高三数学数列的求和苏教知识精讲

高三数学数列的求和苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列的求和二. 本周教学目标：等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法三. 本周知识要点：1. 等差数列的前n项和公式：Sn Sn Sn当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d0时（a10），Snna1是关于n的正比例式2. 等比数列的前n项和公式：当q1时，Snn a1 （是关于n的正比例式）；当q1时，Sn Sn3. 拆项法求数列的和，如an2n3n 4错位相减法求和，如an（2n1）2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）5. 分裂项法求和，如an （分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）6. 逆序相加法求和，如an7. 求数列an的最大、最小项的方法：an1an 如an 2n229n3 （an0） 如an anf（n） 研究函数f（n）的增减性 如an【典型例题】例1. （分情况讨论）求和：解：当a0或b0时，当ab时，；当ab时，例2. （分部求和法）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由则例3. （分部求和法）求数列1，3，32，3n的各项的和解：其和为：（133n）（）（3n13n）例4. （裂项求和法）解：，例5. （裂项求和法）已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：解：首先考虑则点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法例6. （错位相减法）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和解：若a0，则Sn0 若a1，则Sn123n 若a1，a0，则SnaSna（1aan1nan），Sn例7. （错位相减法）已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和解：得：点评：设数列为等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法例8. （组合化归法）求和：解：而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了点评：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法当然本题也可以将通项展开为n的多项式，再用分部求和法例9. （逆序相加法）设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为 点评：此类问题还可变换为探索题型：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立例10. （递推法）已知数列的前项和与满足：成等比数列，且，求数列的前项和解：由题意： 点评：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列的前项和的递推公式，是一种最佳解法。例11. 数列中，且满足（）（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，（2）若，时，故 （3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。小结： 1. 等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法,复杂的数列转化为等差、等比数列。 2. 由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想,数学归纳法是这一思想的理论基础。3. “错位相减”、“裂项相消”是数列求和最重要的方法。【模拟试题】1. 设S和T分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN*，都有，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是（ ）A. 43 B. 32C. 74 D. 78712. 一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于（ ）A. 5B. 6C. 7D. 83. 若数列中，且 ，则数列的通项 . 4.设在等比数列中，求及5根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式（1）（2）（3）6. 数列的前项和为不等于0，1的常数），求其通项公式7. 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为经过年绿化总面积为 求证（2）至少需要多少年（年取整数，）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？8. 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1）万元（n为正整数）（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业经过至少多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过没进行技术改造的累计纯利润？【试题答案】1. 解：设这两个等差数列分别为an和bn故选择A说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an与前2n1项的和S2n1的内在联系2. 解：依题意知数列单调递减，公差d0因为S3S11S3a4a5a10a11所以 a4a5a10a110即 a4a11a7a80，故当n7时，a70，a80选择C。3. 解：多次运用迭代，可得4. 解：，又，由以上二式得或；由此得或5. 解：（1）， （2） 又解：由题意，对一切自然数成立，（3）是首项为公比为的等比数列，说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法6. 解：由可得当时， ，是公比为的等比数列又当时，说明：本例复习由有关与递推式求，关键是利用与的关系进行转化7. （1）证明：由已知可得确定后，表示如下：即80%16%（2）解：由可得：（）（）2（）故有，若则有即两边同时取对数可得故，故使得上式成立的最小为5，故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%8. ()依题意，An(50020)(50040)(50020n)4