函数的概念 知识要点 知识要点 1 一般地 形如 一般地 形如 y k 是常数是常数 k 0 的函数叫做反比例函数 的函数叫做反比例函数 x k 注意 注意 1 常数 常数 k 称为比例系数 称为比例系数 k 是非零常数 是非零常数 2 解析式有三种常见的表达形式 解析式有三种常见的表达形式 A y k 0 B xy k k 0 C C y kxy kx 1 1 k 0k 0 x k 例题讲解 有关反比例函数的解析式例题讲解 有关反比例函数的解析式 例一例一 下列函数 其中是 y 关于1 2 yx 1 1 x y 2 1 x y x y 2 1 2 x y 1 3 y x x 的反比例函数的有 例二例二 函数是反比例函数 则的值是 2 2 2 a xaya A 1 B 2 C 2 D 2 或 2 例三 例三 若函数 m 是常数 是反比例函数 则 m 解析式为 1 1 m x y 例四例四 如果是的反比例函数 是的反比例函数 那么是的 ymmxyx A 反比例函数 B 正比例函数 C 一次函数 D 反比例或正比例函数 对应练习 1 如果是的正比例函数 是的反比例函数 那么是的 ymmxyx 2 如果是的正比例函数 是的正比例函数 那么是的 ymmxyx 3 反比例函数的图象经过 2 5 和 0 k yk x 2n 求 1 的值 2 判断点 B 是否在这个函数图象上 并说明理由n242 4 已知 y 与 2x 3 成反比例 且时 y 2 求 y 与 x 的函数关系式 4 1 x 2 5 已知函数 其中与成正比例 与成反比例 且当 1 时 1 12 yyy 1 yx 2 yxxy 3 时 5 求 1 求关于的函数解析式 2 当 2 时 的值 xyyxxy 二二 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象和性质 知识要点 知识要点 1 形状 图象是双曲线 形状 图象是双曲线 2 位置 位置 1 当 当 k 0 时时 双曲线分别位于第双曲线分别位于第 象限内 象限内 2 当 当 k0 时时 y 随随 x 的增大而的增大而 2 当 当 k 0 时时 y 随随 x 的增大而的增大而 4 变化趋势 双曲线无限接近于 变化趋势 双曲线无限接近于 x y 轴轴 但永远不会与坐标轴相交但永远不会与坐标轴相交 5 对称性 对称性 1 对于双曲线本身来说 它的两个分支关于直角坐标系原点 对于双曲线本身来说 它的两个分支关于直角坐标系原点 2 对于 对于 k 取互为取互为 相反数的两个反比例函数 如 相反数的两个反比例函数 如 y 和和 y 来说 它们是关于 来说 它们是关于 x 轴 轴 y 轴轴 x 6 x 6 例题讲解 例题讲解 例题讲解 反比例函数的图象和性质 例题讲解 反比例函数的图象和性质 例一 例一 写出一个反比例函数 使它的图象经过第二 四象限 例二例二 若反比例函数的图象在第二 四象限 则的值是 2 2 12 m xmy m A 1 或 1 B 小于的任意实数 C 1 不能确定 1 2 例三 例三 下列函数中 当时 随的增大而增大的是 0 x yx A B C D 34yx 1 2 3 yx 4 y x 1 2 y x 例四例四 已知反比例函数的图象上有两点 A B 且 2 y x 1 x 1 y 2 x 2 y 12 xx 则的值是 12 yy A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定 对应练习对应练习 1 若点 和 分别在反比例函数 的图象上 且 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 2 y x 则下列判断中正确的是 123 0 xxx A B C D 123 yyy 312 yyy 231 yyy 321 yyy 3 M y N x O 图 4 2 在反比例函数的图象上有两点和 若时 则的取值 x k y 1 11 xy 22 xy xx 12 0 yy 12 k 范围是 3 老师给出一个函数 甲 乙 丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质 甲 函数的图象经过第二象限 乙 函数的图象经过第四象限 丙 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 请你根据 他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 4 作出反比例函数的图象 结合图象回答 x y 4 1 当 x 2 时 y 的值 2 当 1 x 4 时 y 的取值范围 3 当 1 y 4 时 x 的取值范围 三 反比例函数与面积结合题型 三 反比例函数与面积结合题型 知识要点 知识要点 1 反比例函数与矩形面积 反比例函数与矩形面积 若 P x y 为反比例函数 k 0 图像上的任意一点如图 1 所示 过 x k y P 作 PM x 轴于 M 作 PN y 轴于 N 求矩形 PMON 的面积 分析 分析 S矩形 PMON xyxyPNPM xy k S x k y k 2 反比例函数与矩形面积 反比例函数与矩形面积 若 Q x y 为反比例函数 k 0 图像上的任意一点如图 2 所示 过 Q 作 x k y QA x 轴于 A 或作 QB y 轴于 B 连结 QO 则所得三角形的面积为 S QOA 或 S QOB 说明 以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关 2 k 2 k 