图像压缩解压外文翻译.doc

南京邮电大学通达学院毕业设计(论文)外文资料翻译学 院：南京邮电大学通达学院 专业： 软件工程 学生姓名： 张 峰 班级学号： 08003019外文出处：物联网技术 附件：1.外文资料翻译译文；2.外文原文指导教师评价：1翻译内容与课题的结合度： 优 良 中 差2翻译内容的准确、流畅： 优 良 中 差3专业词汇翻译的准确性： 优 良 中 差4翻译字符数是否符合规定要求： 符合 不符合 指导教师签名：年月日复杂脊波图像去噪作者：G. Y. Chen and B. Kegl，刊名：Pattern Recognition，出版日期：2007摘要 脊波变换是在小波变换的基础上提出的多尺度分析方法，对于图像中直线状和超平面的奇异性问题，脊波变换比小波变换有更好的处理效果，应用数字复合脊波变换去除嵌入在图像中的白噪声，并使用一个简单的复合脊波系数的硬阈值来实现，实验结果表明，种算法比VisuShrink算法、普通脊波算法和Wiener2滤波器图像去噪的去噪效果更好,同时复合脊波算法也能应用于图像去噪和模式识别特征提取。关键词：图像去噪；小波变换；脊波变换；复合脊波1.介绍小波变换已成功应用到许多科学领域，如：图像的压缩、图像去噪、信号的处理、计算机绘图和模式识别等等。但小波变换对于奇异性问题，如数字图像中的边界以及线状特征等，不是非常有效。这是基于小波的处理方法，如图像压缩和去噪 等应用中，不可避免地在图像边缘和细节上有一定程度的模糊，然而这些不连续特征恰恰可能是信号最重要的信息。因此，Donoho等在小波变换的理论基础上建立了一种适合表示奇异性的多尺度方法，这种方法称为脊波变换。脊波是在小波变换基础添加了一个表征方向参数得到的，因此，它与小波一样也具有局部时频分辨能力，同时还具有很强的方向选择和辨识能力，能非常有效表示信号中具 方向性的奇异特征。实验表明脊波在直线特征的表示和提取中非常有效。 经过多年的发展，脊波变换打破了小波变换的局限性，二维小波变换图像可生成大的小波系数并在每个尺度上进行分解。因为在如此大的小波大系数下，采用小波更换噪声图像去噪面临着许多困难。目前，脊波变换已成功地应用到数字 图像分析，与小波变换不同的是，脊波变换是在各方向奇异性的取向和定位的积分式变换。脊波是常数，其方程式为x1 cos+x2cos =c。其中，c为常数，在这些脊波方向上的正交处正好是小波系数。在脊波变换中结合了二元树复合小波变换，并把它应用于图像去噪。实验结果表明，采用二元树复合脊波算法能获得比其他图像去噪算法更高的峰值信噪比。 这篇文章大体是这样的。在第二部分，我们将解释如何将二元树复杂的波变换成脊波图像去噪。实验结果在第3节。第4节是最后得出的结论和未来需要做的工作。 2.用复杂脊波图像去噪 离散脊波变换提供了两个光滑物体和物体边缘的稀疏性近乎理想的描述，它 是高斯噪声去噪接近于理想方法。脊波系数较小的数字脊波变换可以压缩图像的能量，另一方面，小波变换是分解每一个二维小波尺度，从而在图像边缘处产生许多大的小波系数，这意味着许多小波系数必须重新构建。以数字数据为近似的Radon变换是基于离散快速傅里叶变换的。普通脊波变换能够实现如下功能： （1）计算图像二维快速傅立叶变换（FFT）； （2）用取样值的极性方格替换傅里叶变换获得方格取样值； （3）计算一维角线的反向快速傅里叶变换； （4）执行一维标量小波变换所产生的角线以获取脊波系数。普通的离散小波变换没有平移不变性，当信号输入时一个小变化会导致不同的小波系数，为了克服这个问题，Kingsbury引入了一种新型的小波变换方法， 该变换称为二元树复合小波变换，他阐明了近似的平移不变性和改善角分辨率。由于标量小波没有移位不变性，二元树复合小波变换最好是运用脊波变换，称之为复合脊波变换。最后一步脊波变换，能够用一维二元树复合小波变换代替一维标量小波变换。这样，脊波变换能较好地结合二元树复合小波变换的移动不变性性能。 复合脊波变换可以应用于整个图像，也可以把图像分割成若干个相互重叠正方格并且每个正方格运用脊波变换中。分解n*n原图像为平滑地边长为R像素相互重叠块，以致重叠区两两垂直方向邻接块之间是一个长度为R/2*R矩阵列,同时这个重叠区两两平行方向邻接块之间是一个R*R/2矩阵列。对于一个n*n的图像，期望每个方向为2n/R的块,这种分割方法会产生4倍的冗余。为了获得去噪复合脊波系数，在当前像素位置使用4个去噪复合脊波系数平均值。 对于复合的脊波变换的阈值是类似于曲波阈值，区别在于，当取复合脊波系数尺度的阈值时，令y是噪声脊波系数。用下面硬阈值定律来估计未知的脊波 系数。当|y|k时，令y=y，否则y=0。其中,用近似Monte-Carlo模拟,常数k依赖于噪声。当噪声小于30时，设k=5为第一分解尺度并且设k=4为其他分解尺度。当噪声大于30时，设k=6为第一分解尺度并且设k=5为其他分解尺度。 复合脊波图像去噪算法的描述如下： （1）把图像分割成R*R区域,两相邻区域相互垂直重叠R/2*R个像素,两相邻 区域水平重叠R*R/2个像素。 （2）对于每个块，基于应用提出了复合脊波，阈值的复合脊波系数，及进行复合脊波逆变换。 （3）在同一点的图像去噪的像素值取平均值。 这种算法称为复合脊波压缩算法而该算法，使用普通脊波压缩，通过使用标量小波使复合脊波压缩的计算复杂性的与脊波压缩复杂性相当。惟一差异是采 用一维二元树复合小波变换取代一维小波变换，在计算量上一维二元树复合小波是一维标量小波的两倍。然而，该算法的其他算法步骤有同样计算量实验结果表明复合脊波压缩优于VisuShrink算法、脊波压缩算法和Wiener2的所有测试案例的滤波器。在某些情况下，获得0.8dB峰值信噪比超过了脊波压缩算法。围绕VisuShrink更是为所有图像去噪更大的改善，这表明复合脊波去噪算法是自然图像去噪的最佳选择。3.