第6节　抛物线.doc

第6节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的定义与应用1,7,10抛物线的标准方程及应用2,4直线与抛物线的位置关系3,5,8,10,13抛物线的综合应用6,9,11,12,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.(2017北京西城区模拟)若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a等于(C)(A)1(B)2(C)4(D)8解析:由抛物线的性质可知,交点与准线之间的距离为|a|2,即|a|2=2a=4.故选C.2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=2,|PQ|=4,则抛物线的方程是(A)(A)y2=4x(B)y2=8x(C)y2=2x(D)y2=6x解析:由抛物线的定义知|PQ|=x1+x2+p=4,又x1+x2=2,所以p=2,即抛物线的方程是y2=4x.故选A.3.(2017广东韶关调研)过抛物线y2=4x 的焦点F的直线l交该抛物线于A,B两点,点A在第一象限,若|AF|=3,则直线l的斜率为(D)(A)1(B)2(C)3(D)22解析:由题可知焦点F(1,0),准线为x=-1,设点A(xA,yA),B(xB,yB),由|AF|=3,得xA=2,即A(2,22),故直线l的斜率为22.4.(2017安徽安庆二模)已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,动点Q在C上,圆Q的半径为1,过点F的直线与圆Q切于点P,则FPPQ的最小值为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:FPFQ=|FP|2=|FQ|2-r2=|FQ|2-1.由抛物线的定义知|FQ|=d,d为点Q到准线的距离,易知,抛物线的顶点到准线的距离最短,|FQ|min=2,所以(FPFQ)min=3.故选C.5.过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,A在x轴上方,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(B)(A)y2=32x(B)y2=3x(C)y2=92x(D)y2=9x解析:设准线与x轴的交点为G,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D(图略),设|BF|=a,则|BC|=2a,由定义得|BD|=a,故BCD=30,在直角三角形ACE中,因为|AF|=3,|AC|=3+3a,所以2|AE|=|AC|,所以3+3a=6,从而得a=1,因为BDFG,所以1p=23,解得p=32,因此抛物线方程为y2=3x.故选B.6.导学号 94626212(2017河北邯郸一模)已知M(x0,y0)是曲线C:x22-y=0上的一点,F是曲线C的焦点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若MFMN0,则x0的取值范围是(A)(A)(-1,0)(0,1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(-1,1)解析:由题意知曲线C为抛物线,其方程为x2=2y,所以F(0,12),根据题意可知,N(x0,0),x00,MF=(-x0,12-y0),MN=(0,-y0),所以MFMN=-y0(12-y0)0,即0y012,因为点M在抛物线上,所以有0x02212,又x00,解得-1x00或0x00,直线l经过C1的焦点F,依次交C1,C2从下至上于A,B,C,D四点,则ABCD的值为(B)(A)p2(B)p24(C)p22(D)p23解析:设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),D(x2,y2),则|AB|=|AF|-|BF|=x1+p2-p2=x1,同理|CD|=x2.故ABCD=|AB|CD|=x1x2=p24.故选B.11.导学号 94626214(2017江西九江三模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F,P是抛物线E上位于第一象限内的任意一点,Q是线段PF上的点,且满足OQ=23OP+13OF,则直线OQ的斜率的最大值为(D)(A)22(B)3(C)2(D)2解析:设P(x0,y0),Q(x,y),F(p2,0),由OQ=23OP+13OF可得OQ-OP=13OF-13OP,即PQ=13PF,从而(x-x0,y-y0)=13(p2-x0,-y0),即x=4x0+p6,y=23y0,所以kOQ=yx=4y04x0+p,根据y02=2px0得kOQ=4y02y02p+p=42y0p+py0422y0ppy0=422=2.当且仅当y0=22p时等号成立.故选D.12.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.解析:在等边三角形ABF中,AB边上的高为p,AB2=33p,所以B(33p,-p2).又因为点B在双曲线上,故p233-p243=1,解得p=6.答案:613.(2018广西质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=12|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过点A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E,因为|PA|=12|AB|,所以3(x1+2)=x2+2,3y1=y2,又y12=4x1,y22=4x2,得x1=23,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+23=53.答案:5314.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解:(1)直线AB的方程是y=22(x-p2),与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0.所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而抛物线方程为y2=8x.(2)由于p=4,则4x2-5px+p2=0即x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.15.(2017安徽马鞍山三模)已知曲线C:y2=4x,M:(x-1)2+y2=4(x1),直线与曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)若OAOB=-4,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标;(2)若直线与曲线M相切,求MAMB的取值范围.解:(1)由已知,可设l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+n,y2=4x得y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n.所以x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2.所以由OAOB=-4可得x1x2+y1y2=n2-4n=-4.解得n=2.所以l:x=my+2,所以直线恒过定点(2,0).(2)因为直线l: