高考数学一轮复习 第十三章 空间几何体课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第十三章空间几何体 1 2014江苏 8 5分 0 84 设甲 乙两个圆柱的底面积分别为s1 s2 体积分别为v1 v2 若它们的侧面积相等 且 则的值是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 解析设圆柱甲的底面半径为r1 高为h1 圆柱乙的底面半径为r2 高为h2 由题意得 又 s甲侧 s乙侧 即2 r1h1 2 r2h2 故 评析考查立体几何中侧面积 体积公式 考查运算和恒等变形的能力 2 2015江苏 9 5分 0 785 现有橡皮泥制作的底面半径为5 高为4的圆锥和底面半径为2 高为8的圆柱各一个 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个 则新的底面半径为 答案 解析原两个几何体的总体积v 52 4 22 8 由题意知新圆锥的高为4 新圆柱的高为8 且它们的底面半径相同 可设两几何体的底面半径均为r r 0 则 r2 4 r2 8 解得r2 7 从而r 3 2013江苏 8 5分 0 557 如图 在三棱柱a1b1c1 abc中 d e f分别是ab ac aa1的中点 设三棱锥f ade的体积为v1 三棱柱a1b1c1 abc的体积为v2 则v1 v2 答案 解析由题意知 三棱锥f ade与三棱柱a1b1c1 abc的高之比为 底面积之比为 故v1 v2 考点一表面积1 2017课标全国 文 15 5分 长方体的长 宽 高分别为3 2 1 其顶点都在球o的球面上 则球o的表面积为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案14 解析本题考查长方体和球的性质 考查了球的表面积公式 由题意知长方体的体对角线为球o的直径 设球o的半径为r 则 2r 2 32 22 12 14 得r2 所以球o的表面积为4 r2 14 疑难突破长方体的体对角线为球的直径是求解的关键 易错警示易因用错球的表面积公式而致错 2 2017课标全国 文 16 5分 已知三棱锥s abc的所有顶点都在球o的球面上 sc是球o的直径 若平面sca 平面scb sa ac sb bc 三棱锥s abc的体积为9 则球o的表面积为 答案36 解析由题意作出图形 如图 设球o的半径为r 由题意知sb bc sa ac 又sb bc sa ac 则sb bc sa ac r 连接oa ob 则oa sc ob sc 因为平面sca 平面scb 平面sca 平面scb sc 所以oa 平面scb 所以oa ob 则ab r 所以 abc是边长为r的等边三角形 设 abc的中心为o1 连接oo1 co1 则oo1 平面abc co1 r r 则oo1 r 则vs abc 2vo abc 2 r 2 r r3 9 所以r 3 所以球o的表面积s 4 r2 36 3 2016课标全国 改编 4 5分 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上 则该球的表面积为 答案12 解析设正方体的棱长为a 则a3 8 解得a 2 设球的半径为r 则2r a 即r 所以球的表面积s 4 r2 12 评析本题考查了正方体和球的切接问题 正方体的体对角线即为其外接球的直径 4 2013课标全国 15 5分 0 246 已知正四棱锥o abcd的体积为 底面边长为 则以o为球心 oa为半径的球的表面积为 答案24 解析设底面中心为e 则 ae ac 体积v ab 2 oe oe oa 2 ae 2 oe 2 6 从而以oa为半径的球的表面积s 4 oa 2 24 评析本题考查了正四棱锥和球 考查了表面积和体积 考查了空间想象能力和运算求解能力 计算错误是失分的主要原因 5 2014山东 13 5分 一个六棱锥的体积为2 其底面是边长为2的正六边形 侧棱长都相等 则该六棱锥的侧面积为 答案12 解析设六棱锥的高为h 斜高为h0 因为该六棱锥的底面是边长为2的正六边形 所以底面面积为 2 2 sin60 6 6 则 6h 2 得h 1 所以h0 2 所以该六棱锥的侧面积为 2 2 6 12 6 2017课标全国 文 18 12分 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd 且 bap cdp 90 1 证明 平面pab 平面pad 2 若pa pd ab dc apd 90 且四棱锥p abcd的体积为 求该四棱锥的侧面积 解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算 1 证明 由已知 bap cdp 90 得ab ap cd pd 