实验结果在实验中使用著名的Lena图像，在图像中将不同噪声级别的高斯白噪声加入到原始无噪声图像产生噪声图像。对VisuShrink,RidgeletShrink,复合脊波去噪和Wiener 2滤波器进行比对，VisuShrink是运用普遍的软阈值去噪技术，Wiener 2函数由Matlab图像处理工具箱提供，使用图像中每个像素5*5邻域。wiener2函数适用于Wiener滤波器（线性滤波器的一种）的图像自适应，剪裁图像自身的局部图像方差，信号的峰值信噪比（PSNR）的实验结果见表1。把图像划分为32*32或64*64的块尺寸是最好的选择，表1表明了图像Lena去噪效果，在表格中的第一列是原始图像噪声的PSNR，而其他列都采用不同的去噪算法得到去噪后图像的峰值信噪比。PSNR定义如下：PSNR = 10 log10Pi;j (B(i; j) A(j)2n22552 :;式中：B为有噪声图像，A为无噪声的图像。从表1可看到，复合脊波去噪算法优于VisuShrink，普通脊波去噪和Wiener 2。当噪声级别低的时侯，VisuShrink无任何去噪能力，在这种情况下，VisuShrink的去噪甚至比原噪声图像更差的图像效果。然而，在这种情况下复合脊波去噪效果相当不错。对于某些情况下，复合脊波与普通脊波去噪相比能够得到约0.8dB的改善。这表明，通过二元树复合小波结合脊波变换能得到图像去噪意义的改善，复合脊波算法比VisuShrink算法对图像的去噪效果更好，甚至更有意义的是在所有噪声级别和测试图像。图1显示了无噪声的原始图像，图像噪声增加，VisuShrink去噪图像，普通脊波图像 去噪，复合脊波去噪图像和Wiener 2图像去噪处理后的Lena图像,以上实验都是在32*32像素划分块尺度的条件下进行的。因此，就直线性和曲线的特征和高质量的边缘恢复方面言，复合脊波去噪产生的视觉更清晰的图像降噪效果比VisuShrink、普通脊波去噪和Wiener 2滤波器都更好。 4.结论和未来工作 研究使用复合脊波的图像去噪方法。复合脊波变换是通过一维二元树复合小波变换转换到Radon变换系数获得。在近似平移的二元树复合小波变换不变性，从而使用复合脊波变换的图像去噪一个很好的选择。复合脊波变换能提供光滑物体和物体边缘接近理想稀疏性，这使得噪声脊波阈值系数的高斯白噪声去噪接近最佳方法。为测试新的去噪方法，在几副标准图像增加高斯白噪声图像，一个非常简单的复合脊波系数硬阈值的使用。实验结果表明，复合脊波能够提供比VisuShrink，Wiener 2和普通脊波更佳的去噪效果。我们建议ComRidgeletShrink用于实际的图像去噪中。未来工作主要是考虑在复杂图像应用曲波复杂脊波。同样，复杂脊波还可以应用的不变特征提取模式识别方法。数字图像处理方法的研究1 绪论数字图像处理方法的研究源于两个主要应用领域:其一是为了便于人们分析而对图像信息进行改进；其二是为了使机器自动理解而对图像数据进行存储、传输及显示。1.1 数字图像处理的概念一幅图像可定义为一个二维函数f(x, y)，这里x和y是空间坐标，而在任何一对空间坐标f(x, y)上的幅值f称为该点图像的强度或灰度。当x，y和幅值f为有限的、离散的数值时，称该点是由有限的元素组成的，没一个元素都有一个特定的位置和幅值，这些元素称为图像元素、画面元素或象素。象素是广泛用于表示数字图像元素的词汇。在第二章，将用更正式的术语研究这些定义。视觉是人类最高级的感知器官，所以，毫无疑问图像在人类感知中扮演着最重要的角色。然而，人类感知只限于电磁波谱的视觉波段，成像机器则可覆盖几乎全部电磁波谱，从伽马射线到无线电波。它们可以对非人类习惯的那些图像源进行加工，这些图像源包括超声波、电子显微镜及计算机产生的图像。因此，数字图像处理涉及各种各样的应用领域。图像处理涉及的范畴或其他相关领域(例如，图像分析和计算机视觉)的界定在初创人之间并没有一致的看法。有时用处理的输人和输出内容都是图像这一特点来界定图像处理的范围。我们认为这一定义仅是人为界定和限制。例如，在这个定义下，甚至最普通的计算一幅图像灰度平均值的工作都不能算做是图像处理。另一方面，有些领域(如计算机视觉)研究的最高目标是用计算机去模拟人类视觉，包括理解和推理并根据视觉输人采取行动等。这一领域本身是人工智能的分支，其目的是模仿人类智能。人工智能领域处在其发展过程中的初期阶段，它的发展比预期的要慢得多，图像分析(也称为图像理解)领域则处在图像处理和计算机视觉两个学科之间。从图像处理到计算机视觉这个连续的统一体内并没有明确的界线。然而，在这个连续的统一体中可以考虑三种典型的计算处理(即低级、中级和高级处理)来区分其中的各个学科。低级处理涉及初级操作，如降低噪声的图像预处理，对比度增强和图像尖锐化。低级处理是以输人、输出都是图像为特点的处理。中级处理涉及分割 把图像分为不同区域或目标物)以及缩减对目标物的描述，以使其更适合计算机处理及对不同日标的分类(识别)。中级图像处理是以输人为图像，但输出是从这些图像中提取的特征(如边缘、轮廓及不同物体的标识等)为特点的。最后，高级处理涉及在图像分析中被识别物体的总体理解，以及执行与视觉相关的识别函数(处在连续统一体边缘)等。根据上述讨论，我们看到，图像处理和图像分析两个领域合乎逻辑的重叠区域是图像中特定区域或物体的识别这一领域。这样，在本书中，我们界定数字图像处理包括输人和输出均是图像的处理，同时也包括从图像中提取特征及识别特定物体的处理。举一个简单的文本自动分析方面的例子来具体说明这一概念。在自动分析文本时首先获取一幅包含文本的图像，对该图像进行预处理，提取(分割)字符，然后以适合计算机处理的形式描述这些字符，最后识别这些字符，而所有这些操作都在本书界定的数字图像处理的范围内。理解一页的内容可能要根据理解的复杂度从图像分析或计算机视觉领域考虑问题。这样，本书定义的数字图像处理的概念将在有特殊社会和经济价值的领域内通用。