高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第五章第2课时 等差数列及其前n项和课件 理.ppt

第2课时等差数列及其前n项和 基础梳理1 等差数列的基本问题 1 定义如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母d表示 定义的表达式为 同一个常数 公差 an 1 an d a1 n 1 d a 2 通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么通项公式为an 3 等差中项如果a a b成等差数列 那么 叫做a与b的等差中项且 2 等差数列的性质已知数列 an 是等差数列 sn是其前n项和 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若k l m n k l m n n 则 n m d ak al am an 3 若 an 的公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 数列sm s2m sm s3m s2m 构成等差数列 2d 课前热身1 2011 高考重庆卷 在等差数列 an 中 a2 2 a3 4 则a10 a 12b 14c 16d 18解析 选d 设该数列的公差为d 则d a3 a2 2 因而a10 a2 8d 2 2 8 18 3 等差数列 an 的前n项和为sn 若a2 1 a3 3 则s4 答案 8 已知数列 an 的通项公式an pn2 qn p q r 且p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p和q 数列 an 1 an 是等差数列 解 1 an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差数列 则2pn p q应是一个与n无关的常数 所以只有2p 0 即p 0 故当p 0时 数列 an 是等差数列 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q 而 an 2 an 1 an 1 an 2p为一个常数 an 1 an 是等差数列 题后感悟 判断或证明数列 an 为等差数列 可利用定义 即证an 1 an d n n 或an an 1 d n n n 2 其中d为常数 也可利用等差中项 即证2an 1 an an 2 2011 高考福建卷 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 题后感悟 首项a1和公差d是等差数列 an 的基本量 只要确定了a1和d 数列 an 就能确定 因此 通过列方程 组 求得a1和d是解决等差数列 an 基本运算的重要思想和方法 备选例题 教师用书独具 设等差数列 an 的前n项和为sn 且a4 a2 8 s10 190 1 求数列 an 的通项公式an 2 设p q n 试判断ap aq是否仍为数列 an 中的项 并说明理由 2 apaq 4p 3 4q 3 16pq 12 p q 9 4 4pq 3 p q 3 3 4pq 3 p q 3 n ap aq为数列 an 中的项 1 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当sn取最大值时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 2 设等差数列的前n项和为sn 已知前6项和为36 sn 324 最后6项和为180 n 6 求数列的项数n及a9 a10 1 解析 依题意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又数列 an 是等差数列 因此在该数列中 前6项均为正数 自第7项起以后各项均为负数 于是当sn取最大值时 n 6 选b 答案 b 2 解 由题意可知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 题后感悟 求等差数列前n项和的最值常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 为二次函数 根据二次函数的性质求最值 变式训练2 在等差数列 an 中 a16 a17 a18 a9 36 其前n项和为sn 1 求sn的最小值 并求出sn取得最小值时n的值 2 求tn a1 a2 an 方法技巧1 等差数列的判断方法 1 定义法 an 1 an d d是常 an 是等差数列 2 等差中项公式 2an 1 an an 2 n n an 是等差数列 3 通项公式 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式 sn an2 bn a b为常数 an 是等差数列 2 对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式 在两个公式中共五个量a1 d n an sn 已知其中三个量 可求出剩余的量 而a1与d是最基本的 它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式 3 要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用 如an am n m d s2n 1 2n 1 an等 4 在遇到三个数成等差数列问题时 可设三个数为 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可视具体情况而定 失误防范1 如果 an 为等差数列 p q r s 则ap aq ar as 一般地 ap aq ap q 必须是两项相加 当然也可以是ap t ap t 2ap 2 等差数列的通项公式通常是n的一次函数 除非公差d 0 3 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第二项起成等差数列 命题预测通过对近几年高考试题的统计分析不难发现 等差数列作为最基本的数列模型之一 一直是高考重点考查的对象 难度属中 低档的题目较多 但 也有难度偏大的题目 其中 选择题 填空题突出 小 巧 活 主要以通项公式 前n项和公式为载体 结合等差数列的性质考查分类讨论 化归与方程等思想 要注重通性 通法 解答题 大而全 注重题目的综合与新颖 突出对逻辑思维能力的考查 预测2013年高考仍将以等差数列的定义 通项公式和前n项和公式为主要考点 重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力 规范解答 本题满分12分 2010 高考课标全国卷 设等差数列 an 满足a3 5