高中知识不等式知识结构图.docx

不等式知识结构图 不等式的性质不等式的解法不等式证明一元一次不等式比较法、综合法一元二次不等式分析法、反证法分式不等式换元法、放缩法高次不等式向量法、判别式法绝对值不等式函数构造法不等式的运用1.求函数的定义域 2.求函数的值域或最值3.单调性 4.方程根的分布 不等式的性质名称 性质 推论对称性传递性加法法则（同向不等式可加）（异向不等式可减）乘方开方法则（正数同向不等式可乘）（正数异向不等式可除）倒数法则条件不等式何时取“=”推广或变形重要不等式在求最值中的应用利用不等式和，求最值时，必须满足三个条件：（1）每个因式均为正；（2）和为定值（和有最大值）或积为定值（和有最小值）（3）各因式都能取得相等的值，即. （ 即“一正、二定、三相等” ）常用技巧：合理分拆和配凑，并注意符号在运算过程中的计算. 重要不等式积为定值直接型（1）若求的最小值.（2）求的最小值.（3）求的值域.（4）已知正数满足求的最小值. （5）求的最大值.分拆型（1） 若求的最小值.（2） 若求的最小值.（3） 若求的最大值.（4） 已知求函数的最值.综合（1）若时，求的最小值.（2）若时，不等式恒成立，求的最大值.和为定值已知为常数，求函数的最小值.（1） 若求的最大值.（2）若求的最大值.（3）若求的最大值.（4）若求的最大值.不等式的证明方法方法形式依据原理示例比较法作差作差、变形（因式分解或配方）判断符号（与0比较）已知：求证：作商作商，变为指数函数的形式，由指数函数的性质判断与1的大小.已知：比较：与的大小.分析法执果索因：要证只需证即证显然成立以上各步均可逆. （步步寻求不等式成立的充分条件）不等式的传递性：已知：求证：综合法执因导果：已知求证：放缩法1. 舍去或加上一些项.2. 将分子或分母适当放大（或缩小）.3. 利用函数的特性放缩.1. 求证： 2.已知都是正数.求证：反证法要证不等式先假设由题设及其他性质，推出矛盾，从而肯定已知：求证：中至少有一个小于2.构造法根据不等式的结构特点构造相应的函数.函数的单调性或者判别式法.几何性质.已知是的三边，且为正数.求证： 换元法三角代换：对于形如可设增量代换如：设等代换元已知求证：向量法利用于设即向量的模的运算已知求证: 不等式的解法名称形式同解变形或解集示例一元一次不等式一元二次不等式 的函数图象 指数对数不等式底数 分式不等式 或 绝对值不等式区间讨论法（零点分段法）或数形结合法.无理不等式 或 高次不等式形式： 无相同因式的情况相同因式的情况 方法一：数轴标根法在数轴依次标出的根（右进左出，或左进右出）例：+_ _ _ 方法二：列表法 其中各因式中的系数必须未正数方法一：数轴标根法 注意根的重数，对于偶次重根，线穿根而不过，对于奇次重根，线穿根而过.方法二：列表法例：（-，1）1（1,3）3（3，+）X-1+0 +0 + x-3 -0 -0 +f（x） -0 -0 +含绝对值的有关问题定义一个数的绝对值就是表示这个数相应的点到原点的距离，记作. 在数轴上任意一点分别到两相应点的距离之和，表示为： ；性质（1） （2） （3） （4）（5）（6）（7）当且仅当时， 当且仅当时，（8）当且仅当时，等号成立.示例1. 若的解集为 求的取值范围.2. 设实数满足求证总结解决含绝对值的问题关键是去绝对值，去掉绝对值有两种方法：一是从定义出发，分类讨论；二是由以上性质（5）、（6）、（7）去掉绝对值。但如果绝对值问题几何意义明显，用几