高考数学总复习 第二章第7课时 函数的图象及函数与方程课件.ppt

第7课时函数的图象及函数与方程 第二章基本初等函数 导数及其应用 基础梳理1 常用的图象变换 2 伸缩变换 思考探究1 函数y f x 的图象关于原点对称与函数y f x 和y f x 的图象关于原点对称一致吗 提示 函数y f x 的图象关于原点对称是指函数y f x 自身的图象关于原点对称 而函数y f x 和y f x 的图象关于原点对称是指这两种函数各有自己的图象 但是这两种函数的图象关于原点对称 2 函数与方程 1 函数的零点 对于函数y f x x d 使f x 0成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 亦即函数y f x 的图象与x轴交点的 即 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有 横坐标 零点 求函数y f x 的零点a 代数法 求方程f x 0的实数根 b 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 零点存在性定理函数在区间 a b 上的图象是连续的 且f a f b 0 那么函数f x 在区间 a b 上有零点 思考探究2 一个图象连续的函数在区间 a b 上 若f a f b 0 在什么情况下 f x 在区间 a b 上有且只有一个零点 提示 零点存在性定理只需再满足 函数在区间 a b 上是单调的 这一条件 就可使f x 在区间 a b 上有且只有一个零点 2 用二分法求方程的近似解对于在区间 a b 上连续 且满足f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 课前热身1 为了得到函数y 2x 3的图象 只需把函数y 2x的图象上所有的点向 平移 个单位长度 答案 右3 答案 3 2011 高考陕西卷改编 函数f x x cosx x 的零点个数为 解析 问题等价于求方程 x cosx在 上根的个数 设y1 x y2 cosx 在同一坐标系内作出y1 y2图象 如图 答案 2 4 用二分法研究函数f x x2 3x 1的零点时 第一次经过计算 f 0 0 f 0 5 0 可得其中一个零点x0 第二次应计算 答案 0 0 5 f 0 25 考点1作图作函数的图象不仅依据函数的解析式 而且还依赖于它的定义域 用两个不同的函数解析式表示的函数 只有在对应法则相同 定义域相同的条件下 才是相同函数 才有相同的图象 作函数图象 除了运用描点法外 还常常利用平移变换 对称变换等方法 思路分析 所给函数为非基本初等函数 因此要利用基本初等函数的图象进行变换作图 首先应将原函数式变形 3 当x 0时 y sin x 与y sinx的图象完全相同 又y sin x 为偶函数 其图象关于y轴对称 如图 4 首先作出y log2x的图象c1 然后将c1向左平移1个单位长度 得到y log2 x 1 的图象c2 再把c2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象 即为所求图象c3 y log2 x 1 如图 实线部分 名师点评 作图象使用图象变换法时 应依次变换 循序渐近 同时要结合函数的有关性质来变换图象 变式训练1 分别画出下列函数的图象 1 y lgx 2 y 2x 2 3 y x2 2 x 1 考点2识图观察函数图象并能正确解读出图象所反映出的函数性质是 数形结合法 的基本要求 这也是 数形结合 的本质所在 抓住图象基本的特征并结合相关的性质可以识别图象 但也要变换认识的角度 才能更好地理解图象所反映出的信息 答案 变式训练2 f x 是定义在区间 c c 上的奇函数 其图象如图所示 令g x af x b 则下列关于函数g x 的叙述正确的是 若a 0 则函数g x 的图象关于原点对称 若a 1 0 b 2 则方程g x 0有大于2的实根 若a 2 b 0 则函数g x 的图象关于y轴对称 若a 0 b 2 则方程g x 0有三个实根 解析 法一 用排除法 当a 0 且b 0时 g x af x b是非奇非偶函数 不关于原点对称 排除 当a 2 b 0时 g x 2f x 是奇函数 不关于y轴对称 排除 当a 0 b 2时 因为g x af x b af x 2 当g x 0 有af x 2 0 法二 当a 1 00 g c f c b 2 b 0 所以当x 2 c 时 必有g x 0 故 正确 答案 