高三数学数列解题方法集锦

2007届高三数学复习 数列解题方法集锦数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。一、数列的基础知识1数列an的通项an与前n项的和Sn的关系它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；1.1 已知Sn求an对于这类问题，可以用公式an=.1.2 已知an求Sn这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。2递推数列：，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。例1 已知数列an的前n项和Sn=n2-2n+3,求数列an的通项an，并判断数列an是否为等差数列。解：由已知：Sn=n2-2n+3，所以，Sn-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n2-4n+6,两式相减，得：an=2n-3(n2),而当n=1时,a1=S1=2,所以an=.又a2-a1a3-a2，故数列an不是等差数列。注意：一般地，数列an是等差数列Sn=an2+bnSn.数列an是等比数列Sn=aqn-a.例2 已知数列an的前n项的和Sn=,求证：数列an是等差数列。证明：因为Sn=，所以，两式相减，得：，所以，即：，同理：，即：，两式相加，得：，即：，所以数列an是等差数列。例3 已知数列an的前n项的和Sn+ an=2n+1,求数列an的通项an.解：因为Sn+ an=2n+1，所以， Sn+1+an+1=2(n+1)+1,两式相减，得：2an+1-an=2,即：2an+1-an+2=4，2an+1-4= an-2，所以，而S1+a1=3，a1=，故a1-2=，即：数列an是以为首项，为公比的等比数列，所以 an-2=()n-1= - ()n,从而an=2 - ()n。例4 （2000年全国）设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),则它的通项公式是an= .分析：（1）作为填空题，不需要解题步骤，所以可以采用不完全归纳法。令n=1，得：2a22+a2-1=0,解得，a2=.令n=2, 得：3a32+a3-=0, 解得，a3=.同理，a4=由此猜想：an=.(2)由(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，得：(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0, 所以(n+1)an+1=nan，这说明数列是常数数列，故nan=1，an=.也可以由(n+1)an+1=nan，得：，所以。例5 求下列各项的和(1).(2)1+221+322+423+n2n-1.(3)12+23+34+n(n+1).(4).解：（1）设 Sn=,则 Sn=,两式相加，得：2Sn= (n+2)=(n+2)()=(n+2)2n,所以Sn=(n+2)2n-1.思考：又如何求呢？（2）设Sn=1+221+322+423+n2n-1，则 2 Sn= 12+222+323+（n-1）2n-1+n2n.两式相减。得：- Sn=1+21+22+2 n-1-n2 n =2n(1-n)-1.Sn=2n(n-1)+1.(3)12+23+34+n(n+1)=(12+1)+(22+2)+(32+3)+ +(n2+n)=(12+22+32+ +n2)+(1+2+3+ +n)=.(4) =.二、等差数列与等比数列1定义：数列an为等差数列an+1-an=dan+1-an=an-an-1；数列bn为等比数列。2通项公式与前n项和公式：数列an为等差数列，则通项公式an=a1+(n-1)d, 前n项和Sn=.数列an为等比数列，则通项公式an=a1qn-1, 前n项和Sn=.3性质：等差数列若m+n=p+q，则am+an=ap+aq每连续m项的和仍组成等差数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等差数列等比数列若m+n=p+q，则aman=apaq每连续m项的和仍组成等比数列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等比数列（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。例6 设Sn是等差数列an的前n项的和，已知S3与S4的等比中项为S5，S3与S4的等差中项为1，求等差数列an的通项。(1997年高考题)解：设等差数列的公差为d,则，即，解得：，所以。评说：当未知数与方程的个数相等时，可用解方程的方法求出这两类特殊数列的首项与公差或公比，然后再解决其他问题。例7 设等比数列an的前n项的和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列an的公比q (1996年高考题)。解：若q=1，则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1, 由已知S3+S6=2S9, 得：3a1+6a1=18a1,解得：a1=0，这与数列an为等比数列矛盾，所以，q1。由已知S3+S6=2S9, 得：，整理得：，解得：。例8 在等差数列an中，已知a7=8，求S13.分析：在这个问题中，未知数有两个：首项a1与公差d，但方程只有一个，因此不能象例6那样通过解方程解决问题，必须利用这两类数列的性质或者利用整体性思想来解决问题。解：因为a7=8，所以a1+a13=2a7=16，故S13=例9 在等差数列an中，已知a10,Sn是它的前n项的和.已知S3=S11，求Sn的最大值。分析：和例8一样，也是未知数的个数多于方程的个数，所以须考虑等差数列的性质。解：由已知：S3=S11，故而因为S3=S11，得a4+a5+a6+a1