在以下各章展开的概念是那些应用领域所用方法的基础。1.2数字图像处理的起源数字图像处理最早的应用之一是在报纸业，当时，图像第一次通过海底电缆从伦敦传往纽约。早在20世纪20年代曾引入Btutlane电缆图片传输系统，把横跨大西洋传送一幅图片所需的时间从一个多星期减少到3个小时。为了用电缆传输图片，首先要进行编码，然后在接收端用特殊的打印设备重构该图片。图1.1就是用这种方法传送并利用电报打印机通过字符模拟中间色调还原出来的图像。这些早期数字图像视觉质量的改进工作，涉及到打印过程的选择和亮度等级的分布等问题。用于得到图1.1的打印方法到1921年底就被彻底淘汰了，转而支持一种基于光学还原的技术，该技术在电报接收端用穿孔纸带打出图片。图1.2就是用这种方法得到的图像，对比图1.1，它在色调质量和分辨率方面的改进都很明显。 图1.1 1421年由电报打印机采用特殊字 图1.2 1922年在信号两次穿越大西洋后， 符在编码纸带中产生的数字图像 从穿孔纸带得到的数字图像，可以 ( McFalsne) 看出某些差错 ( McFalsne) 早期的Bartlane系统可以用5个灰度等级对图像编码，到1929年已增加到15个等级。图1.3所示的这种典型类型的图像就是用15级色调设备得到的。在这一时期，由于引入了一种用编码图像纸带去调制光束而使底片感光的系统，明显地改善了复原过程。刚才引用的数字图像的例子并没有考虑数字图像处理的结果，这主要是因为没有涉及到计算机。因此，数字图像处理的历史与数字计算机的发展密切相关。事实上，数字图像要求非常大的存储和计算能力，因此数字图像处理领域的发展必须依靠数字计算机及数据存储、显示和传输等相关技术的发展。计算机的概念可追溯到5000多年前中国算盘的发明。近两个世纪以来的一些发展也奠定了计算机的基础。然而，现代计算机的基础还要回溯到20世纪40年代由约翰冯诺依曼提出的两个重要概念:(l)保存程序和数据的存储器;(2)条件分支。这两个概念是中央处理单元(CPU)的基础。今天，它是计算机的心脏。从冯诺依曼开始，引发了一系列重要技术进步，使得计算机以强大的功能用于数字图像处理领域。简单说，这些进步可归纳为如下几点:(1)1948年贝尔实验室发明了晶体三极管；(2)20世纪50年代到20世纪60年代高级编程语言(如COBOL和FORTRAN)的开发；(3)1958年得州仪器公司发明了集成电路(IC)；(4)20世纪60年代早期操作系统的发展；(5)20世纪70年代Intel公司开发了微处理器(由中央处理单元、存储器和输入输出控制组成的单一芯片)；(6)1981年IBM公司推出了个人计算机；(7)20世纪70年代出现的大规模集成电路(LI)所引发的元件微小化革命，20世纪80年代出现了YLSI(超大规模集成电路)，现在已出现了ULSI。图1.3在1929年从伦敦到纽约用15级色调设备通过电缆传送的Cenerale Pershing和Foch的未经修饰的照片伴随着这些技术进步，大规模的存储和显示系统也随之发展起来。这两者均是数字图像处理的基础。第一台可以执行有意义的图像处理任务的大型计算机出现在20世纪60年代早期。数字图像处理技术的诞生可追溯至这一时期这些机器的使用和空间项目的开发，这两大发展把人们的注意力集中到数字图像处理的潜能上。利用计算机技术改善空间探测器发回的图像的工作，始于1964年美国加利福尼亚的喷气推进实验室。当时由“旅行者7号”卫星传送的月球图像由一台计算机进行了处理，以校正航天器上电视摄像机中各种类型的图像畸变。图1.4显示了由“旅行者7号”于1954年7月31日上午(东部白天时间)9点09分在光线影响月球表面前约17分钟时摄取的第一张月球图像痕迹(称为网状痕迹)用于几何校正，在第5章将讨论该间题，这也是美国航天器取得的第一幅月球图像。“旅行者7号”传送的图像可作为改善的增强和复原图像(例如来自“探索者”登月一飞行、“水手号”系列空间探渊器及阿波罗载人登月飞行的图像)方法的基础。进行空间应用的同时，数字图像处理技术在20世纪60年代末和20世纪70年代初开始用于医学图像、地球遥感监测和天文学等领域。早在20世纪70年代发明的计算机轴向断层术(CAT)简称计算机断层(CT)是图像处理在医学诊断领域最重要的应用之一。计算机轴向断层术是一种处理方法，在这种处理中，一个检测器环围绕着一个物体(或病人)，并且一个x射线源(与检测器环同心)绕着物体旋转。X射线穿过物体并由位于对面环中的相应检测器收集起来。当X射线源旋转时，重复这一过程。断层技术由一些算法组成，该算法用感知的数据去重建通过物体的“切片”图像。当物体沿垂直于检测器的方向运动时就产生一系列这样的“切片”，这些切片组成了物体内部的再现图像。断层技术是由Godfrey N. Hounsfield先生和Allan M.Cormack教授发明的，他们共同获得了1979年诺贝尔医学奖。X射线是在1895年由威廉康拉德伦琴发现的，由于这一发现，他获得了I901年诺贝尔物理学奖。这两项发明相差近100年。它们在今天引领着图像处理某些最活跃的应用领域。