例题讲解 例题讲解 例一例一 如图 3 在反比例函数 x 0 的图象上任取一点 过点分别作轴 轴的垂线 垂足 x y 6 PPxy 分别为 M N 那么四边形的面积为 PMON P y x OM N 图 1 O B y xA Q 图 2 P y Mx 0 N 3 y x O A C B 图 6 4 例二例二 反比例函数的图象如图 4 所示 点 M 是该函数图象上一点 MN x 轴 垂足为 N 如果 S x k y MON 2 这个反比例函数的解析式为 对应练习 对应练习 1 如图 5 正比例函数与反比例函数的图象相交于 A C 两点 0 ykx k 2 y x 过点 A 作 AB 轴于点 B 连结 BC 则 ABC 的面积等于 x A 1 B 2 C 4 D 随的取值改变而改变 k 2 如图 6 A B 是函数 2 y x 的图象上关于原点对称的任意两点 BC x轴 AC y轴 ABC 的面积记为 S 则 A 2S B 4S C 24S D 4S 3 如图 7 过 y 轴正半轴上的任意一点 P 作 x 轴的平行线 分别与反比例函数的图象交于点 A x y x y 24 和 和点 B 若点 C 是 x 轴上任意一点 连接 AC BC 则 ABC 的面积为 四四 一次函数与反比例函数一次函数与反比例函数 例题讲解 例题讲解 例一例一 一次函数 y 2x 1 和反比例函数 y 的大致图象是 A B C 例二例二 一次函数 0 kkkxy和反比例函数 0 k x k y在同一直角坐标系中的图象大致是 图 5 图 7 5 对应练习对应练习 1 一次函数 y1 k1x b 和反比例函数 y2 k1 k2 0 的图象如 x k2 图所示 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A 2 x 0 或 x 1B 2 x 1 C x 2 或 x 1D x 2 或 0 x 1 2 正比例函数和反比例函数的图象有 个交点 2 x y 2 y x 3 正比例函数 y k1x k1 0 和反比例函数 y k2 0 的一个交点为 m n 则另一个交点为 2 k x 4 设函数 y 与 y x 1 的图象的交点坐标为 a B 则的值为 2 x 11 ab 5 如图 Rt ABO 的顶点 A 是双曲线与直线 k y x yxm 在第二象限的交点 AB 垂直轴于 B 且 S ABO x 3 2 则反比例函数的解析式 6 若反比例函数与一次函数 y 3x b 都经过点 1 4 则 kb x k y 7 如图 已知 A 4 a B 2 4 是一次函数 y kx b 的图象和反比例函数 y 的图象的交点 x m 1 求反比例函数和一次函数的解祈式 2 求 A0B 的面积 8 如图 在平面直角坐标系中 直线与双曲线在 2 k yx k y x 第一象限交于点 A 与轴交于点 C AB 轴 垂足为 B 且 1 求 xx AOB S 1 求两个函数解析式 2 求 ABC 的面积 9 平面直角坐标系中 直线 AB 交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 第 7 题 6 B 且与反比例函数图象分别交于 C D 两点 过点 C 作 CM x 轴于 M AO 6 BO 3 CM 5 求直线 AB 的解析式和反比例函数解析式 五 反比例函数的应用 五 反比例函数的应用 例题讲解 例题讲解 例一例一 一个水池装水 12 立方米 如果从水管中每小时流出 x 立方米的水 经过 y 小时可以把水放完 那么 y 与 x 的函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 例二例二 三角形的面积为 6cm2 如果它的一边为 ycm 这边上的高为 xcm 那么 y 与 x 之间是 函数关系 以 x 为自变量的函数解析式为 例三例三 长方体的体积为 40cm3 此长方体的底面积 y cm2 与其对应高 x cm 之间的函数关系用图象大致可以表示 为下面的 对应练习对应练习 1 下列各问题中两个变量之间的关系 不是反比例函数的是 A 小明完成百米赛跑时 所用时间 t s 与他的平均速度 v m s 之间的关系 B 长方形的面积为 24 它的长 y 与宽 x 之间的关系 C 压力为 600N 时 压强 p Pa 与受力面积 S m2 之间的关系 D 一个容积为 25L 的容器中 所盛水的质量 m kg 与所盛水的体积 V L 之间的关系 2 在温度不变的条件下 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体 7 对汽缸壁所产生的压强 如下表 体积 x ml 10080604020 压强 y kpa 6075100150300 则可以反映 y 与 x 之间的关系的式子是 A y 3000 x B y 6000 x C D x y 3000 x y 6000 3 甲 乙两地间的公路长为 300km 一辆汽车从甲地去乙地 汽车在途 中的平均速度为 V km h 到达时所用的时间为 t h 那么 t 是 V 的函数 V 关于 t 的函数关系式为 4 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房 如图所示 则需要塑料布 y m2 与半径 R m 的函数 关系式是 不考虑塑料埋在土里的部分 5 有一面积为 60 的梯形 其上底是下底长的三分之一 若下底长为 x 高为 y 则 y 关于 x 的函数关系式是 A B C D 0 45 x x y 0 30 x x y 0 90 