由于ab cd 故ab pd 从而ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 2 在平面pad内作pe ad 垂足为e 由 1 知 ab 平面pad 故ab pe 可得pe 平面abcd 设ab x 则由已知可得ad x pe x 故四棱锥p abcd的体积vp abcd ab ad pe x3 由题设得x3 故x 2 从而pa pd 2 ad bc 2 pb pc 2 可得四棱锥p abcd的侧面积为pa pd pa ab pd dc bc2sin60 6 2 方法总结1 面面垂直的证明证明两个平面互相垂直 可以在一个平面内找一条直线l 证明直线l垂直于另一个平面 2 线面垂直的证明 1 证明直线l垂直于平面内的两条相交直线 2 若已知两个平面垂直 则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 3 几何体的体积柱体的体积v s底 h 锥体的体积v s底 h 4 几何体的表面积直棱柱的侧面积s侧 c底 l 其他几何体一般要对各个侧面 底面逐个分析求解面积 最后求和 考点二体积1 2017课标全国 理改编 8 5分 已知圆柱的高为1 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上 则该圆柱的体积为 答案 解析本题考查球的内接圆柱的体积 设圆柱的底面半径为r 则r2 12 解得r v圆柱 1 2 2017课标全国 理 16 5分 如图 圆形纸片的圆心为o 半径为5cm 该纸片上的等边三角形abc的中心为o d e f为圆o上的点 dbc eca fab分别是以bc ca ab为底边的等腰三角形 沿虚线剪开后 分别以bc ca ab为折痕折起 dbc eca fab 使得d e f重合 得到三棱锥 当 abc的边长变化时 所得三棱锥体积 单位 cm3 的最大值为 答案4 解析由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示 连接co并延长交ab于h 连接do dh 则do 平面abc 令oh xcm 则oc 2xcm dh 5 x cm 得od cm ab 2xcm 则vd abc x2 x2cm3 令f x x2 则f x 则当x 0 2 时 f x 单调递增 当x 2 2 5 时 f x 单调递减 所以当x 2时 体积取最大值 为 4 4cm3 方法总结求解立体几何中的最值问题 在求解立体几何中的最值问题时 注意先要引入自变量x 再根据几何体的点 线 面的位置关系 表示几何体中的相关量 进而建立起目标函数 最后 利用函数的性质来求解最值 3 2017天津理改编 10 5分 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 若这个正方体的表面积为18 则这个球的体积为 答案 解析本题考查正方体的表面积及外接球的体积 设这个正方体的棱长为a 由题意可知6a2 18 所以a 所以这个正方体的外接球半径r a 所以这个正方体外接球的体积v r3 方法总结找几何体外接球球心的方法 1 构造长方体 或正方体 将原几何体外接球转化成长方体 或正方体 的外接球 进而易得球心位置 2 找几何体底面的外心o1 过o1作底面的垂线l1 再找几何体一侧面的外心o2 过o2作该侧面的垂线l2 则l1与l2的交点即为外接球的球心 4 2013课标全国 理改编 6 5分 0 593 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高8cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度 则球的体积为 答案cm3 解析设球心为o 正方体上底面中心为a 上底面一边的中点为b 在rt oab中 oa r 2 cm ab 4 cm ob r cm 由r2 r 2 2 42得r 5 v球 r3 cm3 评析本题考查了正方体和球的组合体 考查了空间想象能力 利用勾股定理求出球半径r是解题的关键 5 2016课标全国 11 5分 在封闭的直三棱柱abc a1b1c1内有一个体积为v的球 若ab bc ab 6 bc 8 aa1 3 则v的最大值是 答案 解析易得ac 10 设底面 abc的内切圆的半径为r 则 6 8 6 8 10 r 所以r 2 因为2r 4 3 所以最大球的直径2r 3 即r 此时球的体积v r3 评析本题考查了球的体积公式和空间想象能力 6 2015山东改编 7 5分 在梯形abcd中 abc ad bc bc 2ad 2ab 2 将梯形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 答案 解析如图 此几何体是底面半径为1 高为2的圆柱挖去一个底面半径为1 