高三数学第一轮讲义平面空间两条直线

高三数学第一轮复习讲义 平面 空间两条直线【知识点归纳】 1平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2平面的画法及其表示方法：常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线（平面外的直线）表示或4平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式：存在唯一的平面，使得5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形6 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个公共点；（2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；7公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：8等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等9等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等10空间两条异面直线的画法11异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线12异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角：（1）范围：；（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。13异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作14求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 向量法：用向量的夹角公式15两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离两条异面直线的公垂线有且只有一条 计算方法：几何法；向量法【基础训练】（1）在空间四点中，三点共线是四点共面的_条件；（2）给出命题：若Al，A，Bl ，B，则 l ；若A，A，B，B，则AB；若l，Al，则A若A、B、C，A、B、C，且A、B、C不共线，则与重合。上述命题中，真命题是_；（3）长方体中ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，BC=6，在线段BD，A1C1上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为_；（4）空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系_；（5）给出下列四个命题：异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_；（5）“、为异面直线”是指：，但不平行于；面，面且ab；面，面且；面，b面；不存在平面，能使面且面成立。上述结论中，正确的是_；（6）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是_；（7）若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，则AC2+BD2= _；（8）如果、是异面直线，P是不在、上的任意一点，下列四个结论：过点P一定可以作直线与、都相交；过点P一定可以作直线与、都垂直；过点P一定可以作平面与、都平行；过点P一定可以作直线与、都平行。其中正确的结论是_；（9）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_；（10）已知平面求证：b、c是异面直线（11）正四棱锥的所有棱长相等，是的中点，那么异面直线与所成的角的余弦值等于_；（12）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为_；（13）已知异面直线a、b所成的角为50，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有_条；（14）若异面直线所成的角为，且直线，则异面直线所成角的范围是_；（15）ABCD是矩形，沿对角线AC把ADC折起，使ADBC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；（16）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是异面直线AC与A1D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线有_条；【典例剖析】【例1】 如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23.求证：EF、GH、BD交于一点.BADCFEG【例2】.若直线l与四边形ABCD的三边AB、AD、CD分别交于点E、F、G，求证ABCD为平面四边形【例3】 如图，已知四边形ABCD中，ABCD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线 【例4】 A是BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若ACBD，AC=BD，求EF与BD所成的角.【例5】 设异面直线a与b所成的角为50，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是（090）的直线l有且仅有几条?【例6】如下图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是A B C D【例7】如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角【例8】 长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C.（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值.【巩固练习】1.两条相交直线l、m都在平面内且都不在平面内.命题甲：l和m中至少有一条与相交，命题乙：平面与相交，则甲是乙的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件2.（2004年天津，6）如下图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于A. B. C. D.3.如下图，四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则EF与CD所成的角等于_.4.（2003年上海）在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与BC所成角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）5.如下图，设不全等的ABC与A1B1C1不在同一平面内，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1.求证：AA1、BB1、CC1三线共点.6.在三棱锥ABCD中，AD=BC=2a，E、F分别是AB、CD的中点，EF=a，求AD与BC所成的角. 7.如下图，在三棱锥PABC中，AB=AC，PB=PC，E、F分别是PC和AB上的点且PEEC=AFFB=32.（1）求证：PABC；（2）设EF与PA、BC所成的角分别为、，求证：+=90.参考答案（答：充分非必要）（答：）（答：24）（答：相交）（答：）（答：）（答：MNa）（答：50）（答：）（答：24）（答：）（答：90）（答：2）（答：）（答：1）证明：连结GE、HF，E、G分别为BC、AB的中点，GEAC.又DFFC=23，DHHA=23，HFAC.GEHF.故G、E、F、H四点共面.又EF与GH不能平行，EF与GH相交，设交点为O.则O面ABD，O面BCD，而平面ABD平面BCD=BD.EF、GH、BD交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线. 【例3】证明：ABCD，AB，CD确定一个平面，易知AB，BC，DC，AD都在内，由平面的性质可知四点E，F，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面与的交线上，所以四点E，F，G，H共线【例4】（1）证明：用反证法.设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EGBD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45，即异面直线EF与BD所成的角为45.【例5】解：过点O作a1a，b1b，则相交直线a1、b1确定一平面.a1与b1夹角为50或130，设直线OA与a1、b1均为角，作AB面于点B，BCa1于点C，BDb1于点D，记AOB=1，BOC=2（2=25或65），则有cos=cos1cos2.因为0190，所以0coscos2.当2=25时，由0coscos25，得2590；当2=65时，由0coscos65，得6590.故当25时，直线l不存在；当=25时，直线l有且仅有1条；当2565时，直线l有且仅有2条；当=65时，直线l有且仅有3条；当6590时，直线l有且仅有4条；当=90时，直线l有且仅有1条.说明：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点O与a1、b1均成角的直线的条数，进而通过讨论的范围去确定直线l的条数. 解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DESA，BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE= a，DE= a，cosBDE= 答案：C【例7】解：取BC的中点E，连结EN、EM，MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角在EMN中，EN=3，EM=5，MN=7，cosMEN=，MEN=120异面直线AC与BD所成的角是60【例9】（1）解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b.AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c.过B作BEB1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE=，即AB与B1C的距离为.（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OFD1B，AOF就是异面直线D1B与AC所成的角.AO=，OF= BD1=，AF=，在AOF中，cosAOF=.解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则ACBG，D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角.BD1=，BG=，D1G=，在D1BG中，cosD1BG=，故所求的余弦值为.【巩固练习】解析：若l和m中至少有一条与相交，不妨设l=A，则由于l，A.而A，与相交.反之，若=a，如果l和m都不与相交，由于它们都不在平面内，l且m.la且ma，进而得到lm，与已知l、m是相交直线矛盾.因此l和m中至少有一条与相交.答案：C解法一：取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H.在FHD1中，FD1=，FH=，D1H=.由余弦定理，得D1FH的余弦值为.解法二：取BC的中点G.连结GC1FD1，再取GC的中点H，连结HE、OH，则OEH为异面直线所成的角.在OEH中，OE=，HE=，OH=.由余弦定理，可得cosOEH=.答案：B解析：取AD的中点G，连结EG、FG，易知EG=1，F