考点3函数图象与零点函数零点可转化成方程的根 而方程的根往往可转化成两函数图象的交点横坐标 2011 高考山东卷 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 答案 2 名师点评 确定函数零点的应用 可先转化成两函数图象的交点问题 画出这两个图象 由图象观察出零点所在范围再利用零点存在性定理加以验证 变式训练3 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 解析 设函数y1 ax a 0且a 1 和函数y2 x a 则函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 就是函数y1 ax和y2 x a有两个交点 由图象可知当0 a 1时 两函数只有一个交点 不合题意 当a 1时 函数y1 ax a 1 图象过点a 0 1 而直线y2 x a和y轴交于b 0 a 必在a 0 1 上方 故必有两个交点 a 1 答案 a 1 考点4二次函数零点的分布二次函数零点的分布问题即一元二次方程根的分布问题 解决此类问题关键是结合图象把根的分布情况转化为不等式组 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3 a 如果函数y f x 在区间 1 1 上有零点 求a的取值范围 2 f x 在 1 1 上只有一个零点且不是f x 0的等根 此时f 1 f 1 0 即 a 5 a 1 0 1 a 5 当a 5时 方程f x 0在区间 1 1 上有两个相异实根 故当方程f x 0在区间 1 1 上只有一个根且不是等根时 1 a 5 名师点评 本题为二次函数有关根的问题 常结合二次函数的图象及有关方程的知识解决 方程根的问题也往往转化为相应的函数图象的交点问题 因而数形结合是常用的解法 变式训练 方法技巧1 作函数图象的一般步骤是 1 求出函数的定义域 2 化简函数式 3 讨论函数的性质 如奇偶性 周期性 以及图象上的特殊点 线 如渐近线 对称轴等 4 利用基本函数的图象画出所给函数的图象 2 平移变换 对称变换和伸缩变换是三种常见的变换 平移变换 左加右减 上正下负 伸缩变换 纵伸横缩 绝对值变换 部分对折 3 函数的图象形象地显示了函数的性质 为研究数量关系问题提供了 形 的直观性 它是探求解题途径 获得问题结果 检验解答是否正确的重要工具 也是运用数形结合思想解题的前提 从图象的左右分布分析函数的定义域 从图象的上下分布分析函数的值域 从图象的最高点 最低点分析函数的最值 极值 从图象的对称性分析函数的奇偶性 从图象的走向趋势分析函数的单调性 周期性等 4 证明图象的对称性时应注意 1 证明函数图象的对称性 即证明其图象上的任意一点关于对称中心 或对称轴 的对称点仍在图象上 2 证明曲线c1和c2的对称性 即要证明c1上任一点关于对称中心 对称轴 的对称点在c2上 反之亦然 5 函数零点的性质 1 从 数 的角度看 即是使f x 0的实数x 2 从 形 的角度看 即是函数f x 的图象与x轴交点的横坐标 3 若函数f x 的图象在x x0处与x轴相切 则零点x0通常称为不变号零点 4 若函数f x 的图象在x x0处与x轴相交 则零点x0通常称为变号零点 6 函数零点的求法 1 代数法 求方程f x 0的实数根 常用公式法 因式分解 直接求解等 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 3 二分法 主要用于求函数零点的近似值 失误防范1 函数图象的对称性中 y f x 与y f x y f x 与y f x 间的对称性易混淆 y f x 与y f x 中绝对值号所起的作用易记错 2 函数图象的判断与识别要充分利用函数的性质 解答有关问题时 常忘记有关的函数性质 如对称性中易忘记从奇偶性的角度来考虑 3 若f x 在 a b 上是连续的 f a f b 0是f x 在 a b 上有零点的充分不必要条件 命题预测1 热点预测 1 近几年的江苏高考对函数图象的考查主要集中在基本初等函数的认识和把握上 能识别 判断和应用图象解决问题是重点 结合考查数形结合的思想方法是高考的必考内容之一 但形式不固定 可以在填空题或解答题中出现 预测在2013年的江苏高考中 以数形结合解决问题仍然会成为考查的热点 2 2013年高考对函数与方程的考查可能仍将以能力考察为主 重点考查函数零点 方程的根和两函数图象交点之间的等价转化思想和数形结合思想 2 趋势分析 运用导数来研究函数零点有且只