高为1的圆锥 故所求体积v 2 评析本题主要考查几何体的体积及空间想象能力 7 2014陕西改编 5 5分 已知底面边长为1 侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上 则该球的体积为 答案 解析如图为正四棱柱ac1 根据题意得ac 对角面acc1a1为正方形 外接球直径2r a1c 2 r 1 v球 8 2017课标全国 文 19 12分 如图 四面体abcd中 abc是正三角形 ad cd 1 证明 ac bd 2 已知 acd是直角三角形 ab bd 若e为棱bd上与d不重合的点 且ae ec 求四面体abce与四面体acde的体积比 解析 1 证明 取ac的中点o 连接do bo 因为ad cd 所以ac do 又由于 abc是正三角形 所以ac bo 从而ac 平面dob 故ac bd 2 连接eo 由 1 及题设知 adc 90 所以do ao 在rt aob中 bo2 ao2 ab2 又ab bd 所以bo2 do2 bo2 ao2 ab2 bd2 故 dob 90 由题设知 aec为直角三角形 所以eo ac 又 abc是正三角形 且ab bd 所以eo bd 故e为bd的中点 从而e到平面abc的距离为d到平面abc的距离的 四面体abce的体积为四面体abcd的体积的 即四面体abce与四面体acde的体积之比为1 1 9 2013四川 19 12分 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 侧棱aa1 底面abc ab ac 2aa1 2 bac 120 d d1分别是线段bc b1c1的中点 p是线段ad上异于端点的点 1 在平面abc内 试作出过点p与平面a1bc平行的直线l 说明理由 并证明直线l 平面add1a1 2 设 1 中的直线l交ac于点q 求三棱锥a1 qc1d的体积 锥体体积公式 v sh 其中s为底面面积 h为高 解析 1 如图 在平面abc内 过点p作直线l bc l在平面a1bc外 bc在平面a1bc内 由直线与平面平行的判定定理可知 l 平面a1bc 已知ab ac d是bc的中点 所以bc ad 则直线l ad 因为aa1 平面abc 所以aa1 直线l 又因为ad aa1在平面add1a1内 且ad与aa1相交 所以直线l 平面add1a1 2 过d作de ac于e 因为aa1 平面abc 所以de aa1 又因为ac aa1在平面aa1c1c内 且ac与aa1相交 所以de 平面aa1c1c 由ab ac 2 bac 120 有ad 1 dac 60 所以在 aed中 de ad 又 a1c1 aa1 1 所以 de 1 因此三棱锥a1 qc1d的体积是 评析本题主要考查基本作图 线面的平行与垂直 棱锥的体积等基础知识 考查推理论证能力 运算求解能力 空间想象能力 10 2014福建 19 12分 如图 三棱锥a bcd中 ab 平面bcd cd bd 1 求证 cd 平面abd 2 若ab bd cd 1 m为ad中点 求三棱锥a mbc的体积 解析 1 证明 ab 平面bcd cd 平面bcd ab cd 又 cd bd ab bd b ab 平面abd bd 平面abd cd 平面abd 2 解法一 由ab 平面bcd 得ab bd ab bd 1 s abd m是ad的中点 s abm s abd 由 1 知 cd 平面abd 三棱锥c abm的高h cd 1 因此三棱锥a mbc的体积va mbc vc abm s abm h 由ab 平面bcd知 平面abd 平面bcd 又平面abd 平面bcd bd 所以mn 平面bcd 且mn ab 又cd bd bd cd 1 s bcd 三棱锥a mbc的体积va mbc va bcd vm bcd ab s bcd mn s bcd 评析本题主要考查空间中直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系及几何体的体积等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化思想 解法二 如图 过点m作mn bd交bd于点n 11 2014江西 19 12分 如图 三棱柱abc a1b1c1中 aa1 bc a1b bb1 1 求证 a1c cc1 2 若ab 2 ac bc 问aa1为何值时 三棱柱abc a1b1c1体积最大 并求此最大值 解析 1 证明 由aa1 bc知bb1 bc 又bb1 a1b 故bb1 平面bca1 则bb1 a1c 又bb1 cc1 所以a1c cc1 2 解法一 设aa1 x 在rt a1bb1中 a1b 同理 a1c 在 a1bc中 cos ba1c sin ba1c 所以 a1b a1c sin ba1c 