图1.4美国航天器传送的第一张月球照片，“旅行者7号”卫星1964年7月31日9点09分(东部白天时间)在光线影响月球表面前17分钟时摄取的图像Complex Ridgelets for Image DenoisingG. Y. Chen and B. KeglAbstract：The ridgelet transform based on the wavelet transform is a method of the multi-scale analysis. The digital composite ridgelet transform is adooted to remove the white noise embedded in the image,which is achieved by using a hard threshold of simple composite ridgelet coefficient.Experimental results show that the algorithm has better denoising effect than VisuShrink algorithm,ordinary ridgelet denoising algorithm and Wiener2 filter,which is provided buy the Matlab image processing toolbox.The composite ridgelet algorithm can be used in curvelet image denoising and feature extraction in pattern recognition.Keywords:image denoising; wavelet transform; ridgelet transform; composite ridgelet 1 IntroductionWavelet transforms have been successfully used in many scientific fields such as image compression, image denoising, signal processing, computer graphics,and pattern recognition, to name only a few.Donoho and his coworkers pioneered a wavelet denoising scheme by using soft thresholding and hard thresholding. This approach appears to be a good choice for a number of applications. This is because a wavelet transform can compact the energy of the image to only a small number of large coefficients and the majority of the wavelet coeficients are very small so that they can be set to zero. The thresholding of the wavelet coeficients can be done at only the detail wavelet decomposition subbands. We keep a few low frequency wavelet subbands untouched so that they are not thresholded. It is well known that Donohos method offers the advantages of smoothness and adaptation. However, as Coifman and Donoho pointed out, this algorithm exhibits visual artifacts: Gibbs phenomena in the neighbourhood of discontinuities. Therefore, they propose in a translation invariant (TI) denoising scheme to suppress such artifacts by averaging over the denoised signals of all circular shifts. The experimental results in confirm that single TI wavelet denoising performs better than the non-TI case. Bui and Chen extended this TI scheme to the multiwavelet case and they found that TI multiwavelet denoising gave better results than TI single wavelet denoising. Cai and Silverman proposed a thresholding scheme by taking the neighbour coeficients into account. Their experimental results showed apparent advantages over the traditional term-by-term wavelet denoising.Chen and Bui extended this neighbouring wavelet thresholding idea to the multiwavelet case. They claimed that neighbour multiwavelet denoising outperforms neighbour single wavelet denoising for some standard test signals and real-life images.Chen et al. proposed an image denoising scheme by considering a square neighbourhood in the wavelet