高三数学数列的综合运用新课标人教

高三数学数列的综合运用http:/www.DearEDU.com目标1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质.2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力.3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力.基础知识数列与函数的关系 数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.等差数列与函数的关系 公差时, 分别是n的一次函数和二次函数. 反过来,如果是n的一次函数, 那么一定是公差不为0的等差数列; 如果是n的二次函数且常数项为0, 那么一定是公差不为0的等差数列.通项与前n项和之间的关系: 高考命题趋势数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占左右, 考查的内容主要有: 等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n项和公式); 等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等.典型例题讲解:例1. 已知, , 求的值.解：故例2. 已知数列，且 其中(1) 求; (2) 求的通项公式.解：(1) , 所以, (2) 所以同理,所以由此得 于是的通项公式为:当n为奇数时, 当n为偶数时, 例3. 在公差不为零的等差数列及等比数列中, 已知a11, 且a1b1, a2b2, a8b3.(1)求数列的公差d和的公比q ; (2)是否存在常数a、b使得对于一切自然数n, 都有成立, 若存在, 求出a、b的值, 若不存在, 说明理由.解：(1) 或.取.(2) 假设存在, 则有存在, 使成立.例4.设数列的前项和为，已知，且，其中A.B为常数求A与B的值； 证明：数列为等差数列；证明：不等式对任何正整数都成立（）由已知，得，由，知，即 解得.() 由（）得 所以 -得 所以 -得 因为 所以 因为 所以 所以 ， 又 所以数列为等差数列（）由() 可知，要证 只要证，因为，故只要证 ，即只要证 ，因 所以命题得证例5.设数列、满足：证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且证明必要性：设数列是公差为的等差数列，则：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,）数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,），得：=从而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨设（n=1,2,3,），则（常数）故从而得：，故（常数）（n=1,2,3,），数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且例6. 已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列。即（II）证法一：，得即，得即是等差数列。证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立。（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何都成立。是等差数列。（III）证明：例7. 已知数列，其中，记数列的前项和为，数列的前项和为（）求； （）设，（其中为的导函数），计算解：（）由题意，是首项为，公差为的等差数列 前项和，（） 专题测试一. 选择题1. 数列的通项公式为, 若前n项和为24, 则n为 ( ) A. 25 B. 576 C. 624 D. 6252. 设数列是递增等差数列, 前三项的和为12, 前三项的积为48, 则它的首项是 ( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 63. 设, 那么等于 ( )A. B. C. D. 4. 若数列前8项的值各异, 且对任意都成立, 则下列数列中可取遍前8项值的数列为 ( )A. B. C. D. 5. 已知数列, 那么“对任意的, 点都在直线上”是“为等差数列”的 ( )A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 根据市场调查结果, 预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量(万件)近似地满足. 按此预测, 在本年度内, 需求量超过1.5万件的月份是 ( )A. 5月、6月 B. 6月、7月 C. 7月、8月 D. 8月、9月二. 填空题7. 数列前n项和为_ _.8. 设是首项为1的正项数列, 且, 则它的通项公式是_ _ .9. 已知一个等比数列首项为1, 项数是偶数, 其奇数项之和为85, 偶数项之和为170, 求这个数列的公比 , 项数为 .10. 在各项均为正数的等比数列中, 若则 .11.在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .12、函数f(x)的最小值为 ；三. 解答题13. 数列的前n项和为, 且, 求 (1) ,的值及数列的通项公式; (2) 的值.14. 有穷数列的前n项和S n2n2n, 现从中抽取某一项(不是首项和末项)后, 余下项的平均值是79. (1)求数列的通项; (2)求数列的项数及抽取的项数.15. 已知等比数列共有m项, 且各项均为正数, , .(1) 求数列的通项; (2) 若数列是等差数列, 且, , 判断数列前m项的和与数列的前m项和的大小并加以证明.16.设无穷等差数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立.17、已知,其中,设,.(I) 写出;(II) 证明:对任意的,恒有.18、已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.()求数列的首项和公比；()对给定的,设是首项为，公差为的等差数列.求数列的前10项之和；()设为数列的第项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前n项和的极限)19、设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式20、在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.参考答案 (二) 专题测试与练习一. 选择题题号123456答案CBDABC二. 填空题7. ; 8. 9. 2 , 8 ; 10. 10 .11、10，；12、90三. 解答题13. 解: (1) 由得由, 得又, 所以 数列的通项公式为;(2)由(1)可知是首项为, 公比为项数为n的等比数列, 14. (1) (2) 设抽去是第k项则有: ,移项得:,所以抽去的是79, 15. 解: (1) 设等比数列的公比为q, 则 或,的各项均为正数, . 所以. (2) 由得. 数列是等差数列, ,而当时, . 当时, .16、解：（1） （2）或或17、【解析】(I)由已知推得,从而有(II) 证法1:当时, 当x0时, ,所以在0,1上为增函数因函数为偶函数所以在-1,0上为减函数所以对任意的因此结论成立.18、解: ()依题意可知,()由()知,所以数列的的首项为,公差,即数列的前10项之和为155.() =，=当m=2时，=，当m2时，=0，所以m=219、解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 20、（）解：,（答案不惟一） （）解：因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限 不存在. 当时, ,所以