x x y 0 15 x x y 6 一个长方体的体积是 100cm3 它的长是 y cm 宽是 5cm 高是 x cm 1 写出长 y cm 关于高 x cm 的函数关系式 以及自变量 x 的取值范围 2 画出 1 中函数的图象 3 当高是 3cm 时 求长 7 一个气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 气球内气体的气压 p kPa 是气体体积 V m3 的反比 例函数 其图象如图所示 1 写出这一函数的解析式 2 当气体体积为 1m3时 气压是多少 3 当气球内的气压大于 140kPa 时 气球将爆炸 为了安全起见 气 体的体积应不小于多少 8 8 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时 室内每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时 间 x 分钟 成正比例 药物燃烧完后 y 与 x 成反比例 如图所示 现测得药物 8 分钟燃毕 此时室内空 气中每立方米的含药量为 6 毫克 请根据题图中所提供的信息解答下列问题 1 药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 自变量 x 的取值范围是 药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为 2 研究表明 当空气中每立方米的含药量小于 1 6 毫克时学生方可进教室 那么从消毒开始 至少需要 经过 分钟后 学生才能回到教室 3 研究表明 当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时 才能有效杀灭空 气中的病菌 那么此次消毒是否有效 为什么 备用练习备用练习 1 反比例函数的概念 1 下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是 A y 3x B C 3xy 1 D 2 下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是 A B C D 2 图象和性质 1 已知函数是反比例函数 若它的图象在第二 四象限内 那么 k 若 y 随 x 的增大而减小 那么 k 9 2 已知一次函数 y ax b 的图象经过第一 二 四象限 则函数的图象位于第 象 限 3 若反比例函数经过点 2 则一次函数的图象一定不经过第 象限 4 已知 a b 0 点 P a b 在反比例函数的图象上 则直线不经过的象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5 若 P 2 2 和 Q m 是反比例函数图象上的两点 则一次函数 y kx m 的图象经 过 A 第一 二 三象限 B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限 D 第二 三 四象限 6 已知函数和 k 0 它们在同一坐标系内的图象大致是 A B C D 3 函数的增减性 1 在反比例函数的图象上有两点 且 则 的值为 A 正数 B 负数 C 非正数 D 非负数 2 在函数 a 为常数 的图象上有三个点 则函数 值 的大小关系是 A B C D 10 3 下列四个函数中 y 随 x 的增大而减小的函数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 4 已知反比例函数的图象与直线 y 2x 和 y x 1 的图象过同一点 则当 x 0 时 这个反比 例函数的函数值 y 随 x 的增大而 填 增大 或 减小 4 解析式的确定 1 若与成反比例 与成正比例 则 y 是 z 的 A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 不能确定 2 若正比例函数 y 2x 与反比例函数的图象有一个交点为 2 m 则 m k 它们的另一个交点为 3 已知反比例函数的图象经过点 反比例函数的图象在第二 四象限 求的值 4 已知一次函数 y x m 与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为 P x 0 3 求 x 0的值 求一次函数和反比例函数的解析式 5 面积计算 1 如图 在函数的图象上有三个点 A B C 过这三个点分别向 x 轴 y 轴作垂线 过每一点 所作的两条垂线段与 x 轴 y 轴围成的矩形的面积分别为 则 A B C D 11 第 1 题图 第 2 题图 2 如图 A B 是函数的图象上关于原点 O 对称的任意两点 AC y 轴 BC x 轴 ABC 的面 积 S 则 A S 1 B 1 S 2 C S 2 D S 2 3 如图 Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上 且 S AOB 3 求 m 的值 第 3 题图 第 4 题图 4 已知函数的图象和两条直线 y x y 2x 在第一象限内分别相交于 P1 和 P2 两点 过 P1 分别 作 x 轴 y 轴的垂线 P1Q1 P1R1 垂足分别为 Q1 R1 过 P2 分别作 x 轴 y 轴的垂线 P2 Q 2 P2 R 2 垂足分别为 Q 2 R 2 求矩形 O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长 并比较它们的