从而三棱柱abc a1b1c1的体积v aa1 因为x 故当x 即aa1 时 体积v取到最大值 解法二 过a1作bc的垂线 垂足为d 连接ad 由于aa1 bc a1d bc 故bc 平面aa1d bc ad 又 bac 90 所以s abc ad bc ab ac 得ad 设aa1 x 在rt aa1d中 a1d a1d bc 从而三棱柱abc a1b1c1的体积v aa1 因为x 故当x 即aa1 时 体积v取到最大值 评析本题考查线线 线面垂直的判定 空间几何体的体积及其最值的求解 考查学生的空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 正确表示几何体的体积是解决本题的关键 12 2013重庆 19 12分 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd pa 2 bc cd 2 acb acd 1 求证 bd 平面pac 2 若侧棱pc上的点f满足pf 7fc 求三棱锥p bdf的体积 解析 1 证明 因bc cd 即 bcd为等腰三角形 又 acb acd 故bd ac 因为pa 底面abcd 所以pa bd 从而bd与平面pac内两条相交直线pa ac都垂直 所以bd 平面pac 2 三棱锥p bcd的底面bcd的面积s bcd bc cd sin bcd 2 2 sin 由pa 底面abcd 得vp bcd s bcd pa 2 2 由pf 7fc 得三棱锥f bcd的高为pa 故vf bcd s bcd pa 2 所以vp bdf vp bcd vf bcd 2 1 2015课标 改编 6 5分 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧长为8尺 米堆的高为5尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知1斛米的体积约为1 62立方尺 圆周率约为3 估算出堆放的米约有斛 c组教师专用题组 答案22 解析设圆锥底面的半径为r尺 由 2 r 8得r 从而米堆的体积v r2 5 立方尺 因此堆放的米约有 22 斛 2 2015课标 改编 9 5分 已知a b是球o的球面上两点 aob 90 c为该球面上的动点 若三棱锥o abc体积的最大值为36 则球o的表面积为 答案144 解析 s oab是定值 且vo abc vc oab 当oc 平面oab时 vc oab最大 即vo abc最大 设球o的半径为r 则 vo abc max r2 r r3 36 r 6 球o的表面积s 4 r2 4 62 144 3 2014广东 18 13分 如图1 四边形abcd为矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如图2折叠 折痕ef dc 其中点e f分别在线段pd pc上 沿ef折叠后点p在线段ad上的点记为m 并且mf cf 1 证明 cf 平面mdf 2 求三棱锥m cde的体积 解析 1 证明 pd 平面abcd ad 平面abcd pd ad 四边形abcd是矩形 ad dc 又 pd dc d ad 平面pcd cf 平面pcd ad cf 又 mf cf mf ad m cf 平面mdf 2 由 1 知cf df pd dc 在 pcd中 dc2 cf pc cf 又 ef dc ed pe me s cde dc ed 1 在rt mde中 md vm cde s cde md 填空题 每题5分 共35分 1 2017扬州中学高三月考 4 若长方体相邻三个侧面的面积分别是 则该长方体的体积是 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 25分钟分值 35分 答案 解析设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a b c 则由题设可得三个式子相乘得a2b2c2 6 从而abc 所以该长方体的体积为 2 2017苏北四市高三上学期期中 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周 则所形成的几何体体积是 答案 解析形成的几何体为两个相同的圆锥 其体积为2 2 22 3 2017江苏南通 扬州 泰州三模 9 已知圆锥的侧面展开图是半径为3 圆心角为的扇形 则这个圆锥的高是 答案2 解析设圆锥的母线长为l 底面半径为r 高为h 则由题设可得l 3 2 r 3 所以r 1 从而h 2 4 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 8 已知直四棱柱的底面是边长为2的菱形 侧面对角线的长为2 则该直四棱柱的侧面积为 答案16 解析设直四棱柱的高为h 