高三数学公开课教案数形结合函数人教

高三数学公开课教案数形结合 函数长沙县第三中学教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能力和实践动手能力。教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。教学手段：多媒体辅助教学数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合对数学研究和学习的重要性。数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.一练习：1.（04天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为,且当x0, 时,f(x)=sinx，则f()的值为（ D ）A. - B . C. - D . - 0 2yxz解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f(x)的简图f()=f()= 2.设函数f(x)= ，若f(x0)1，则x0的取值范围是（ D ） A. (1，1) B.（1，）C.（，2）（0，） D.（，1）（1，）0xy213.( 05上海理16) 设定义域为为R的函数 ，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是(C ) (A) b0；(B) b0且c0；(C) b0且c=0；(D) b0且c=0。解析：f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是f2(x)+bf(x)+c = 0有一根为0故c=0且b0 设P：函数y = c x在R上单调递减 ； Q：不等式x+x2c1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。解:则c(0, 1,+)小结:例题3：已知关于x的方程 x2( 2m)xm21=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间0，2内，求m的取值范围。 解：令f(x)= x2( 2m)xm21，由f(x)=0的两根落在区间0，2内， x= 0,2 (对称轴) x= 0,2 (对称轴)则有 f( ) 0 （顶点） 0 （判别式） f(0)0 （端点） f(0)0 （端点）f(2)0 （端点） f(2)0 （端点） 0 +2m 4即为 ( m)2m210m210 4( 2m)2m210 解之得：m|1m 小结： “以形辅数”，化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5|（1）在区间-2,6上画出函数f(x)的图像;（2）集合A=x|f(x)5,B=(-,-26,+).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;（3）当k2时,求证在区间-1,5上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.y -2 0 2 46 x8642 -221.解:(1)(2)方程f(x)=5的解分别是2-，0和2+，由于f(x)在（-，1和-1，2和5，+）上单调递增，因此A=(-,2-2+,+). 由于2+-2, BA(3)解法一当x-1,5时,f(x)=-x2+4x+5g(x)=k(x+3)-( -x2+4x+5) =x2+(k-4)x+(3k-5)=(x-) 2 , k2, 1 ,又-1x5,当-11, 即2k6时, 取x=, g(x)min=16(k-10)264 , (k-10)2-640 当6时，取x= -1，g(x)min=2k0 由可知，当k2时，g(x)0，x-1，5因此，在-1，5上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 解法二 当x-1,5时,f(x)=-x2+4x+5 ，得x2+(k-4)x+(3k-5)=0，令= (k-4)2-4(3k-5)=0，解得 k=2或k=18, 在区间-1，5上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8); 当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。如图可知，由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到，因此在区间-1，5上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。小 结数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。一数形结合的信息转化的三个途径：（1）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解； （2）转化为熟悉的几何模型来求解；（3）构造几何模型来求解。二常用的数学模型：（1）一元二次函数的图像； （2）一元一次函数的图形； （3）定比分点公式； （4）斜率公式； （5）两点间的距离公式； （6）点到直线的距离公式课后练习1（05福建理5） 函数f(x)=ax-b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 ( B ) A a1，b0； B 0a1，b0 C 0a0； D a1，b0本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解 决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特值法求解。2（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ A ）ABCD 本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题取端点。0xy3（05重庆3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0 B. f(1)f(2)0 C. f(1)f(3)07. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且的内角满足,则的取值范围是( )xyO图5(A) (B) (C) (D)解析 由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形内角范围可知:或,故选D.8.(05北京理13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1x2），有如下结论： f(x1x2)=f(x1)f(x2)； f(x1x2)=f(x1)+f(x2)； 0； . 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .xy1图6049. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是_.提示 抛物线和直线相切.方程有相等的两实根,.10. 若不等式的解集是,求实数的取值范围.解析 作函数,的图象(如图6).由图6知,要使的解集是,应有.11.（2005年湖北卷）已知向量a = (x2, x + 1)，b = (1 x, t). 若函数f (x) = ab在区间(1, 1)上是增函数，求t的取值范围.解：依定义f (x) = x2(1 x) + t (x + 1) = x3 + x2 + tx + t. = 3x2 + 2x + t.若f (x)在(1, 1)上是增函数，则在(1, 1)上可设0.的图象是开口向下的抛物线，当且仅当= t 10，且= t 50时，在(1, 1)上满足0，即f (x)在(1, 1)上是增函数. 故t的取值范围是t5.评析：本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.12已知两点P（0，1）和Q（2，3），如果二次函数f(x)=x2ax2的图象与线段PQ有两个不同的公共点，求实数a的取值范围。13已知f（x）=2x2-2ax+3在-1，1上的最小值是f（a）（）求f（a）的表达式；（）当a-2，0时，求函数g（a）= 的值域14.(05辽宁22)函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （）用、表示m； （）证明：当； （）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b所满足的关系.解：本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力. （）解： （）证明：令 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小值为0，因此即 （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结果可知， 的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，该切线的方程为于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得 因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系. （）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 对任意成立的充要条件是 令，于是对任意成立的充要条件是 由当时当时，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即 综上，不等式对任意成立的充要条件是显然，存在a、b使式成立的充要条件是：不等式 有解、解不等式得因此，式即为b的取值范围，式即为实数在a与b所满足的关系. 数 形 结 合（函数）数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合对数学研究和学习的重要性。数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.一练习：1.（04天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为,且当x0, 时,f(x)=sinx，则f()的值为（ ）A. - B . C. - D . 2.设函数f(x)= ，若f(x0)1，则x0的取值范围是（ ） A. (1，1) B.（1，）C.（，2）（0，） D.（，1）（1，）3.( 05上海理16) 设定义域为为R的函数 ，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是( ) A b0； B b0且c0； C b0 设P：函数y = c x在R上单调递减 ； Q：不等式x+x2c1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。解:小结：例题3：已知关于x的方程 x2(2m)xm21=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间0，2内，求m的取值范围。 解：小结： 思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5|（1）在区间-2,6上画出函数f(x)的图像;（2）集合A=x|f(x)5,B=(-,-26,+).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;（3）当k2时,求证在区间-1,5上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.y -2 0 2 46 x8642 -2 小 结数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。一数形结合的信息转化的三个途径：二常用的数学模型：课后练习1（05福建理5） 函数f(x)=ax-b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 ( ) A a1，b0； B 0a1，b0 C 0a0； D a1，b02（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为 （ ）A B C D 3（05重庆3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0 B. f(1)f(2)0 C. f(1)f(3)07. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且的内角满足,则的取值范围是 ( )A B C D 8.(05北京理13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1x2），有如下结论： f(x1x2)=f(x1)f(x2)； f(x1x2)=f(x1)+f(x2)； 0； . 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .9. 当不等式中