domain. Chen et al. also tried to customize the wavelet _lter and the threshold for image denoising. Experimental results show that these two methods produce better denoising results. The ridgelet transform was developed over several years to break the limitations of the wavelet transform. The 2D wavelet transform of images produces large wavelet coeficients at every scale of the decomposition.With so many large coe_cients, the denoising of noisy images faces a lot of diffculties. We know that the ridgelet transform has been successfully used to analyze digital images. Unlike wavelet transforms, the ridgelet transform processes data by first computing integrals over different orientations and locations. A ridgelet is constant along the lines x1cos_ + x2sin_ = constant. In the direction orthogonal to these ridges it is a wavelet.Ridgelets have been successfully applied in image denoising recently. In this paper, we combine the dual-tree complex wavelet in the ridgelet transform and apply it to image denoising. The approximate shift invariance property of the dual-tree complex wavelet and the good property of the ridgelet make our method a very good method for image denoising.Experimental results show that by using dual-tree complex ridgelets, our algorithms obtain higher Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) for all the denoised images with di_erent noise levels.The organization of this paper is as follows. In Section 2, we explain how to incorporate the dual-tree complex wavelets into the ridgelet transform for image denoising. Experimental results are conducted in Section 3. Finally we give the conclusion and future work to be done in section 4.2 Image Denoising by using Complex Ridgelets Discrete ridgelet transform provides near-ideal sparsity of representation of both smooth objects and of objects with edges. It is a near-optimal method of denoising for Gaussian noise. The ridgelet transform can compress the energy of the image into a smaller number of ridgelet coe_cients. On the other hand, the wavelet transform produces many large wavelet coe_cients on the edges on every scale of the 2D wavelet decomposition. This means that many wavelet coe_cients are needed in order to reconstruct the edges in the image. We know that approximate Radon transforms for digital data can be based on discrete fast Fouriertransform. The ordinary ridgelet transform can be achieved as follows:1. Compute the 2D FFT of the image.2. Substitute the sampled