高三数学第一轮《数列求和》讲义

数列求和问题要点梳理1. 等差数列前n项和Sn_ na1d _，推导方法：_倒序相加法_；等比数列前n项和Sn na1推导方法：乘公比，错位相减法.2.常见数列的前n项和(1)123n_；(2)2462n_ n2n _；(3)135(2n1)_ n2_；(4)122232n2_；(5)132333n3_2_.3.数列求和的常用方法（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。（2）拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。（3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。（4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。（5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前项和公式的方法。若为等差、为等比数列，则求数列的前项和可用此法。（6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前项和公式的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过观察数列通项公式特点和规律，判断求和类型，寻找合适的求和方法. 求和过程中同时要对项数作出准确判断. 含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.4.常见的拆项公式； ； 基础自测1.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A.2nn21 B.2n1n21C.2n1n22 D.2nn22.已知an是首项为1的等比数列，Sn是an的前n项和，且9S3S6，则数列的前5项和为()A.或5 B.或5C. D.3.已知等比数列an的各项均为不等于1的正数，数列bn满足bnlg an，b318，b612，则数列bn的前n项和的最大值等于()A.126 B.130C.132 D.1344.已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为 ()A.110 B.90 C.90 D.1105.如果数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于 ()A. B. C. D.6.数列1，的前n项和Sn_.7.已知数列an的通项公式是an，其中前n项和Sn，则项数n_6_.8.已知数列an中，a160，an1an3，则这个数列前30项的绝对值的和是_765_.9.设数列an是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x214x450的两个实根.则数列an的通项公式是an_.2n1_；若bn，则数列bn的前n项和Tn_2_.例题分析：题型一分组转化求和例1求和：(1)Sn；(2)Sn222.解(1)由于ann，Sn(123n)1.(2)当x1时，Sn4n.当x1时，Sn222 (x2x4x2n)2n2n2n.Sn探究提高某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.变式训练1 （1）解：（1） 当时，当时，（2）求和Sn1.解和式中第k项为ak12.Sn22(111()22n2.题型二错位相减法求和例2设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)a13a232a33n1an，当n2时， a13a232a33n2an1得3n1an，an.在中，令n1，得a1，适合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.变式训练2 已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2an (nN*).(1)证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an2n1，数列bn的前n项和为Tn.求满足不等式2 013的n的最小值.(1)证明因为Snn2an，即Sn2ann，所以Sn12an1(n1) (n2，nN*).两式相减化简，得an2an11.所以an12(an11) (n2，nN*)，所以数列an1为等比数列.因为Snn2an，令n1，得a11.a112，所以an12n，所以an2n1.(2)解因为bn(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若2 013，则2 013，即2n12 013.由于2101 024,2112 048，所以n111，即n10.所以满足不等式2 013的n的最小值是10.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1 (nN*)，等差数列bn中，bn0 (nN*)，且b1b2b315，又a1b1、a2b2、a3b3成等比数列.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)a11，an12Sn1 (nN*)，an2Sn11 (nN*，n1)，an1an2(SnSn1)，即an1an2an，an13an (nN*，n1).而a22a113，a23a1.数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an3n1 (nN*).a11，a23，a39，在等差数列bn中，b1b2b315，b25.又a1b1、a2b2、a3b3成等比数列，设等差数列bn的公差为d，则有(a1b1)(a3b3)(a2b2)2.(15d)(95d)64，解得d10或d2，bn0 (nN*)，舍去d10，取d2，b13，bn2n1 (nN*).(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2Tn312323223323n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n.在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和。解：（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，所以。（）由，得。所以，当时，；当时，即。题型三 裂项相消法求和例3已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列.12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.探究提高使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.变式训练3已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，).(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，求 Tn(1)解由已知得 (n2)，得到an1an (n2).数列an是以a2为首项，以为公比的等比数列.又a2S1a1，ana2n2 n2 (n2).an(2)证明bnn.Tn1.正项数列的前n项和为Sn，且 （1）求数列的通项公式； （2）设解（1）=1 ，得即而故数列是首项为1，公差为2的等差数列。（2）题型四 倒序求和法例4（1）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求的值为A B C D解：由于，则原式，选A题型五 并项求和例5 数列的前项和为 ，满足：，其中， 且（）求证：数列是等比数列；（）设数列的公比为，数列满足求的通项式.（）记求证：解（）当时， ,得： （）又，解得： , 是首项为1，公比为的等比数列。（） , 则（）变式训练5 的值是A2525 B5050 C10100 D20200解：原式，选B例6数列的通项，其前项和为. (1) 求; (2) 求数列的前项和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 两式相减得故 数列求和练习（1）1数列的通项公式是，若它的前项和为10，则其项数为A11 B99 C120 D121解： ，则由，得，选C2数列的通项是，则数列的的前项和为A B C D解：，则，选A3已知数列的前项和为 ，则的值是 A65 B67 C61 D56解： 由，得，则原式，选B4数列的前项和为，则A B C D分析：代入检验，因，故选A5在等比数列中，则A B C D分析：有，则，故原式，选D6数列的通项公式 ，前n项和 .，7若数列满足 ，则数列的通项公式_.8数列中，则_。解：为奇数时，；为偶数时，9数列中，则此数列的前2009项之和为_.解：由题设可知，（），则10已知数列是等差数列，其前项和为（I）求数列的通项公式； （II）求和：.解：（）设等差数列的公差是d，依题意得，解得, 数列的通项公式为 （）解：， =11设数列的前n项和为，为等比数列，且 （）求数列和的通项公式； （）设，求数列的前项和.解：（1）：当时，故an的通项公式为，即是，公差的等差数列设bn的通项公式为故，即的通项公式为（II）两式相减得 12.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn (nN*).(1)求数列an的通项an；(2)求数列nan的前n项和Tn.解(1)an12Sn，Sn1Sn2Sn，3.又S1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn3n1 (nN*).当n2时，an2Sn123n2，an(2)Tna12a23a3nan，当n1时，T11；当n2时，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得：2Tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1.Tn3n1 (n2).又T1也满足上式，故Tn3n1 (nN*).13设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？（参考数据：） 解(1) , , 当时, = (2) , . 由,解得,而n是正整数,于是n46. 从第46项起.14已知数列的前项和，数列中（1） 求；（2）若，求的前项和数列求和练习（2）1.数列1，的前n项和Sn_.解：，则，2Sn是数列an的前n项和，若an，则Sn_.答案：(nN*)3已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1_.解析：由题意知an2n，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n113(2n1)n2.答案：n24.数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100等于 ()A.200 B.200C.400 D.400解析：S100(15)(913)(4993)(41003)(4)50200.5.已知数列2