由题设可得h2 22 所以h 2 所以侧面积为4 2 2 16 5 2016江苏南通一模 8 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 点e是棱b1b的中点 则三棱锥b1 ade的体积为 答案 解析根据等体积法可得 1 1 6 2016江苏南通 扬州 泰州调研 8 在体积为的四面体abcd中 ab 平面bcd ab 1 bc 2 bd 3 则cd长度的所有值为 答案 解析由题设得s bcd 设 cbd 则由 2 3 sin 得 sin 从而cos 利用余弦定理可得cd2 22 32 2 2 3 从而cd 或cd 经检验 能构成三角形 7 2015江苏无锡期末 8 在三棱锥p abc中 d e分别为pb pc的中点 记三棱锥d abe的体积为v1 p abc的体积为v2 则 答案 解析v1 vd abe ve abd ve abp va bep va bcp v2 所以 一 填空题 每题5分 共30分 1 2017江苏六市高三联考 7 现有一个底面半径为3cm 母线长为5cm的圆锥形实心铁器 将其高温熔化后铸成一个实心铁球 不计损耗 则该铁球的半径是cm b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 45分钟分值 55分 答案 解析因为圆锥的底面半径为3cm 母线长为5cm 所以高h 4cm 从而v r2h 12 cm3 设铁球的半径是rcm 则 r3 12 所以r 思路分析由题意可得出圆锥与球的体积相同 利用相关体积公式直接计算 易错警示分清球体的表面积公式s 4 r2与体积公式v r3 2 2017江苏常州奔牛中学高三调研 9 三棱锥p abc中 pc 平面abc ac bc ac bc 1 pa 则该三棱锥外接球的表面积为 答案5 解析三棱锥p abc中 pc 平面abc ac bc ac bc 1 pa 所以以pc cb ac为同一顶点处的三条棱长的长方体的对角线长为 从而该三棱锥外接球的半径r 故该三棱锥外接球的表面积为s 4 r2 5 思路分析要求外接球的表面积 只要求其半径即可 联想相关几何体 可得其外接球半径 即为以pc cb ac为同一顶点处的三条棱长的长方体的对角线的一半 3 2017江苏南京 盐城一模 10 将矩形abcd绕边ab所在直线旋转一周得到一个圆柱 ab 3 bc 2 圆柱上底面圆的圆心为o efg为下底面圆的一个内接直角三角形 则三棱锥o efg体积的最大值是 答案4 解析 将矩形abcd绕边ab所在直线旋转一周得到一个圆柱 ab 3 bc 2 圆柱上底面圆的圆心为o efg为下底面圆的一个内接直角三角形 三棱锥o efg的高即为圆柱的高 为ab 当三棱锥o efg体积取最大值时 efg的面积最大 即当ef为下底面圆的直径 且g在ef的垂直平分线上时 efg的面积最大 s efg max 4 2 4 三棱锥o efg体积的最大值vmax s efg max ab 4 3 4 思路分析三棱锥o efg的高即为圆柱的高 为ab 当三棱锥o efg体积取最大值时 efg的面积最大 当ef为下底面圆的直径 且g在ef的垂直平分线上时 efg的面积最大 s efg max 4 2 4 由此可求出三棱锥o efg体积的最大值 4 2017南京高三三模 10 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab 1 bc 2 bb1 3 abc 90 点d为侧棱bb1上的动点 当ad dc1最小时 三棱锥d abc1的体积为 答案 解析将直三棱柱abc a1b1c1的侧面沿cc1展开成平面aa1c1c 连接ac1交bb1于点d 此时ad dc1最小 又知 abd acc1 又 ab 1 bc 2 cc1 3 bd 1 则 1 1 2 5 2016江苏苏州一模 8 将半径为5的圆分割成面积之比为1 2 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面 设这三个圆锥的底面半径依次为r1 r2 r3 则r1 r2 r3 答案5 解析由题意得 扇形弧长为相应圆锥的底面周长 且三个圆锥的底面周长之和为圆的周长 因此2 r1 r2 r3 2 5 所以r1 r2 r3 5 6 2015江苏淮安淮海中学模拟 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 线段b1d1上有两个动点e f 且ef 则三棱锥b aef的体积为 答案 解析连接ac bd 易知ac 平面bdd1b1 则vb aef va bef s bef ef bb1 1 二 解答题 共25分 7 2015江苏连云港质量检测 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中