values of the Fourier transform obtained on the square lattice with sampled values on a polar lattice.3. Compute the 1D inverse FFT on each angular line.4. Perform the 1D scalar wavelet transform on the resulting angular lines in order to obtain the ridgelet coe_cients.It is well known that the ordinary discrete wavelet transform is not shift invariant because of the decimation operation during the transform. A small shift in the input signal can cause very di_erent output wavelet coe_cients. In order to overcome this problem, Kingsbury introduced a new kind of wavelet transform, called the dual-tree complex wavelet transform, that exhibits approximate shift invariant property and improved angular resolution. Since the scalar wavelet is not shift invariant, it is better to apply the dual-tree complex wavelet in the ridgelet transform so that we can have what we call complex ridgelets. This can be done by replacing the 1D scalar wavelet with the 1D dualtree complex wavelet transform in the last step of the ridgelet transform. In this way, we can combine the good property of the ridgelet transform with the approximate shift invariant property of the dual-tree complex wavelets.The complex ridgelet transform can be applied to the entire image or we can partition the image into a number of overlapping squares and we apply the ridgelet transform to each square. We decompose the original n _ n image into smoothly overlapping blocks of sidelength R pixels so that the overlap between two vertically adjacent blocks is a rectangular array of size R=2 _ R and the overlap between two horizontally adjacent blocks is a rectangular array of size R _ R=2 . For an n _ n image, we count 2n=R such blocks in each direction. This partitioning introduces a redundancy of 4 times. In order to get the denoised complex ridgelet coe_cient, we use the average of the four denoised complex ridgelet coe_cients in the current pixel location. The thresholding for the complex ridgelet transform is similar to the curvelet thresholding 10. One difference is that we take the magnitude of the complex ridgelet coe_cients when we do the thresholding. Let y_ be the noisy ridgelet coe_cients. We use the following hard thresholding rule for estimating the unknown ridgelet coe_cients. When jy_j k_, we let y_ = y_. Otherwise, y_ = 0. Here, It is approximated by using Monte-Carlo simulations. The constant k used is dependent on the noise . When the noise is less than 30, we use k = 5 for the first decomposition scale and k = 4 for other decomposition scales. When the noise _ is greater than 30, we use k = 6 for the _rst decomposition scale and k = 5 for other decomposition scales. The complex ridgelet image denoising algorithm can be described as follows: 1.Partition the image into R*R blocks with two vertically adjacent blocks overlapping R=2*R pixels and two horizontally adjacent blocks overlapping R _ R=2 pixels 2. For each block, Apply the proposed complex ridgelets, threshold the complex ridgelet coefficients, and perform inverse complex ridgelet transform. 3. Take the average of the denoising image pixel values at the same location. We call this algorithm ComRidgeletShrink,while the algorithm using the ordinary ridgelets RidgeletShrink. The computational complexity of ComRidgeletShrink is similar to that of RidgeletShrink by using the scalar wavelets. The only di_erence is that we replaced the 1D wavelet transform with the 1D dual-tree complex wavelet transform. The amount of computation for the 1D dual-tree complex wavelet is twice that of the 1D scalar wavelet transform. However, other steps of the algorithm keep the same amount of computation.Our experimental results show that ComRidgeletShrink outperforms VisuShrink, RidgeletShink, and wiener2 _lter for all testing cases. Under some case, we obtain 0.8dB improvement in Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) over RidgeletShrink. The improvement over VisuShrink is even bigger for denoising all images. This indicates that ComRidgeletShrink is an excellent choice for denoising natural noisy images.3 Experimental ResultsWe perform our experiments on the well-known image Lena. We get this image from the free software package WaveLab developed by Donoho et al. at Stanford University. Noisy images with di_erent noise levels are generated by adding Gaussian white noise to the original noise-free images. For comparison, we implement VisuShrink, RidgeletShrink, ComRidgeletShrink and wiener2. VisuShrink is the universal soft-thresholding denoising technique. The wiener2 function is available in the MATLAB Image Processing Toolbox, and we use a 5*5 neighborhood of each pixel in the image for it. The wiener2 function applies a Wiener _lter (a type of linear filter) to an image adaptively, tailoring itself to the local image variance. The experimental results in Peak Signal to Noise Ratio (PSNR) are shown in Table 1. We find that the partition block size of 32 * 32 or 64 *64 is o